La théorie des catastrophes
Quand une évolution lente et régulière des conditions provoque un changement brutal de l'état d'un système : la bille qui quitte son creux, l'arc qui se retourne, la forêt envahie d'un coup, le lac qui devient trouble. Cinq planches pour comprendre pourquoi ces sauts arrivent, pourquoi ils se ressemblent tous, et pourquoi revenir en arrière ne suffit pas à les défaire.
L'idée en une image : une bille dans un paysage qui se déforme
Imaginez une bille posée dans un paysage de collines et de creux. Elle se loge au fond d'un creux : c'est un état d'équilibre stable. Maintenant, déformez lentement le paysage. Tant que le creux existe, la bille le suit docilement : l'état change peu. Mais si le creux s'aplatit puis disparaît, la bille n'a plus d'appui : elle dévale d'un coup vers un autre creux. Rien de brutal ne s'est produit dans les conditions, et pourtant l'état a sauté. C'est cela qu'on appelle une catastrophe au sens mathématique : un changement discontinu de l'état produit par une variation continue des paramètres.
| Ingrédient | Sens | Dans l'animation |
|---|---|---|
| Variable d'état x | ce que l'on observe : position, population, turbidité… | la position de la bille |
| Paramètres de contrôle | les conditions extérieures, qui varient lentement | l'inclinaison b |
| Potentiel V(x) | une « énergie » que le système cherche à rendre minimale | la hauteur du paysage |
| Équilibres | points où la pente s'annule : V′(x) = 0 | fonds de creux (stables) et sommets (instables) |
| Catastrophe | un minimum disparaît : V′ = 0 et V″ = 0 au même point | le creux occupé s'efface |
René Thom a montré dans les années 1960 que, lorsque le nombre de paramètres est petit, ces disparitions de minima ne peuvent prendre qu'un petit nombre de formes, toujours les mêmes, quel que soit le système. C'est ce qui rend la théorie puissante : le pli, la fronce ou la queue d'aronde se retrouvent en mécanique, en écologie, en optique…
Le pli : un creux qui s'efface
Question : quelle est la forme la plus simple d'une catastrophe ? Un seul paramètre suffit.
Prenons le potentiel V(x) = x³/3 − a·x. Sa pente vaut V′(x) = x² − a. Si a > 0, elle s'annule en deux points : x = +√a est le fond d'un creux (stable), x = −√a le sommet d'une bosse (instable). Quand a diminue, creux et bosse se rapprochent, puis fusionnent en a = 0 et disparaissent ensemble. Pour a < 0, il n'y a plus aucun équilibre : la bille part. Ce scénario porte le nom de pli (ou nœud-col).
La bille suit la pente : dx/dt = −V′(x) = a − x²
Le ralentissement critique
Écartons un peu la bille du fond du creux et chronométrons son retour : le temps τ nécessaire pour que l'écart soit divisé par e ≈ 2,718. Près du pli, le creux devient plat et la bille revient de plus en plus lentement. Le graphique ci-dessous porte τ mesuré par simulation (points bleus) en fonction de a, en échelle logarithmique.
La fronce : deux creux, deux seuils et l'hystérésis
Question : que se passe-t-il quand le système a un autre creux où tomber, et peut-on revenir en arrière ?
Le potentiel V(x) = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x dépend de deux paramètres. Le paramètre a règle la forme : si a < 0, le paysage a deux creux séparés par une bosse. Le paramètre b incline le paysage d'un côté ou de l'autre. Les équilibres vérifient x³ + a·x + b = 0 : une équation du troisième degré, qui a trois racines réelles (deux creux, une bosse) exactement quand 4a³ + 27b² < 0. La frontière 4a³ + 27b² = 0 dessine dans le plan (a, b) une courbe à pointe : c'est la fronce (en anglais cusp).
La machine de Zeeman : une fronce qu'on peut fabriquer
Question : à quoi ressemble une catastrophe dans un objet réel ? Christopher Zeeman a construit dans les années 1970 une machine en carton que chacun peut réaliser.
Un disque tourne librement autour de son centre O. Deux élastiques de longueur au repos 1 (le rayon du disque) sont attachés au même point P du bord. Le premier est fixé à un clou A ; l'autre extrémité C est tenue à la main. L'énergie stockée dans les élastiques vaut
E(φ) = ½ (|PA| − 1)² + ½ (|PC| − 1)² (un élastique détendu ne tire plus)
Le disque se place à un minimum de E. Déplacez doucement C : le disque tourne en douceur… puis, à certains endroits, il bascule brutalement. Ces endroits forment dans le plan une zone en losange à quatre pointes : à l'intérieur, E a deux minima.
Trois catastrophes réelles : un arc, une forêt, un lac
Question : ces sauts existent-ils ailleurs qu'en théorie ? Voici trois situations étudiées par les ingénieurs et les écologues. Dans chacune, la courbe des équilibres forme un pli double (en S) et le même scénario se répète : suivi en douceur, seuil, saut, hystérésis.
Deux barres élastiques forment un toit surbaissé (l'« arc de von Mises », modèle des coques minces, des couvercles de bocal et des jouets sauteurs). On appuie sur le sommet avec une force P. Sa hauteur y baisse d'abord doucement ; mais au-delà d'une charge limite, l'arc claque et se retrouve retourné. Pour la hauteur initiale h et des barres de raideur k, l'équilibre s'écrit P = 2k·y·(ℓ₀/ℓ − 1), avec ℓ = √(1 + y²) et ℓ₀ = √(1 + h²), et la charge limite vaut exactement Pmax = 2k(ℓ₀2/3 − 1)3/2.
La tordeuse des bourgeons de l'épinette est une chenille qui ravage périodiquement les forêts du Canada. D. Ludwig, D. Jones et C. Holling (1978) ont modélisé sa densité N : croissance logistique r N(1 − N/q) moins la prédation par les oiseaux N²/(1 + N²), qui sature quand les chenilles sont trop nombreuses. Quand la forêt mûrit, le taux de croissance r augmente lentement… jusqu'au seuil où la population explose d'un coup vers l'état d'épidémie.
Un lac clair reçoit du phosphore (engrais) à un rythme a. Le phosphore x dans l'eau est éliminé au taux b x, mais au-delà d'un certain niveau les sédiments se mettent à en relarguer : c'est le terme x⁸/(1 + x⁸) du modèle de S. Carpenter et M. Scheffer. Quand a croît, le lac bascule vers un état trouble et eutrophe. Pour le rendre clair, il faut réduire les apports bien en dessous du seuil de basculement — parfois, c'est impossible.
Signature : la surface plissée, les signes avant-coureurs et les sept formes de Thom
Question : peut-on voir d'un seul coup d'œil toute la fronce, prévoir le saut avant qu'il n'arrive, et savoir combien de formes de catastrophes existent ?
Empilons toutes les courbes en S de la planche 2 : pour chaque (a, b) on place à la hauteur x tous les équilibres. On obtient une surface plissée : le pli se referme à l'arrière et disparaît en une pointe. Le feuillet du milieu (orange) est instable. Quand le point de contrôle se promène dans le plan du bas, l'état glisse sur la surface ; arrivé au bord du pli, il tombe sur l'autre feuillet. Vue de dessus, l'arête du pli se projette exactement sur la fronce.
La planche 1 a montré que le creux s'aplatit avant de disparaître. Si le système est secoué par de petits aléas (bruit), il revient moins vite au fond : ses fluctuations deviennent plus grandes et plus lentes. En mesurant la variance et l'autocorrélation (ressemblance d'une valeur avec la suivante) sur une fenêtre glissante, on peut détecter l'approche du seuil avant le saut. Modèle : dx = (a − x²) dt + σ dW, où a diminue lentement de 1 à −0,1.
Le théorème de classification de Thom (rendu rigoureux par J. Mather) affirme : pour un système gradient dont le comportement est générique (stable par petites perturbations) et qui dépend d'au plus quatre paramètres, toute catastrophe ressemble localement, après un changement de coordonnées régulier, à l'une des sept formes suivantes.
| Nom | Germe | Potentiel déployé | Variables d'état | Paramètres |
|---|---|---|---|---|
| Pli | x³ | x³ + a x | 1 | 1 |
| Fronce | x⁴ | x⁴ + a x² + b x | 1 | 2 |
| Queue d'aronde | x⁵ | x⁵ + a x³ + b x² + c x | 1 | 3 |
| Papillon | x⁶ | x⁶ + a x⁴ + b x³ + c x² + d x | 1 | 4 |
| Ombilic hyperbolique | x³ + y³ | x³ + y³ + a x y + b x + c y | 2 | 3 |
| Ombilic elliptique | x³ − 3 x y² | x³ − 3 x y² + a (x² + y²) + b x + c y | 2 | 3 |
| Ombilic parabolique | x² y + y⁴ | x² y + y⁴ + a x² + b y² + c x + d y | 2 | 4 |
Explorons la troisième, la queue d'aronde (l'aronde est l'hirondelle). Ses équilibres vérifient x⁴ + a x² + b x + c = 0 (en prenant V = x⁵/5 + a x³/3 + b x²/2 + c x). À a fixé, la frontière dans le plan (b, c) a pour équations paramétriques b = −4t³ − 2a t, c = 3t⁴ + a t² : deux pointes de fronce et un croisement dessinent une queue d'hirondelle.
Un peu d'histoire
- 1885Henri Poincaré étudie les figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation et introduit la notion de bifurcation : une famille d'équilibres se sépare en deux.
- 1937Alexandre Andronov et Lev Pontriaguine définissent les systèmes « grossiers », dont le portrait ne change pas sous de petites perturbations : la stabilité structurelle.
- 1955Hassler Whitney montre que les applications génériques du plan dans le plan n'ont que deux singularités : le pli et la fronce.
- 1972René Thom (médaille Fields 1958) publie Stabilité structurelle et morphogenèse : il y expose les sept catastrophes élémentaires et propose de s'en servir pour décrire les formes du vivant.
- 1976Christopher Zeeman popularise la théorie (article dans Scientific American) avec sa machine et des applications audacieuses à la biologie, à la psychologie, à la Bourse.
- 1978H. Sussmann et R. Zahler critiquent sévèrement ces applications aux sciences humaines, souvent qualitatives et invérifiables. La même année, Ludwig, Jones et Holling publient le modèle de la tordeuse.
- 1981Vladimir Arnold publie Théorie des catastrophes et replace la théorie dans celle, plus vaste, des singularités (caustiques en optique, fronts d'onde…).
- 2001Marten Scheffer et ses collègues (Nature) documentent les basculements catastrophiques des lacs, des récifs coralliens et des déserts.
- 2009Scheffer et ses collègues rassemblent les signaux précurseurs des transitions critiques : ralentissement, variance et autocorrélation croissantes.
Un saut sans cause brutale
Il suffit qu'un minimum du potentiel disparaisse : V′ = V″ = 0. Le système suit la pente et tombe ailleurs, même si les conditions n'ont changé que d'un cheveu.Revenir ne suffit pas
Entre deux seuils, deux états coexistent : l'état actuel dépend de l'histoire (hystérésis). Pour défaire un saut, il faut aller jusqu'à l'autre seuil — parfois hors d'atteinte.Peu de formes, des signes avant-coureurs
Avec au plus quatre paramètres, il n'existe que sept formes génériques. Et près d'un pli, le retour à l'équilibre ralentit : τ ∝ a−1/2, ce qui fait monter variance et autocorrélation.Pour aller plus loin
Les hypothèses. La théorie élémentaire suppose un système gradient (il descend un potentiel), des paramètres qui varient lentement par rapport au temps de retour à l'équilibre, et une situation générique. Pour un système non gradient apparaissent d'autres scénarios, comme la bifurcation de Hopf où naît une oscillation.
Deux conventions. La « convention du retard parfait » (utilisée ici) dit que le système reste dans son creux tant qu'il existe. La « convention de Maxwell » dit qu'il choisit toujours le creux le plus profond : c'est le cas de l'eau qui bout à 100 °C, où les fluctuations permettent de franchir la bosse ; elle ne donne pas d'hystérésis mais une ligne de changement brutal (b = 0 dans la fronce).
Les critiques. Les applications de Zeeman à l'agressivité du chien, aux émeutes de prison ou aux krachs boursiers ont été jugées trop qualitatives : un dessin de fronce ne prouve pas qu'un système réel obéit à un potentiel. Aujourd'hui, la théorie est surtout utilisée comme langage géométrique pour des modèles quantitatifs (flambement des structures, écologie, climat, optique).
Pages voisines du cahier. Les bases de l'analyse et des systèmes dynamiques (bifurcations nœud-col et fourche), la théorie du chaos, la cascade de Feigenbaum.
Lectures. R. Thom, Stabilité structurelle et morphogenèse (1972) ; V. Arnold, Catastrophe Theory (1983) ; T. Poston et I. Stewart, Catastrophe Theory and its Applications (1978) ; M. Scheffer, Critical Transitions in Nature and Society (2009).