La théorie de la mesure
Longueur, aire, volume, masse, probabilité : toutes ces grandeurs obéissent aux mêmes règles. La théorie de la mesure écrit ces règles une fois pour toutes, et les rend assez solides pour mesurer des ensembles très compliqués : poussières de points, ensembles troués partout, événements faisant intervenir une infinité de tirages. Elle montre aussi qu'on ne peut pas tout mesurer.
Qu'est-ce qu'une mesure ?
Une mesure est une règle qui attribue à certains morceaux d'un ensemble un nombre positif (ou +∞), de façon que la mesure d'un tout découpé en morceaux disjoints soit la somme des mesures des morceaux.
On se donne trois choses : un ensemble Ω (la droite, le plan, l'espace, l'ensemble des résultats d'une expérience…), une famille 𝒜 de parties de Ω que l'on accepte de mesurer — on l'appelle une tribu : elle contient Ω, et elle est stable par complémentaire et par réunion dénombrable — et enfin une fonction μ définie sur 𝒜. « Dénombrable » veut dire : que l'on peut numéroter 1, 2, 3, … sans en oublier.
μ(∅) = 0.
μ(A) ≥ 0 pour tout A de 𝒜 (la valeur +∞ est permise).
Si A₁, A₂, A₃, … sont deux à deux disjoints, μ(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = μ(A₁) + μ(A₂) + … — même pour une infinité dénombrable de morceaux.
Ces trois règles suffisent à décrire toutes les grandeurs du tableau ci-dessous. La règle 3 est la plus importante : c'est elle qui permet de passer à la limite, et c'est elle que mettent à l'épreuve les cinq planches.
| Grandeur | Ensemble Ω | Mesure d'une partie A | Exemple |
|---|---|---|---|
| Longueur | la droite ℝ | λ(A), la longueur de Lebesgue | λ([2 ; 5]) = 3 |
| Aire, volume | le plan ℝ², l'espace ℝ³ | λ₂(A), λ₃(A) | aire du disque de rayon r : πr² |
| Masse | un corps dans l'espace | ∫A ρ dλ, avec ρ la masse volumique | planche 1, densité 1 + x² + y² |
| Probabilité | les issues d'une expérience | P(A), avec P(Ω) = 1 | planche 4, pile ou face sans fin |
| Comptage | tout ensemble | le nombre d'éléments de A | #{1, 4, 9} = 3 |
| Masse ponctuelle (Dirac) | tout ensemble | 1 si a ∈ A, 0 sinon | une charge électrique concentrée en a |
Paver l'aire et la masse : mesurer par en dessous et par au-dessus
Idée simple : pour mesurer une forme, on la couvre d'un quadrillage. Les carreaux entièrement dedans donnent un minorant ; les carreaux qui la touchent donnent un majorant. Si les deux se rejoignent quand le quadrillage s'affine, la forme a une mesure.
Pour l'aire, chaque carreau compte pour sa surface h² (avec h = 2/N, côté d'un carreau quand N carreaux couvrent le côté 2 du cadre). Pour la masse, chaque carreau compte pour ρ·h², en prenant la plus petite masse volumique du carreau dans le minorant, la plus grande dans le majorant. C'est l'idée de Peano et Jordan (1887-1892) ; Lebesgue la perfectionnera.
Le cadre est le carré [−1 ; 1]². En mode « masse », la teinte des carreaux s'assombrit avec la masse volumique.
L'écart entre majorant et minorant en fonction de N, en échelle logarithmique sur les deux axes. La pente de la droite de régression est mesurée sur N = 4, 8, …, 512 ; le point rouge est le réglage courant.
Les nombres rationnels ne pèsent rien
Les fractions p/q sont partout dans [0 ; 1] : entre deux nombres, il y en a toujours une. Pourtant on peut toutes les recouvrir par des intervalles dont la longueur totale est aussi petite qu'on veut.
Avec un quadrillage (planche 1), c'est impossible : tout recouvrement par un nombre fini d'intervalles qui contient toutes les fractions recouvre [0 ; 1] tout entier, si bien que la mesure extérieure de Jordan vaut 1 alors que la mesure intérieure vaut 0. L'idée de Borel (1898) et de Lebesgue (1902) est d'accepter une infinité dénombrable d'intervalles. On numérote les fractions 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5… et on couvre la k-ième par un intervalle de longueur ε/2k+1.
En rouge, les intervalles de recouvrement (épaissis à un pixel quand ils deviennent invisibles) ; en noir, les fractions couvertes, avec une hauteur qui diminue quand le dénominateur augmente. Les points gris sont 400 des 20 000 points tirés au hasard qui servent au contrôle : rouges s'ils tombent dans un intervalle.
En fonction du nombre k de fractions couvertes (échelle logarithmique) : somme des longueurs (rouge), longueur réelle de la réunion des intervalles (bleu, plus petite car ils se chevauchent), seuil ε (gris) et mesure extérieure de Jordan, toujours égale à 1 (vert).
Les poussières de Cantor : la mesure n'est ni le nombre de points ni la forme
On part du segment [0 ; 1] et on retire, à chaque étape, un petit intervalle ouvert au milieu de chaque morceau restant. Ce qui survit à toutes les étapes s'appelle un ensemble de Cantor.
Version triadique (Cantor, 1883) : on retire le tiers central de chaque morceau. Version « grasse » (Smith 1875, Volterra 1881) : à l'étape k, on retire seulement un intervalle de longueur 1/4k au milieu de chacun des 2k−1 morceaux. Dans les deux cas il reste 2n morceaux après n étapes, et l'ensemble limite ne contient aucun intervalle. Chaque point survivant possède une adresse : la suite des choix gauche (G) ou droite (D) à chaque étape. Il y a autant d'adresses que de suites infinies de G et de D, c'est-à-dire autant de points que dans [0 ; 1] tout entier.
Une ligne par étape, de 0 (en haut) à n (en bas). Le trait rouge vertical est le point x choisi ; son adresse est lue ci-dessous.
La fonction de répartition : l'« escalier du diable »
Répartissons une masse 1 uniformément sur les 2n morceaux restants, et notons F(x) la masse située à gauche de x. Sur les trous, F ne bouge pas ; sur les morceaux, elle monte. À la limite, pour la version triadique, on obtient une fonction continue qui monte de 0 à 1 alors que sa pente est nulle sur une longueur totale de 1 : toute la montée se fait sur un ensemble de longueur nulle. Cette mesure, ni ponctuelle ni à densité, est dite singulière.
En bleu, la fonction de répartition à l'étape n ; en gris, à l'étape précédente. La diagonale en pointillé correspond à la masse répartie uniformément sur [0 ; 1].
Dans un trou la courbe avance à plat ; sur un morceau de longueur ℓ elle monte de 2⁻ⁿ. En additionnant les longueurs de tous les segments on obtient la formule de contrôle. Pour la version triadique, la limite vaut 2 : la courbe avance de 1 et monte de 1 « séparément », comme un escalier. Pour la version grasse, elle vaut √5/2 + 1/2 = 1,618034, le nombre d'or.
Une probabilité est une longueur
Lancer une pièce une infinité de fois revient à choisir un point au hasard dans [0 ; 1] : on écrit pile = 1, face = 0, et la suite des lancers donne les chiffres binaires d'un nombre x = 0,c₁c₂c₃…
Après n lancers, x est connu à un intervalle de longueur 1/2n près, et cette longueur est exactement la probabilité d'obtenir ces n résultats. Un événement devient alors un ensemble de points de [0 ; 1], et sa probabilité est sa longueur. C'est la construction que Kolmogorov a rendue officielle en 1933 : une probabilité est une mesure de masse totale 1.
Chaque ligne correspond à un lancer : l'intervalle bleu, qui contient x, est divisé en deux, et le lancer choisit la moitié gauche (face, 0) ou droite (pile, 1). Les six dernières étapes sont affichées.
Un événement, un ensemble, une longueur
Choisissez un événement. Sa probabilité est calculée de trois façons indépendantes : en additionnant les longueurs des intervalles qui le composent, par une formule exacte, et en tirant 20 000 points au hasard.
En haut, l'ensemble des x qui réalisent l'événement (bleu). En bas, 2 000 des points tirés au hasard : bleus s'ils réalisent l'événement, gris sinon.
L'ensemble qu'on ne peut pas mesurer
On aimerait une longueur définie pour toutes les parties de la droite, qui ne change pas quand on déplace un ensemble, et qui soit σ-additive. Vitali a montré en 1905 que c'est impossible.
Pour que les déplacements soient commodes, on travaille sur un cercle de longueur 1 : déplacer revient à tourner, et ce qui dépasse 1 revient à 0. La construction tient en trois étapes, une par onglet.
Déclarons deux points équivalents quand leur écart est un nombre rationnel. Le cercle se découpe alors en classes : la classe d'un point x est formée des points x + p/q (ramenés entre 0 et 1). Chaque classe est dénombrable et dense — elle s'approche de n'importe quel point —, deux classes ne se rencontrent jamais, et il y a une infinité non dénombrable de classes.
Trois classes, celles de x, de x + √2/10 et de x + π/10, limitées aux fractions de dénominateur au plus Q. Elles s'entremêlent sans jamais se toucher.
Formons maintenant un ensemble V en choisissant un seul point dans chaque classe. Il y a trop de classes pour les choisir une par une : ce choix simultané est exactement ce que permet l'axiome du choix, et c'est pourquoi aucune figure ne peut montrer V.
Numérotons les fractions de [0 ; 1[ : r₁, r₂, r₃, … Tournons V de r₁, de r₂, de r₃… On obtient des copies V₁, V₂, V₃, … Elles sont disjointes (deux points de V ne sont jamais équivalents) et elles recouvrent tout le cercle (tout point est équivalent à un point de V). Si V avait une longueur a, chaque copie aurait la même longueur a, puisqu'une rotation ne change pas les longueurs, et la σ-additivité imposerait :
Essayez toutes les valeurs de a : on remplit le cercle déroulé (barre de longueur 1) copie après copie.
Chaque bloc est une copie de longueur a ; en rouge, ce qui dépasse la longueur 1 du cercle. La courbe du dessous trace la somme k·a ; la ligne verte est la cible 1.
Vitali ne dit pas que la longueur est mal définie : il dit qu'on ne peut pas avoir à la fois les trois propriétés ci-dessous. Décochez celle que vous acceptez de sacrifier.
Repères historiques
En résumé
Additionner, même à l'infini
Une mesure est une règle d'addition. Sa force tient à la σ-additivité : on peut découper en une infinité dénombrable de morceaux et additionner. C'est ce qui donne 1/3 au premier pile de rang pair et 0 aux rationnels.
Négligeable n'est pas petit
Un ensemble de mesure nulle peut être dense (les rationnels) ou avoir autant de points que [0 ; 1] (Cantor). À l'inverse, un ensemble sans aucun intervalle peut avoir une longueur positive (Cantor gras).
On ne mesure pas tout
Longueur invariante, σ-additivité et mesure de toutes les parties sont incompatibles (Vitali). On restreint donc la mesure à une tribu, qui contient tous les ensembles que l'on sait décrire.
Pour aller plus loin
Mesure extérieure de Lebesgue. Pour toute partie A de ℝ, λ*(A) est la borne inférieure des sommes Σ longueur(Iₖ) pour tous les recouvrements de A par une suite d'intervalles Iₖ. C'est le procédé de la planche 2. Carathéodory appelle mesurable un ensemble E qui découpe proprement tout ensemble test : λ*(T) = λ*(T ∩ E) + λ*(T \ E). Les ensembles mesurables forment une tribu, et λ* restreinte à cette tribu est σ-additive.
Presque partout. Une propriété vraie sauf sur un ensemble négligeable est dite vraie presque partout (en probabilités : presque sûrement). La loi forte des grands nombres de la planche 4 est un énoncé de ce type.
Intégrale. Une fois la mesure construite, l'intégrale de Lebesgue découpe l'axe des ordonnées au lieu de celui des abscisses : ∫ f dμ est la limite des sommes Σ yᵢ · μ({x : f(x) ≈ yᵢ}). Les théorèmes de passage à la limite (convergence monotone, convergence dominée) découlent directement de la σ-additivité. La page sur la théorie de l'intégration de cette série développe ce point.
Densité et théorème de Radon-Nikodym. La masse de la planche 1 a une densité ρ par rapport à l'aire. La mesure de Cantor de la planche 3 n'en a pas : toute mesure sur ℝ se décompose en une partie à densité, une partie formée de masses ponctuelles et une partie singulière continue comme l'escalier du diable (décomposition de Lebesgue).
Paradoxe de Banach-Tarski. En dimension 3, on peut découper une boule en cinq morceaux (non mesurables) et, par de simples déplacements, reconstituer deux boules identiques à la première. Ce n'est pas une contradiction : c'est la preuve que ces morceaux n'ont pas de volume.