La théorie algébrique des nombres est une branche des mathématiques qui étudie les nombres à l'aide d'outils de l'algèbre. Elle élargit l'étude des entiers et des nombres premiers à de nouveaux ensembles de nombres.
Un nombre algébrique α est racine d'un polynôme P à coefficients entiers : P(α) = 0. Parmi tous les polynômes qui s'annulent en α, un seul, à un facteur constant près, est de plus petit degré : c'est le polynôme minimal de α, et son degré est le degré de α. Ses autres racines — les conjugués de α — sont tracées avec lui sur le plan complexe : leur nombre est exactement le degré. √2 et −√2 sont conjugués (degré 2) ; ∛2 a deux conjugués complexes en plus de lui-même (degré 3) ; une racine cinquième primitive de l'unité en a trois (degré 4).
Un entier algébrique est racine d'un polynôme unitaire (coefficient dominant 1) à coefficients entiers. L'ensemble des entiers algébriques d'un corps de nombres forme un anneau : on peut y additionner, soustraire et multiplier sans en sortir. Les quatre anneaux ci-dessus sont chacun un réseau régulier du plan ; cliquez un point pour lire ses coordonnées et sa norme — le produit de l'élément par tous ses conjugués, qui généralise la valeur absolue.
Dans ℤ[i], un nombre premier p de ℤ peut perdre son statut de premier. S'il existe a,b entiers avec a²+b²=p, alors p = (a+bi)(a−bi) se scinde en deux facteurs non triviaux : c'est le cas exactement quand p ≡ 1 (mod 4). Si p ≡ 3 (mod 4), aucune décomposition n'existe : p reste inerte, toujours premier dans ℤ[i]. Le cas p=2 est à part : 2 = −i(1+i)², il se ramifie — ses deux facteurs sont, à une unité près, le même.
Cette trichotomie répond directement à la question posée en tête de page : un entier z est une somme de deux carrés x²+y² exactement quand chacun de ses facteurs premiers ≡ 3 (mod 4) apparaît à une puissance paire (théorème des deux carrés de Fermat). La planche du bas construit des triplets pythagoriciens à partir de ce principe : pour m > n > 0 premiers entre eux et de parités différentes, (m+ni)² = (m²−n²) + 2mn·i donne x=m²−n², y=2mn, z=m²+n² — et z, étant une norme, n'a que des facteurs premiers 2 ou ≡ 1 (mod 4), vérifiable sur chaque triplet affiché.
Dans ℤ, tout entier se factorise en nombres premiers d'une seule façon (théorème fondamental de l'arithmétique). Dans ℤ[√−5], ce n'est plus vrai : 6 = 2 × 3, mais aussi 6 = (1+√−5)(1−√−5), et ces quatre facteurs — 2, 3, 1+√−5, 1−√−5 — sont tous irréductibles : aucun ne se factorise davantage. On le vérifie par les normes (N(a+b√−5) = a²+5b²) : N(2)=4, N(3)=9, N(1±√−5)=6. Si l'un de ces éléments se factorisait en deux facteurs non-unités, l'un des deux aurait une norme 2 ou 3 — et le bouton de recherche confirme, sur une plage étendue de a et b, qu'aucun élément de ℤ[√−5] n'atteint ces deux normes.
Ernst Kummer a proposé, en 1847, de ne plus factoriser les nombres mais des idéaux — des ensembles de multiples, stables par addition et par multiplication par tout élément de l'anneau. Deux idéaux se multiplient en engendrant l'ensemble de tous les produits de leurs éléments ; ici, chaque idéal est représenté par sa base canonique — sa forme normale de Hermite — calculée en direct, ce qui permet de comparer deux idéaux ou de vérifier une égalité au bit près.
Les idéaux P₂ = (2, 1+√−5), P₃ = (3, 1+√−5) et P₃′ = (3, 1−√−5) ne sont pas principaux — aucun élément unique ne les engendre — et pourtant ce sont, en un sens précis, les vrais nombres premiers de ℤ[√−5]. Le panneau ci-dessus vérifie en direct que P₂² = (2), que P₃·P₃′ = (3), que P₂·P₃ = (1+√−5) et que P₂·P₃′ = (1−√−5) : les deux factorisations élémentaires de la planche 4 ne sont donc que deux regroupements différents d'une seule et même factorisation en idéaux premiers, P₂²·P₃·P₃′. Le théorème fondamental de l'arithmétique est réparé — un cran plus haut, au niveau des idéaux plutôt que des nombres.