Étirer, tordre, comprimer, mais ni déchirer ni recoller : que reste-t-il d'une figure quand on a le droit de tout déformer ? Presque rien de ce que mesure la géométrie classique… et pourtant l'essentiel.
Ce qui compte, ce qui ne compte plus
En géométrie classique, deux figures sont « les mêmes » si l'on peut passer de l'une à l'autre par un déplacement rigide : mêmes longueurs, mêmes angles, mêmes aires. En topologie, on est beaucoup plus tolérant. Deux figures sont les mêmes — on dit homéomorphes — si l'on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue et réversible : une transformation qui ne sépare jamais deux points voisins (pas de déchirure) et qui ne fusionne jamais deux points distincts (pas de recollement). Une propriété qui survit à toutes ces déformations s'appelle un invariant topologique.
Propriété d'une figure
Géométrie classique
Topologie (caoutchouc)
Longueur, aire, volume
compte
oubliée
Angles, droites, cercles
compte
oubliés : un carré est un cercle
Nombre de morceaux
compte
compte (on ne déchire pas)
Nombre de trous, de boucles
compte
compte (on ne recolle pas)
Être à l'intérieur ou à l'extérieur d'une courbe fermée
compte
compte
Avoir un bord, avoir deux faces
compte
compte
Les cinq planches qui suivent font l'expérience : on déforme, on mesure ce qui change, et l'on vérifie par le calcul que ce qui doit rester fixe le reste exactement.
Planche 1
Déformer sans déchirer : un carré est un cercle
Une figure est dessinée sur une feuille de caoutchouc quadrillée. On étire la feuille pour arrondir la figure, puis on la tord comme un tourbillon. Les longueurs, l'aire et les angles changent sans cesse ; mais un point placé à l'intérieur ne peut pas sortir sans que la feuille se déchire.
Quadrillage gris : la feuille de caoutchouc. Bleu : la courbe fermée. Point rouge : le témoin P (déplaçable à la souris ou au doigt). Pointillé vert : la demi-droite de contrôle.
Périmètre
—
Aire enclose
—
Angle le plus aigu
—
Indice de P (tours / 2π)
—
Rayon issu de P : traversées
—
P dedans ? (deux méthodes)
—
Ce qu'on voit. Périmètre, aire et angles varient continûment : ce sont des grandeurs de géomètre, pas de topologue. En revanche l'indice de P — le nombre de tours que fait la courbe autour de lui, obtenu en additionnant les petits angles sous lesquels on voit chaque morceau de courbe — reste un entier, 1 ou 0, et ne bouge pas. Le contrôle indépendant compte combien de fois une demi-droite partant de P coupe la courbe : un nombre impair signifie « dedans ». C'est le théorème de Jordan (1887) : toute courbe fermée simple coupe le plan en un intérieur et un extérieur.
Planche 2
L'alphabet du topologue
Écrites avec un trait de caoutchouc, combien de lettres majuscules restent réellement différentes ? On réduit chaque lettre à un squelette : des points (extrémités et embranchements) reliés par des traits. Deux invariants suffisent ici à les trier : le nombre de boucles et la liste des points spéciaux, extrémités (1 trait) et embranchements (3 ou 4 traits).
Cliquez une lettre pour l'examiner. Les lettres de même classe peuvent se déformer l'une en l'autre.
Squelette de la lettre : ● extrémité, ● embranchement à 3, ● embranchement à 4.
Lettre et sa classe
—
Sommets / traits
—
Boucles : A − S + 1
—
Boucles : A − rang (mod 2)
—
Points spéciaux
—
Classes trouvées
—
Ce qu'on voit. Les 26 lettres se rangent en 9 classes seulement : C, I, L, M, S, Z… sont toutes un simple segment tordu ; D et O sont un même cercle ; E, F, T, Y ont chacune un embranchement et trois extrémités. Le nombre de boucles est calculé deux fois : par la formule « traits − sommets + 1 » et, indépendamment, par le rang de la table d'incidence en arithmétique modulo 2. Cochez les variantes : un simple changement de police fait passer K dans la classe de H, R dans celle de A et Q dans celle de P. La topologie ne regarde pas la forme des traits, seulement la façon dont ils se branchent.
Planche 3
Compter les trous : la caractéristique d'Euler
Découpez une surface fermée en petits triangles, puis comptez les sommets S, les arêtes A et les faces F. Le nombre χ = S − A + F ne dépend ni du découpage, ni des bosses qu'on imprime à la surface : il ne dépend que du nombre de trous g, par χ = 2 − 2g. Une sphère donne 2, un tore (une bouée) 0, une plaque à deux trous −2.
Faites tourner la surface en la glissant. Teinte bleue : ombrage ; les arêtes du découpage sont tracées en fin trait.
Sommets S
—
Arêtes A
—
Faces F
—
χ = S − A + F
—
Σ défauts d'angle / 2π
—
Écart entre les deux
—
Aire totale
—
Plus grand défaut en un sommet
—
Trous g = (2 − χ)/2
—
Ce qu'on voit. Augmentez la finesse : S, A et F explosent, χ ne bouge pas. Augmentez la déformation : l'aire et les angles changent, χ ne bouge pas. Le contrôle indépendant est géométrique : en chaque sommet, on mesure le défaut d'angle, 2π moins la somme des angles des triangles qui s'y rencontrent (il vaut zéro sur une surface plate). Chaque défaut change quand on cabosse la surface, mais leur somme reste égale à 2π·χ, à moins de 10⁻¹³ près (simples erreurs d'arrondi de la machine) : c'est la version discrète du théorème de Gauss-Bonnet. La courbure totale d'une surface est fixée par son nombre de trous.
Planche 4
Le ruban de Möbius : une seule face, un seul bord
Prenez une bande de papier, donnez-lui k demi-tours, recollez les extrémités. Avec un demi-tour (k = 1), on obtient le ruban de Möbius : une fourmi qui marche au milieu revient à son point de départ… la tête en bas. Le nombre de bords, le nombre de faces et le comportement quand on coupe la bande ne dépendent que de la parité de k.
Bleu et orange : les deux côtés de la bande, repérés par la normale du paramétrage. Sur un ruban impair, les couleurs s'échangent brutalement le long d'une couture : impossible de peindre deux faces distinctes. Glissez pour tourner.
Bords du ruban
—
Normale après un tour
—
Faces
—
Enlacement bord / âme (intégrale de Gauss)
—
Morceaux après la coupe
—
Détail des morceaux
—
Ce qu'on voit. Pour k pair, la bande a deux faces et deux bords ; pour k impair, une face et un bord. Coupé au milieu, le ruban de Möbius ne se sépare pas : il donne une seule bande, deux fois plus longue, qui fait deux tours. Coupé au tiers, il donne deux anneaux enlacés : un ruban de Möbius plus mince et une longue bande. L'enlacement se calcule par l'intégrale double de Gauss (1833) ; le résultat numérique tombe sur un entier, et cet entier est un invariant : aucune déformation ne peut désenlacer deux anneaux sans couper.
Planche 5 · Signature
Exister sans formule : deux théorèmes du caoutchouc
La topologie démontre qu'une chose existe sans jamais la calculer : il suffit de compter des tours. Froissez un plan de ville et posez-le sur la table à l'intérieur de sa propre place : au moins un point du plan est exactement au-dessus du lieu qu'il représente. Coiffez une sphère chevelue : il y a forcément un épi. Dans les deux cas, on le trouve en suivant l'indice de la planche 1.
Disque clair : la place de la table. Quadrillage bleu : le plan froissé posé dessus (image du quadrillage de départ). Flèches grises : déplacement de chaque point. Étoile rouge : point fixe.
Points fixes trouvés
—
Position du premier
—
|f(p) − p| après Newton
—
Indice le long du bord
—
Σ indices des points fixes
—
Déplacement moyen
—
Ce qu'on voit. Le long du bord du disque, la flèche « déplacement » f(x) − x fait toujours exactement un tour : chaque point du bord est poussé vers l'intérieur de la table. Or si le disque ne contenait aucun point fixe, on pourrait rétrécir ce cercle sans que la flèche s'annule et son nombre de tours finirait par valoir 0 sur un cercle minuscule. Contradiction : un point fixe existe (Brouwer, 1910). La page le localise en quadrillant le carré en 64 × 64 petites cases, en cherchant, parmi celles qui tombent dans le disque, celles autour desquelles la flèche tourne, puis l'affine par la méthode de Newton. S'il y en a plusieurs, leurs indices (+1 ou −1) ont toujours pour somme 1.
Flèches : un champ de vent tangent à la surface. Points rouges : zéros d'indice +1 (source, puits, tourbillon) ; points verts : zéros d'indice −1 (col). Glissez pour tourner.
Zéros (épis)
—
dont indice +1 / −1
—
Σ indices
—
χ de la surface (planche 3)
—
Plus grand |v| aux zéros
—
Cases examinées
—
Ce qu'on voit. Sur la sphère, quel que soit le vent tiré, la somme des indices vaut 2 : au moins un point où il ne souffle pas. On ne peut pas peigner une sphère chevelue sans faire d'épi ; il y a toujours quelque part sur Terre un point de vent horizontal nul. Sur le tore, la somme vaut 0, et la rotation régulière coiffe la bouée sans aucun épi. Ce nombre, c'est précisément la caractéristique d'Euler de la planche 3 : théorème de Poincaré-Hopf (1885, 1926). Un invariant qu'on obtenait en comptant des triangles se retrouve en comptant des tourbillons.
Repères historiques
1736Euler résout le problème des sept ponts de Königsberg : seule compte la façon dont les ponts relient les quartiers, pas leurs longueurs. C'est la première question de pure « géométrie de position ».
1750Euler énonce S − A + F = 2 pour les polyèdres convexes, dans une lettre à Goldbach.
1833Gauss donne l'intégrale qui compte l'enlacement de deux courbes fermées, à propos de l'électromagnétisme.
1847Johann Benedict Listing, élève de Gauss, invente le mot « Topologie » dans ses Vorstudien zur Topologie.
1858Möbius et Listing découvrent indépendamment le ruban à une seule face.
1857-1882Riemann, puis Möbius et Klein classent les surfaces par leur nombre de trous (le genre).
1887Camille Jordan énonce et démontre le théorème de la courbe fermée.
1895Henri Poincaré publie l'Analysis situs, acte de naissance de la topologie algébrique.
1910-1912L. E. J. Brouwer démontre le théorème du point fixe et le théorème de la boule chevelue.
1926Heinz Hopf achève le théorème de Poincaré-Hopf : la somme des indices d'un champ de vecteurs vaut χ.
2003Grigori Perelman démontre la conjecture de Poincaré (1904) : toute variété de dimension 3 fermée et sans « trou » est une sphère déformée.
En trois idées
Déformer n'est pas tout permettre
Étirer, tordre, comprimer : oui. Déchirer (séparer des voisins) ou recoller (confondre des points distincts) : non. Une telle déformation réversible s'appelle un homéomorphisme.
Les invariants sont des nombres entiers
Nombre de morceaux, de boucles, de trous, de bords, indice d'un point, enlacement, caractéristique d'Euler : tous sont entiers, donc ne peuvent pas varier continûment. C'est ce qui les rend incassables.
Compter pour prouver
Un nombre de tours non nul impose l'existence d'un point fixe, d'un épi, d'un intérieur. La topologie démontre l'existence de solutions sans les écrire, puis le calcul numérique vient les localiser.
Pour aller plus loin
Pourquoi « continue et réversible » ? Une application continue peut écraser une figure (un cercle sur un point) : elle ne détruit pas de voisinage mais en crée. Exiger qu'elle soit bijective et que sa réciproque soit aussi continue interdit ces écrasements ; c'est la définition exacte de l'homéomorphisme.
Déformation dans le plan ou dans l'espace ? Le nœud de trèfle et le cercle sont homéomorphes (tous deux sont une boucle), mais on ne peut pas passer de l'un à l'autre en bougeant dans l'espace sans traverser la corde : c'est la différence entre homéomorphisme et isotopie, objet de la théorie des nœuds. L'enlacement de la planche 4 est un invariant de ce second type.
La tasse et le beignet. Une tasse à anse et une bouée ont chacune un trou (g = 1, χ = 0) : c'est pourquoi on dit qu'un topologue ne sait pas distinguer sa tasse de son beignet. Pour les surfaces fermées orientables, le nombre de trous suffit à tout classer ; en dimension 3, il faut la géométrisation de Thurston et Perelman.
Dans les autres pages du cahier. La définition des ouverts, de l'intérieur et de l'adhérence, et le test du point retiré, sont traités dans la page « La topologie et la théorie des ensembles » ; les ponts de Königsberg dans « La théorie des graphes ».