La géométrie du caoutchouc semble un jeu de mathématiciens. Elle est pourtant partout : dans la définition même de la limite, dans le bras d'un robot, dans le noyau de nos cellules, dans les matériaux quantiques et dans l'analyse des grandes masses de données. Sept domaines, cinq expériences.
Une même question dans sept métiers
Dans chacun de ces domaines, on se pose au fond la même question : qu'est-ce qui ne change pas quand on déforme ? La réponse est presque toujours un nombre entier (nombre de morceaux, de trous, de tours, d'enlacements) et c'est ce qui la rend robuste : une petite erreur de mesure ne peut pas faire passer un entier de 2 à 3.
La géométrie. C'est l'usage le plus ancien : toute surface fermée et orientable est une sphère à g anses, et le nombre g se lit dans la caractéristique d'Euler χ = S − A + F = 2 − 2g. En dimension 3, le même programme de classification a occupé tout le XXᵉ siècle, jusqu'à la démonstration de la conjecture de Poincaré par Perelman (2003). Ce volet est traité en détail dans la page « La topologie, géométrie du caoutchouc » (planche 3) ; il sert ici d'outil dans les planches 2 et 5.
Planche 1
Analyse : « se rapprocher » dépend de la topologie choisie
Une suite de fonctions fn tend-elle vers la fonction nulle ? La question n'a pas de réponse tant qu'on n'a pas dit comment mesurer l'écart entre deux fonctions. Choisir une distance, c'est choisir une topologie : la même suite converge pour l'une et pas pour l'autre, et une opération (prendre le maximum, dériver) peut être continue pour l'une et discontinue pour l'autre.
Bleu : fn sur [0 ; 1]. Rouge : écart maximal d∞. Orange : aire d1 entre fn et 0.
Les quatre distances en fonction de n, en échelle logarithmique. Une droite descendante = convergence ; une droite horizontale ou montante = pas de convergence.
d∞ (écart maximal)
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d₁ (aire) : calcul / exact
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d₂ (écart quadratique) : calcul / exact
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d∞ des dérivées
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Pentes mesurées (n = 10 à 200)
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Converge vers 0 pour…
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Ce qu'on voit. Le pic qui s'affine a une aire qui tend vers 0 (pente −1) mais une hauteur toujours égale à 1 : il converge pour d1, pas pour d∞. Conséquence : l'opération « prendre le maximum » n'est pas continue pour la distance d1, puisque max fn = 1 ne tend pas vers max 0 = 0. Les vaguelettes, elles, convergent pour d∞ mais leurs pentes explosent : la dérivation n'est pas continue. En dimension finie toutes les distances raisonnables donnent la même topologie ; dans les espaces de fonctions, non. C'est pourquoi l'analyse moderne parle d'espaces topologiques : le théorème qu'on veut appliquer dépend de la topologie dans laquelle on travaille.
Planche 2
Robotique : l'espace des configurations est un tore
Un bras à deux articulations est décrit par deux angles θ₁ et θ₂. Chaque angle revient à lui-même après un tour : l'ensemble des positions n'est pas un carré, c'est un carré dont on recolle les bords opposés, c'est-à-dire un tore. Les obstacles y découpent des zones interdites. Aller d'une position à une autre sans rien heurter est possible si, et seulement si, les deux points sont dans le même morceau de l'espace libre.
L'atelier : le bras (bleu), les obstacles (rouge), la trace de la pince (vert).
L'espace des configurations (θ₁ horizontal, θ₂ vertical, de 0 à 360°). Hachures rouges : positions interdites ; teintes : morceaux de l'espace libre. Cliquez pour choisir la position à atteindre.
Positions libres
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Morceaux libres sur le tore
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Morceaux si l'on oublie de recoller
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Chemin vers le but
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Contrôle du chemin (400 positions intermédiaires)
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Deux méthodes de comptage
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Ce qu'on voit. Le robot n'a pas besoin de connaître la forme exacte des obstacles : il lui suffit de savoir dans quel morceau (composante connexe) de l'espace libre il se trouve. Si l'on oublie que les angles bouclent, on voit plus de morceaux qu'il n'y en a vraiment et l'on déclare impossibles des mouvements faisables en « passant par 360° ». Les morceaux sont comptés deux fois : par un parcours en largeur et par une structure union-find indépendante. C'est le point de départ de la planification de trajectoire (Lozano-Pérez, 1983) et, plus récemment, de la complexité topologique de Farber (2003), qui mesure combien de règles de mouvement il faut pour couvrir tous les cas.
Planche 3
Biologie : l'enroulement de l'ADN
Dans une bactérie, l'ADN forme souvent une boucle fermée : deux brins enroulés en double hélice, dont l'axe peut lui-même se tortiller. Tant qu'aucun brin n'est coupé, le nombre de fois où un brin tourne autour de l'autre — l'enlacement Lk — ne peut pas changer. En revanche il se partage entre la torsion Tw (les brins tournent autour de l'axe) et la vrille Wr (l'axe s'enroule sur lui-même) : Lk = Tw + Wr (Călugăreanu 1959, White 1969).
Brin bleu, brin orange, barreaux gris (paires de bases). Glissez pour tourner.
Enlacement Lk (Gauss, brin / brin)
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Torsion Tw (intégrée le long de l'axe)
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Vrille Wr (Gauss, axe / axe)
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Tw + Wr
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Écart à Lk
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Longueur de l'axe
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Ce qu'on voit. Faites varier le surenroulement : la vrille grandit, la torsion diminue d'autant, et leur somme reste collée à l'entier Lk. C'est exactement ce que fait l'ADN : une molécule trop tordue se soulage en se vrillant, ce qui la compacte dans le noyau. Seules les topoisomérases, enzymes qui coupent un brin, le font passer et le ressoudent, peuvent changer Lk d'une unité. Plusieurs antibiotiques (quinolones) et anticancéreux agissent en bloquant ces enzymes : un médicament qui vise, littéralement, un invariant topologique.
Planche 4
Physique : un isolant qui conduit par ses bords
Dans le modèle de Su, Schrieffer et Heeger (1979), un électron saute le long d'une chaîne d'atomes avec deux forces de liaison alternées : v à l'intérieur de chaque paire, w entre deux paires. Le matériau est isolant dans les deux cas, mais il en existe deux espèces, distinguées par un nombre de tours : l'enroulement du vecteur d(k) = (v + w cos k ; w sin k) autour de l'origine. Quand il vaut 1, des états d'énergie nulle apparaissent aux deux extrémités de la chaîne, quel que soit le désordre.
Lacet d(k) quand k parcourt la zone de Brillouin (0 à 2π). Point rouge : l'origine. L'enroulement compte les tours autour d'elle.
En haut : les 80 niveaux d'énergie d'une chaîne de 40 paires (rouge : états d'énergie quasi nulle, |E| < 0,02 ; bande verte : bande interdite de la chaîne sans désordre). En bas : probabilité de présence de l'électron dans l'état d'énergie la plus proche de 0, site par site.
Enroulement de d(k)
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Largeur de la bande interdite 2|w − v|
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États d'énergie quasi nulle (|E| < 0,02)
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|E| de l'état de bord
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Pente de ln|E| selon la longueur / ln(v/w)
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Présence sur les 5 sites de chaque bord
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Ce qu'on voit. Pour v < w, le lacet entoure l'origine (enroulement 1) et deux états d'énergie quasi nulle vivent collés aux extrémités ; leur énergie résiduelle décroît comme (v/w)ⁿ avec la longueur n de la chaîne, ce que confirme la pente mesurée ; pour v > w, le lacet ne l'entoure plus et ils disparaissent. Le seul moyen de changer l'enroulement est de faire passer le lacet par l'origine, c'est-à-dire de fermer la bande interdite (v = w). Ajoutez du désordre : les niveaux intérieurs bougent, les états de bord restent à énergie nulle. C'est la correspondance volume-bord, au cœur des isolants topologiques (prix Nobel 2016 : Thouless, Haldane, Kosterlitz). En relativité, la topologie joue un rôle d'une autre nature : elle décrit la forme globale de l'espace-temps (horizons, univers fermé ou ouvert) que les équations locales d'Einstein ne fixent pas.
Planche 5 · Signature
Science des données : voir la forme d'un nuage de points
Un capteur, un sondage ou une simulation livrent des points, jamais une forme. Pour retrouver la forme, on grossit chaque point en un disque de rayon r/2 et l'on relie deux points dès que leurs disques se touchent (distance ≤ r), en remplissant les triangles dont les trois côtés sont présents. On regarde alors combien de morceaux (β₀) et de boucles (β₁) apparaissent. Le secret de l'homologie persistante : ne pas choisir r, mais faire varier r de 0 à l'infini et noter pendant combien de temps chaque structure survit. Ce qui dure est une vraie forme ; ce qui naît et meurt aussitôt est du bruit.
Points noirs : les données. Disques bleus : rayon r/2. Traits : paires à distance ≤ r. Triangles orange : triangles remplis.
Code-barres : chaque barre est une structure, de sa naissance à sa mort quand r grandit. Bleu : morceaux (β₀) ; rouge : boucles (β₁). Trait vertical : le r choisi.
Sommets / arêtes / triangles à r
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β₀ et β₁ par les rangs (mod 2)
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Barres vivantes à r (β₀, β₁)
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Boucles franchement persistantes
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Plus longue boucle : naissance → mort
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Morceaux franchement persistants
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Ce qu'on voit. Pour le cercle, une boucle rouge naît dès que les voisins se touchent et ne meurt que lorsque r approche √3 ≈ 1,73 fois le rayon, un peu avant à cause du bruit (c'est l'échelle où le triangle équilatéral inscrit se remplit) : elle domine toutes les petites boucles de bruit. Deux cercles donnent deux longues barres rouges (et deux longues barres bleues : deux morceaux), le huit deux barres rouges mais un seul morceau ; le disque plein n'en donne aucune de durable ; trois amas donnent trois longues barres bleues. Le nombre de morceaux et de boucles est calculé deux fois : directement à l'échelle r, par le rang des matrices de bord modulo 2, et à partir du code-barres construit une fois pour toutes. Les deux coïncident à toutes les échelles. Cette méthode (Edelsbrunner, Letscher et Zomorodian, 2002 ; Carlsson, 2009) sert aujourd'hui en imagerie médicale, en science des matériaux, en neurosciences et en détection d'anomalies.
Repères historiques
1906Maurice Fréchet définit les espaces métriques et la convergence de fonctions : l'analyse devient topologique.
1914Felix Hausdorff donne la définition générale d'un espace topologique par ses voisinages.
1959-1969Călugăreanu puis White démontrent Lk = Tw + Wr pour les rubans fermés.
1971James Wang découvre la première topoisomérase, enzyme qui change l'enlacement de l'ADN.
1979Su, Schrieffer et Heeger décrivent la chaîne de polyacétylène et ses états de bord.
1982Thouless et ses collègues expliquent l'effet Hall quantique par un invariant topologique.
1983Tomás Lozano-Pérez formalise l'espace des configurations en robotique.
2002Edelsbrunner, Letscher et Zomorodian introduisent l'homologie persistante.
2003Michael Farber définit la complexité topologique d'un problème de planification de mouvement.
2016Prix Nobel de physique à Thouless, Haldane et Kosterlitz pour les phases topologiques de la matière.
En trois idées
Choisir ce qui est « proche »
Une topologie dit quels objets sont voisins. En analyse ce choix décide de la convergence ; en robotique il décide des mouvements permis ; en données il est fixé par l'échelle r.
Les entiers résistent
Composantes, boucles, enlacements, enroulements : ce sont des entiers, donc insensibles aux petites perturbations, au bruit de mesure, au désordre d'un matériau.
Du global à partir du local
On calcule avec des données locales (distances, liaisons, angles) et l'on obtient une information globale (un chemin existe, un état de bord existe, une boucle existe).
Pour aller plus loin
Pourquoi la dimension finie est-elle sage ? Dans ℝⁿ, toutes les normes sont équivalentes : elles définissent les mêmes suites convergentes. Cela tient à la compacité de la sphère unité, qui se perd en dimension infinie (théorème de Riesz). C'est pour cela que l'analyse fonctionnelle doit préciser sa topologie.
Robotique au-delà de deux angles. Un bras à six articulations vit sur un tore de dimension 6 ; un objet rigide libre dans l'espace sur ℝ³ × SO(3), où SO(3) est l'espace des rotations, qui n'est pas simplement connexe : un tour complet ne se défait pas continûment, deux tours si (le « truc de l'assiette »).
Réseaux de neurones. L'homologie persistante sert aussi à comparer les représentations internes d'un réseau et à mesurer la complexité topologique des données qu'il doit séparer.
Dans les autres pages du cahier. La définition des ouverts et de la continuité par image réciproque : « La topologie et la théorie des ensembles » ; les invariants eux-mêmes (indice, χ, Möbius, Brouwer) : « La topologie, géométrie du caoutchouc » ; les graphes : « La théorie des graphes ».