La théorie de Galois
Pourquoi existe-t-il des formules pour les équations de degré 2, 3 et 4, et aucune pour le degré 5 ? Évariste Galois a répondu en 1830 en associant à chaque équation un groupe : celui des permutations de ses racines qui respectent toutes leurs relations. Cinq planches pour voir ce groupe, le calculer, lire ses sous-groupes, et comprendre pourquoi celui de l'équation générale du cinquième degré bloque toute formule.
De Lagrange à Galois
En 1770, Lagrange avait remarqué que toutes les méthodes de résolution reposent sur un même ressort : fabriquer des expressions des racines qui prennent peu de valeurs quand on permute les racines (voir les pages VIII.4 et VIII.5). Mais il permutait les racines librement, de toutes les n! façons possibles.
L'idée de Galois est de ne garder que les permutations qui respectent toutes les relations à coefficients rationnels entre les racines. Si les racines sont liées, par exemple si r₁ + r₃ = 0, une permutation acceptable doit envoyer cette égalité sur une égalité vraie. Ces permutations forment un groupe, le groupe de Galois de l'équation. Plus il est petit, plus l'équation est simple ; et c'est sa structure, non sa taille, qui décide si une formule par radicaux existe.
| Côté équation | Côté groupe | Planche |
|---|---|---|
| les racines et leurs relations | le groupe G des permutations qui respectent les relations | 1 |
| le discriminant est un carré | G ne contient que des permutations paires | 2 |
| un corps intermédiaire entre ℚ et le corps des racines | un sous-groupe de G (l'inclusion est renversée) | 3 |
| extraire une racine carrée, cubique… | descendre d'un cran dans une chaîne à quotients abéliens | 4 |
| résoluble par radicaux | G est résoluble | 4 et 5 |
Le groupe d'une équation : les permutations qui respectent les relations
Parmi les n! façons d'échanger les racines, lesquelles sont « permises » ?
Prenons X⁴ − 2. Ses racines, numérotées de gauche à droite, sont r₁ = −α, r₂ = iα, r₃ = −iα et r₄ = α, avec α = ⁴√2 ≈ 1,189. Elles vérifient des relations, par exemple r₁ + r₄ = 0. La permutation qui échange r₂ et r₄ en laissant r₁ fixe transforme cette égalité en r₁ + r₂ = −α + iα, qui n'est pas nul : elle est interdite. La page cherche automatiquement des relations simples à coefficients entiers entre les racines (sommes, produits, carrés, et le produit Π(rᵢ − rⱼ)), puis teste chaque permutation.
Le contrôle vert ne dépend d'aucune liste de relations. On forme θ = Σ wᵢ rᵢ avec de petits poids entiers, puis, pour un sous-groupe H de Sₙ, le polynôme FH(X) = Πσ∈H (X − θσ). Ses coefficients sont rationnels exactement quand H contient G. Le groupe de Galois est donc le plus petit sous-groupe qui passe ce test : la page essaie tous les sous-groupes de Sₙ et vérifie que tous ceux qui passent contiennent bien G.
Calculer le groupe : discriminant, résolvante et nombres premiers
Sans connaître les racines, peut-on trouver le groupe à partir des seuls coefficients ?
Pour les degrés 3 et 4, oui, par un calcul exact. Le discriminant Δ = Πi<j(rᵢ − rⱼ)² se calcule à partir des coefficients. Il est un carré de ℚ exactement quand G ne contient que des permutations paires. En degré 4, la résolvante cubique, polynôme du 3ᵉ degré dont les racines sont r₁r₂ + r₃r₄, r₁r₃ + r₂r₄ et r₁r₄ + r₂r₃, achève le tri.
Pour tout degré, il existe une autre voie, expérimentale : réduire le polynôme modulo des nombres premiers. D'après Dedekind, si le polynôme modulo p se factorise en facteurs de degrés 3 et 2, alors G contient une permutation formée d'un cycle de longueur 3 et d'un cycle de longueur 2. Le théorème de densité de Chebotarev (1922) précise que chaque forme de factorisation apparaît avec la même fréquence que le type de cycle correspondant dans G.
La correspondance de Galois : sous-groupes et corps intermédiaires
Entre ℚ et le corps L engendré par toutes les racines, combien y a-t-il de corps intermédiaires ? Exactement autant que de sous-groupes de G.
À chaque sous-groupe H de G on associe le corps LH des nombres de L que toutes les permutations de H laissent fixes. C'est le théorème fondamental : cette association est une bijection, elle renverse les inclusions (plus le groupe est gros, plus le corps fixe est petit), et le degré du corps sur ℚ est égal à l'indice [G : H] = |G| / |H|. Cliquez sur un sous-groupe ou sur un corps : son partenaire s'allume de l'autre côté.
Le contrôle est numérique et indépendant. Pour chaque corps nommé, la page calcule l'ensemble des permutations de G qui laissent son générateur fixe : c'est exactement le sous-groupe placé au même endroit. Le polynôme minimal s'obtient en multipliant les X − g(x) pour les valeurs distinctes de g(x) ; ses coefficients sortent entiers, ce qui confirme qu'il est à coefficients rationnels.
Groupes résolubles : la descente qui mène à une formule
Quelle propriété du groupe permet d'écrire les racines avec des radicaux ?
Extraire une racine n-ième, c'est, du côté des groupes, passer d'un groupe à un sous-groupe distingué dont le quotient est abélien (commutatif). On le teste avec le groupe dérivé G′, engendré par tous les commutateurs aba⁻¹b⁻¹ : c'est le plus petit sous-groupe distingué à quotient abélien. On recommence avec G′, puis G″, et ainsi de suite. Le groupe est résoluble si cette descente atteint {id}. Galois a démontré qu'une équation est résoluble par radicaux exactement quand son groupe est résoluble.
Signature : les racines qui tournent
Peut-on voir pourquoi aucune formule n'existe en degré 5 ? Oui, en faisant tourner un paramètre.
Considérons les racines de Xn − X − t, où t est un nombre complexe. Pour t = 0, ce sont 0 et les racines (n−1)-ièmes de l'unité. Quand t se déplace, les racines bougent continûment. Elles ne se rencontrent qu'en quelques valeurs de t, les points de branchement (croix rouges). Un lacet part de 0, fait le tour d'un point de branchement et revient en 0 : les racines reviennent à l'ensemble de départ, mais permutées. C'est la monodromie.
V. Arnold en a tiré, en 1963, une preuve très visuelle. Une formule par radicaux ne contient qu'une racine carrée, une racine cubique, etc. Chacune ne fait que se multiplier par une racine de l'unité quand on parcourt un lacet, et ces multiplications commutent. Après un commutateur de lacets a·b·a⁻¹·b⁻¹, les radicaux les plus intérieurs reviennent donc à leur valeur. Après un commutateur de commutateurs, ceux du niveau suivant aussi, et ainsi de suite. Une formule à k niveaux de radicaux revient forcément à sa valeur de départ après tout commutateur itéré de niveau k. Si les racines, elles, sont encore permutées après un tel chemin, aucune formule à k niveaux ne peut les exprimer.
Pour une équation précise à coefficients entiers, l'argument classique est le suivant. Si P est irréductible de degré 5 (premier) avec exactement trois racines réelles, alors G contient un 5-cycle (car 5 divise |G|), et la conjugaison complexe, qui échange les deux racines non réelles et fixe les trois autres, est une transposition de G. Or une transposition et un 5-cycle engendrent toujours S₅ tout entier. G = S₅ n'est pas résoluble : les racines de P ne s'écrivent pas avec des radicaux.
Une brève histoire
En résumé
Un groupe par équation
Le groupe de Galois réunit les permutations des racines qui respectent toutes les relations rationnelles. On le calcule par le discriminant et la résolvante, ou on le reconnaît statistiquement par la factorisation modulo p.
Un dictionnaire
Sous-groupes et corps intermédiaires se correspondent en renversant l'inclusion. Les degrés deviennent des indices, les extensions galoisiennes des sous-groupes distingués.
Une frontière
Une formule par radicaux existe exactement quand le groupe est résoluble. S₃ et S₄ le sont, S₅ ne l'est pas, parce que A₅ est simple et non commutatif.
Pour aller plus loin
Résoluble ne veut pas dire facile. X⁵ − 2 ou les équations cyclotomiques Xⁿ − 1 sont résolubles par radicaux ; Gauss avait ainsi montré dès 1801 que l'heptadécagone régulier est constructible, parce que le groupe de X¹⁷ − 1 est d'ordre 16 = 2⁴.
Constructions à la règle et au compas. Un nombre constructible a un degré qui est une puissance de 2. La duplication du cube (∛2, degré 3) et la trisection de l'angle (X³ − 3X − 1, groupe C₃) sont donc impossibles.
Le problème inverse. Tout groupe fini est-il le groupe de Galois d'un polynôme à coefficients rationnels ? On le sait pour les groupes symétriques, pour les groupes résolubles (Chafarevitch) et pour de nombreux groupes simples, mais la question reste ouverte en général.
Au-delà des polynômes. La même idée régit les revêtements en topologie (planche 5), les équations différentielles (théorie de Picard-Vessiot) et l'arithmétique moderne, où le groupe de Galois absolu de ℚ est au cœur du programme de Langlands.