L'intégration en mathématiques consiste à mesurer globalement l'effet cumulé d'une grandeur locale (aire sous une courbe, volume, masse totale ou probabilité).
Au XVIIIe siècle, intégrer voulait dire « trouver une primitive » : l'aire sous une courbe n'était qu'un sous-produit du calcul inverse de la dérivée. En 1823, Cauchy renverse l'ordre des choses. Il définit l'intégrale d'une fonction continue comme la limite de sommes de petits rectangles, prouve que cette limite existe, et en déduit l'existence d'une primitive. Tout ce qui suit dans l'histoire de l'intégration consiste à rendre ce raisonnement plus solide, puis à l'étendre à des fonctions de plus en plus sauvages. Les cinq planches suivent cette histoire. Chaque nombre affiché est calculé par la page et contrôlé par une formule indépendante.
Dans ses leçons à l'École polytechnique, Cauchy découpe [a, b] en morceaux de longueurs quelconques x₀ = a < x₁ < … < xₙ = b et forme la somme S = f(x₀)(x₁ − x₀) + f(x₁)(x₂ − x₁) + … + f(xₙ₋₁)(xₙ − xₙ₋₁) : chaque rectangle prend la hauteur de la courbe à son bord gauche. Il affirme que, pour une fonction continue, ces sommes se rapprochent d'une même valeur dès que le plus grand morceau, noté δ, devient petit, quelle que soit la façon de découper.
Le nœud de la preuve. Sur un morceau de largeur au plus δ, la fonction ne varie pas de plus de ω(δ), la plus grande variation de f entre deux points distants de moins de δ (le module de continuité). Chaque rectangle se trompe donc au plus de ω(δ) × largeur, et la somme entière au plus de ω(δ)(b − a). Le nuage bleu reste toujours sous la courbe rouge. Mais Cauchy suppose sans le dire que ω(δ) → 0, c'est-à-dire que la fonction est uniformément continue. Ce n'est démontré qu'en 1872 par Heine, pour toute fonction continue sur un segment fermé. Choisissez sin(1/x) : elle est continue sur ]0, 1] mais pas uniformément, ω(δ) reste bloqué à 2, la garantie de Cauchy ne dit plus rien… et pourtant le nuage descend quand même. Il faudra Riemann pour comprendre pourquoi.
Cauchy tire aussitôt la conséquence : la fonction F(x) = ∫ₐˣ f a pour dérivée f(x). Le théorème fondamental cesse d'être une définition et devient un théorème : toute fonction continue possède une primitive. La valeur de référence I est calculée par la primitive, sauf pour sin(1/x), où elle vaut sin 1 − Ci(1), avec le cosinus intégral Ci obtenu par sa série.
Plutôt que d'essayer tous les points possibles, Darboux prend d'un coup le pire et le meilleur : sur chaque morceau, un rectangle à la hauteur du minimum de la fonction (somme inférieure L) et un à la hauteur du maximum (somme supérieure U). Toute somme de Riemann est coincée entre les deux. Et quand on ajoute un point de découpe, L ne peut que monter et U que descendre : le minimum sur un demi-morceau est au moins égal au minimum sur le morceau entier.
Le théorème de Darboux. L'écart U − L est exactement la somme des oscillations pondérées de Riemann ; il est donc majoré par ω(δ)(b − a), la garantie de Cauchy. Une fonction est intégrable quand la plus grande somme inférieure et la plus petite somme supérieure se rejoignent. Pour une fonction continue, Heine garantit que cela arrive toujours. Remarquez la forme en escalier des deux courbes : un point ajouté dans un morceau où la fonction est presque plate ne change presque rien, un point ajouté là où elle varie vite referme beaucoup l'écart.
L'intégrale de Kurzweil-Henstock (ou intégrale de jauge), introduite indépendamment à la fin des années 1950, résout un problème fondamental que ni Riemann ni Lebesgue ne règlent pleinement : rendre le théorème fondamental de l'analyse universel sans condition artificielle.
Prenons F(x) = x² sin(1/x²), avec F(0) = 0. Elle est dérivable en tout point de [0, 1], sa dérivée vaut F′(x) = 2x sin(1/x²) − (2/x) cos(1/x²) et F′(0) = 0. Le bon sens dit que ∫₀¹ F′ = F(1) − F(0) = sin 1 ≈ 0,841471. Pourtant ni l'intégrale de Riemann ni celle de Lebesgue n'acceptent de le dire. En 1957, Jaroslav Kurzweil, puis indépendamment Ralph Henstock en 1961, trouvent la modification minuscule qui répare tout : au lieu d'exiger des morceaux tous plus petits qu'un même δ, on autorise une jauge δ(x) qui varie d'un point à l'autre.| Fonction sur [0, 1] | Cauchy | Riemann, Darboux | Lebesgue | Henstock-Kurzweil |
|---|---|---|---|---|
| continue | oui | oui | oui | oui |
| Thomae (1/q en p/q, 0 ailleurs) | hors cadre | oui, vaut 0 | oui, vaut 0 | oui, vaut 0 |
| Dirichlet (1 sur ℚ, 0 ailleurs) | hors cadre | non | oui, vaut 0 | oui, vaut 0 |
| F′ pour F = x² sin(1/x²) | hors cadre | non (seulement en impropre) | non | oui, vaut sin 1 |
Chaque théorie contient la précédente et donne la même valeur quand les deux s'appliquent : pour une fonction continue, les quatre intégrales coïncident. L'intégrale de Henstock-Kurzweil contient à la fois celle de Lebesgue et toutes les intégrales impropres de Riemann ; elle équivaut à celles, bien plus compliquées, de Denjoy (1912) et de Perron (1914). Son grand mérite est pédagogique : c'est une somme de Riemann, avec une seule règle changée. Et elle rend au théorème fondamental sa forme la plus simple : si F est dérivable en tout point de [a, b], alors F′ est intégrable et ∫ₐᵇ F′ = F(b) − F(a), sans aucune autre hypothèse. En 1969, McShane montre qu'en autorisant de plus chaque point de mesure à sortir de son morceau, ce qui rend la condition plus exigeante, on retombe exactement sur l'intégrale de Lebesgue.