La température
Trois regards sur une même grandeur : le mathématicien, l'humain, l'instrument
Tout le monde « sait » ce qu'est la température, et pourtant elle est étonnamment difficile à définir. Le mathématicien y voit d'abord une échelle, puis une pente cachée dans le dénombrement des états possibles. L'humain la ressent, mais sa peau le trompe souvent. L'instrument, enfin, ne mesure jamais la température directement : il mesure une longueur, une résistance, une tension ou un rayonnement, et en déduit un nombre. Les cinq planches suivent cet ordre ; chaque résultat affiché est recalculé par une seconde méthode indépendante (cases vertes).
Une échelle de température est une fonction affine
Pour graduer un thermomètre, il suffit de deux repères — historiquement la glace fondante et l'eau bouillante — et d'une règle pour partager l'intervalle. Passer d'une échelle à une autre revient donc à appliquer une fonction affine y = p·x + q. Deux conséquences mathématiques en découlent : deux échelles de pentes différentes ont toujours un point fixe où elles affichent le même nombre, et les rapports n'ont pas de sens, sauf sur les échelles dont le zéro est le zéro absolu (kelvin et Rankine).
À retenir. Passer de 10 °C à 20 °C, ce n'est pas « doubler la chaleur » : en Celsius le rapport vaut 2, en Fahrenheit 1,36, en kelvin 1,035. Le rapport dépend du zéro choisi : seules les échelles absolues (kelvin et Rankine, qui s'accordent entre elles) donnent un rapport ayant un sens physique. Les écarts, eux, se convertissent toujours proprement : 10 °C d'écart valent 18 °F d'écart.
La température est une pente
La définition moderne ne parle plus de thermomètre. On compte le nombre Ω de façons microscopiques de répartir une énergie E dans un système, on en prend le logarithme — c'est l'entropie S = k·ln Ω — et la température est l'inverse de la pente de cette courbe :
1 / T = dS / dE
Le modèle le plus simple est le solide d'Einstein : N oscillateurs se partagent q quanta d'énergie ε, et Ω est un simple coefficient binomial. Les énergies et températures sont exprimées en unités réduites (kT/ε).
À retenir. Plus on ajoute d'énergie, plus la courbe S(E) s'aplatit : la pente diminue, donc la température monte. À droite, la probabilité qu'un oscillateur donné porte j quanta, calculée par pur dénombrement (barres), se superpose presque exactement à une loi exponentielle (points) : c'est la loi de Boltzmann, qui apparaît sans avoir été postulée.
À retenir. Quand chaque particule n'a que deux niveaux, l'entropie redescend au-delà de la moitié : la pente devient négative, et la température aussi. Ce n'est pas « plus froid que le zéro absolu », c'est au contraire plus chaud que l'infini : un tel système cède de l'énergie à n'importe quel corps de température positive. Purcell et Pound l'ont réalisé en 1951 avec des spins nucléaires ; l'inversion de population d'un laser en est un cousin.
À retenir. Au départ, toute l'énergie est dans A. Les quanta sautent au hasard d'un oscillateur à l'autre, sans aucune règle « d'équilibre » programmée. Le partage se fixe pourtant autour du maximum du produit Ω(A)·Ω(B) — le partage qui compte le plus de micro-états — et en ce point les deux pentes sont égales : deux corps en équilibre ont la même température. C'est le principe zéro de la thermodynamique, et c'est lui qui rend possible la mesure : un thermomètre donne sa propre température, égale à celle du corps une fois l'équilibre atteint.
Ce que la peau ressent vraiment
Nous n'avons pas de thermomètre dans le corps. Les récepteurs de la peau mesurent leur propre température et surtout la vitesse à laquelle elle change, c'est-à-dire le flux de chaleur qui entre ou sort. D'où des illusions très régulières : un objet, le vent, l'humidité ou l'habitude modifient la sensation sans changer la température de l'air. Le corps, lui, se maintient vers 37 °C au cœur ; la peau des doigts est plutôt vers 33 °C.
Posons le doigt sur deux objets à la même température. Au contact, la surface commune prend immédiatement une température intermédiaire, pondérée par l'effusivité e = √(λ·ρ·c) de chaque matériau (λ conductivité, ρ masse volumique, c capacité thermique) :
Tcontact = (epeau·Tpeau + eobjet·Tobjet) / (epeau + eobjet)
Le vent arrache la fine couche d'air que le corps réchauffe autour de lui. La température ressentie (indice de refroidissement éolien, formule adoptée en 2001 au Canada et aux États-Unis) donne la température d'un air calme qui refroidirait le visage aussi vite :
Tr = 13,12 + 0,6215·T − 11,37·V0,16 + 0,3965·T·V0,16 (T en °C, V en km/h)
Par temps chaud, le corps se refroidit en évaporant la sueur. Si l'air est déjà chargé de vapeur, l'évaporation ralentit et la chaleur paraît plus forte. L'indice humidex d'Environnement Canada combine la température et la pression de vapeur e (en hPa), calculée à partir du point de rosée :
H = T + 0,5555·(e − 10)
Expérience décrite par John Locke en 1690 : on plonge la main gauche dans l'eau froide, la main droite dans l'eau chaude, puis les deux mains dans une même eau tiède. La gauche la trouve chaude, la droite la trouve froide. Modèle simple : chaque main s'habitue, sa « référence » glissant exponentiellement vers la température de l'eau avec un temps caractéristique τ, et la sensation est l'écart entre l'eau et cette référence.
À retenir. Le métal paraît froid parce qu'il impose sa température à la peau : son effusivité est des dizaines de fois celle de la peau. Le bois ou le liège, au contraire, se laissent réchauffer par le doigt. Essayez 60 °C : le métal devient brûlant, le bois reste supportable. C'est pour cela que les poignées de casserole sont en bois ou en bakélite.
À retenir. Le vent ne refroidit pas l'air : un thermomètre placé au vent affiche la même valeur qu'à l'abri (il n'a pas de chaleur interne à perdre). Ce qui change, c'est la vitesse à laquelle la peau perd sa chaleur, et donc le risque de gelure.
À retenir. À 30 °C, un air sec (20 %) se ressent à peu près comme 29 °C, un air saturé comme 49 °C. L'humidité ne change pas la température ; elle change la capacité du corps à s'en défendre.
À retenir. Pendant la première minute, les deux mains s'habituent à leur bassine ; à t = 60 s, elles plongent dans la même eau et rapportent des sensations opposées. La peau est un détecteur de changement, pas un thermomètre. Il fallait donc un instrument extérieur au corps.
Quatre thermomètres, quatre grandeurs intermédiaires
Un thermomètre est d'abord un objet mis en équilibre avec le corps étudié (principe zéro, planche 2). On lit ensuite une propriété qui varie avec sa température et on la convertit grâce à un étalonnage. Depuis 2019, le kelvin est défini en fixant exactement la constante de Boltzmann, k = 1,380 649·10⁻²³ J/K ; en pratique, les laboratoires utilisent l'Échelle internationale de température (EIT-90), faite de points fixes et d'instruments d'interpolation, dont le thermomètre à résistance de platine.
Un réservoir de 200 mm³ prolongé par un tube très fin : un petit changement de volume du liquide devient une grande variation de hauteur. Le verre se dilate aussi, un peu, ce qui réduit la montée apparente.
h ≈ V₀·(βliquide − βverre)·ΔT / (π·r²)
La résistance électrique d'un fil de platine augmente avec la température. La sonde industrielle Pt100 vaut 100 Ω à 0 °C et suit la relation de Callendar–Van Dusen (norme CEI 60751) :
R(t) = R₀·(1 + A·t + B·t²) (+ C·(t − 100)·t³ en dessous de 0 °C)
Deux fils de métaux différents soudés ensemble produisent une petite tension quand leurs deux extrémités ne sont pas à la même température (effet Seebeck, 1821). Le thermocouple de type K (chromel–alumel) donne environ 41 µV par degré ; sa réponse exacte est tabulée par le NIST par un polynôme.
U = E(Tchaude) − E(Tfroide)
Tout corps rayonne. Le spectre dépend de la température (loi de Planck) : son maximum se déplace selon la loi de Wien, λmax = 2 898 µm·K / T, et la puissance totale croît comme T⁴ (Stefan–Boltzmann). Le thermomètre frontal ou le pyromètre mesure cette puissance, sans contact, et en déduit T… à condition de connaître l'émissivité ε de la surface.
M = ε·σ·T⁴
À retenir. Un bon liquide thermométrique doit se dilater régulièrement. L'eau en est l'antiexemple : sa masse volumique est maximale vers 4 °C, si bien qu'un thermomètre à eau afficherait la même hauteur à deux températures différentes. Choisissez « eau » : à 2 °C, la colonne est à la même hauteur qu'à 9,6 °C (la dilatation du verre décale un peu le minimum, vers 5,7 °C).
À retenir. La relation est presque linéaire (environ 0,385 Ω par degré), mais le petit terme en t² compte : à 500 °C, ignorer la courbure fausse la mesure de près de 30 degrés. L'appareil inverse donc la vraie formule.
À retenir. Un thermocouple ne mesure qu'une différence de températures. Il faut donc connaître la température du bornier (mesurée par une autre sonde) et ajouter E(Tfroide) avant d'inverser la table : c'est la compensation de soudure froide. Sans elle, l'erreur vaut à peu près la température de la pièce.
À retenir. Le corps humain rayonne vers 9 µm, dans l'infrarouge lointain : invisible. Un objet ne devient rouge sombre que vers 525 °C (point de Draper). Visez de l'aluminium poli avec un appareil réglé pour la peau : il affichera une température absurde, car le métal brillant émet très peu.
Trouver le zéro absolu avec un thermomètre à gaz
Enfermons un gaz dans un volume fixe et mesurons sa pression à quelques températures ordinaires. Les points s'alignent. Prolongeons la droite vers la gauche : elle coupe l'axe P = 0 vers −273 °C, quelle que soit la quantité de gaz (droites en pointillé). C'est ainsi qu'au XIXᵉ siècle on a découvert qu'il existe une température en dessous de laquelle on ne peut pas descendre, et c'est elle qui sert de zéro à l'échelle kelvin de la planche 1.
Mais l'extrapolation est un exercice risqué : un petit bruit de mesure devient une grande incertitude quand on prolonge la droite loin des points. Réduisez la plage de mesure et regardez l'intervalle de confiance s'élargir.
À retenir. Le zéro absolu n'est pas une convention : c'est le point où convergent toutes les droites de gaz dilués, et c'est aussi, dans le langage de la planche 2, l'état où il ne reste qu'une seule façon de répartir l'énergie (Ω = 1, S = 0). Le mathématicien, l'expérimentateur et le statisticien se rejoignent : la valeur −273,15 °C est retrouvée, avec une incertitude honnête que le Monte-Carlo confirme.
En résumé
- Pour le mathématicien, une échelle de température est une fonction affine fixée par deux repères ; la température absolue est l'inverse de la pente de l'entropie, et l'équilibre thermique est le partage d'énergie le plus probable.
- Pour l'humain, la température est une sensation de flux : elle dépend du matériau touché, du vent, de l'humidité et de ce à quoi la peau s'était habituée.
- Pour la mesure, on met un capteur en équilibre avec le corps, puis on lit une grandeur intermédiaire (longueur, résistance, tension, rayonnement) que l'on convertit par une loi étalonnée ; le zéro absolu, lui, se retrouve par extrapolation.