Analyse

Les suites de Cauchy

Comment savoir qu'une suite converge sans connaître sa limite ? Il suffit que ses termes finissent par se serrer les uns contre les autres. Cette idée, simple en apparence, oblige à dire ce qu'est un nombre réel.

L'idée en une phrase

Dire qu'une suite (u_n) converge vers ℓ, c'est dire que ses termes finissent par être aussi proches qu'on veut de ℓ. Mais pour l'écrire, il faut déjà connaître ℓ. Cauchy (1821) propose un critère qui ne parle que des termes eux-mêmes : à partir d'un certain rang, deux termes quelconques sont aussi proches qu'on veut l'un de l'autre.

pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que, pour tous m, n ≥ N : |u_m − u_n| ≤ ε

Une telle suite s'appelle une suite de Cauchy. Le nombre ε (epsilon) est la précision exigée ; N est le rang à partir duquel cette précision est tenue par tout le reste de la suite, ce que l'on appellera la queue de la suite.

Les sommes 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … sautent alternativement à droite et à gauche. La bande rouge contient tous les termes à venir : sa largeur ne fait que diminuer. On voit la suite se tasser sans avoir besoin de savoir où (la petite marque verte, ln 2, n'est là que pour le lecteur).

Énoncé	Vrai ?	Où le voir
Une suite convergente est de Cauchy.	Toujours (si \|u_n − ℓ\| ≤ ε/2 et \|u_m − ℓ\| ≤ ε/2, alors \|u_m − u_n\| ≤ ε).	Planche 1
Des termes consécutifs de plus en plus proches suffisent.	Faux : la série harmonique.	Planche 2
Une suite de Cauchy converge.	Dans ℝ oui, dans ℚ non. C'est ce qu'on appelle la complétude.	Planches 3 et 4
Être de Cauchy est une propriété de la suite seule.	Non : elle dépend de la distance choisie.	Planche 5

Le peloton se resserre

Choisissez une précision ε. La page cherche le plus petit rang N tel que tous les termes à partir de N tiennent dans un intervalle de longueur ε. Elle mesure pour cela le diamètre de la queue, δ_N = plus grand écart entre deux termes de rang ≥ N, sur le premier million de termes. Aucune limite n'intervient dans le calcul.

Suite

précision ε

Vue d'ensemble (rangs en échelle logarithmique). En gris les termes avant N, en bleu la queue, enfermée dans la bande rouge.

Loupe sur la queue : le cadre vert pointillé a pour hauteur ε exactement ; la bande rouge (le diamètre mesuré δ_N) y tient tout entière.

précision ε

—

rang N(ε) trouvé

—

diamètre mesuré δ_N (horizon 10⁶)

—

référence

—

écart mesure − référence

—

N·ε

—

Le critère de Cauchy est une épreuve sans arbitre extérieur : on ne compare la suite qu'à elle-même. Plus ε est petit, plus N recule, mais il existe toujours. Le produit N·ε reste à peu près constant : pour ces trois suites, la queue a un diamètre de l'ordre de 1/N, et il faut environ dix fois plus de termes pour gagner une décimale.

Le piège des petits pas

Il ne suffit pas que deux termes consécutifs se rapprochent. Les sommes harmoniques H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n avancent par pas 1/(n+1) qui tendent vers 0, et pourtant la suite n'est pas de Cauchy : le bloc de termes de n+1 à 2n pèse toujours au moins ½. Le critère exige tous les couples (m, n), pas seulement les voisins.

rang n

Chaque barre a pour largeur 1/n et pour hauteur n/k : son aire vaut 1/k. Le paquet orange (k = n+1 … 2n) a toujours la même allure, quel que soit n. Il dépasse le rectangle rouge d'aire ½ et reste sous la courbe verte y = 1/x, d'aire ln 2.

H_n (bleu) en fonction de log₂ n, l'escalier d'Oresme 1 + j/2 (rouge) qui le minore en n = 2ʲ, et ln n + γ (vert pointillé). La suite monte sans fin, mais de plus en plus lentement.

pas consécutif |H_n+1 − H_n| = 1/(n+1)

—

paquet H_2n − H_n (somme directe)

—

minorant d'Oresme

½ = 0,5

majorant ln 2

—

(ln 2 − paquet) × 4n → 1

—

H en 2ʲ

—

H_2²⁰ (un million de termes)

—

rang pour dépasser 100 ≈ e^100−γ

—

Avec ε = ¼, aucun rang N ne convient : on trouve toujours m = 2n ≥ N avec |H_m − H_n| ≥ ½. Le pas tend vers 0, mais la somme de beaucoup de petits pas ne tend pas vers 0. Même piège pour √n : pas √(n+1) − √n → 0, mais √(4n) − √n = √n.

Le trou dans ℚ

Trois suites de fractions visent √2 : les troncatures décimales 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 … (orange), les réduites de la fraction continue 1/1, 3/2, 7/5, 17/12 … (bleu) et les itérés de Héron x ↦ (x + 2/x)/2 (violet). Toutes trois sont de Cauchy, mais leur limite n'est pas une fraction : dans le monde des rationnels, elles tendent vers un trou. Tout est calculé ici en entiers exacts (BigInt), sans aucune virgule flottante.

grossissement 10ᶻ

rang n

Fenêtre centrée sur √2 de demi-largeur 0,7·10⁻ᶻ. Chaque trait est un terme, numéroté par son rang. À chaque grossissement, il reste des termes qui s'approchent encore : les trois suites s'accumulent au même endroit, qu'aucune fraction n'occupe.

réduite c_n = p/q

—

p² − 2q² (exact)

—

q_n q_n+1 × |c_n+1 − c_n| (exact)

—

décimales exactes de c_n

—

|d_n − c_n| (troncature contre réduite)

—

Héron h_k = réduite c_2ᵏ−1

—

Si une fraction a/b était la limite, on aurait a² = 2b², impossible. Pourtant p² − 2q² = ±1 : les réduites ratent 2 du plus petit écart permis entre entiers. Cantor (1872) retourne la difficulté : il définit le réel √2 comme la famille de toutes les suites de Cauchy de rationnels dont les différences tendent vers 0 entre elles, comme ici d_n − c_n → 0. Les réels, ce sont les rationnels complétés par les limites qui leur manquaient.

Converger sans connaître la limite

À quoi sert le critère ? À prouver qu'une limite existe avant de la connaître. On itère x_n+1 = g(x_n) avec une fonction contractante sur un intervalle I : elle rapproche les points d'un facteur au moins k < 1. Alors |x_n+1 − x_n| ≤ kⁿ |x₁ − x₀|, les pas forment une progression géométrique, la suite est de Cauchy, donc converge puisque ℝ est complet. C'est le théorème du point fixe de Banach (1922).

Fonction

départ x₀

rang n

La toile (orange) : on monte jusqu'à la courbe g (bleu), on rejoint la droite y = x (gris), on recommence. Le carré gris est I × I : g l'envoie dans lui-même.

x_n

—

pas |x_n − x_n−1|

—

borne a posteriori (sans x*)

—

erreur vraie |x_n − x*|

—

x* par Newton

—

bornes respectées

—

rapport des erreurs mesuré / |g′(x*)|

—

10⁻¹² garanti / atteint au rang

—

La borne violette n'utilise que deux termes consécutifs et la constante k : elle certifie la précision atteinte sans connaître la réponse. Elle est prudente (k est un pire cas sur tout l'intervalle, alors que l'erreur décroît en réalité au rythme |g′(x*)|), mais elle n'est jamais prise en défaut. C'est exactement ce que fait le critère de Cauchy : transformer « les termes se resserrent » en « il existe une limite, et je sais à quelle distance j'en suis ».

Tout dépend de la distance

« Se rapprocher » suppose une manière de mesurer l'écart : une distance. Changez-la, et une même suite peut devenir de Cauchy ou cesser de l'être, et un espace peut perdre ou gagner des limites. Deux exemples où ce changement fabrique des objets nouveaux.

Pour la distance 5-adique, deux entiers sont proches quand leur différence est divisible par une grande puissance de 5 : |a − b|₅ = 5^−v si 5^v divise exactement a − b. On fabrique des entiers x_n tels que x_n² + 1 soit divisible par 5ⁿ, chacun prolongeant le précédent par un chiffre à gauche en base 5 (méthode de Hensel, 1897). Pour la distance ordinaire, la suite explose ; pour la distance 5-adique, elle est de Cauchy, et sa limite est un nombre dont le carré vaut −1.

rang n

Les x_n écrits en base 5. Les chiffres bleus ne bougent plus jamais ; le chiffre rouge est celui que le rang n vient d'ajouter, à gauche.

log₁₀ de l'écart entre deux termes consécutifs : distance ordinaire (orange, elle grandit) et distance 5-adique (bleu, elle fond comme 5⁻⁽ⁿ⁻¹⁾).

x_n en base 10

—

x_n en base 5

—

plus grande puissance de 5 divisant x_n² + 1

—

|x_n − x_n−1| ordinaire

—

|x_n − x_n−1|₅

—

contrôle exact sur 59 rangs

—

Dans les rationnels munis de la distance 5-adique, cette suite de Cauchy n'a pas de limite (aucune fraction n'a pour carré −1). En complétant ℚ pour cette distance, comme Cantor l'a fait pour la distance ordinaire, on obtient un autre corps, ℚ₅, où les nombres ont une infinité de chiffres à gauche, et où −1 possède une racine carrée. Les réels ne sont qu'une des complétions de ℚ.

Les fonctions f_n sont continues : nulles, puis une rampe de largeur 1/n centrée en ½, puis égales à 1. Pour la distance en moyenne d₁(f, g) = ∫₀¹ |f − g|, elles forment une suite de Cauchy ; pour la distance uniforme d_∞(f, g) = max |f − g|, non. Et la limite en moyenne est une marche d'escalier, qui n'est pas continue : l'espace des fonctions continues muni de d₁ n'est pas complet.

f_n (bleu), f_m (violet), leur écart en aire (orange) et leur plus grand écart vertical (flèche rouge). En gris pointillé, la marche vers laquelle elles tendent en moyenne.

d₁(f_n, f_m) par Simpson

—

formule exacte |1/n − 1/m| / 4

—

écart Simpson − formule

—

d_∞(f_n, f_m) mesurée

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formule exacte ½(1 − min/max)

—

pour m = 2n : 8n·d₁ et d_∞

—

Pour m = 2n, l'écart en moyenne vaut 1/(8n) → 0, mais le plus grand écart vaut toujours ¼ : la même suite est de Cauchy pour une distance et pas pour l'autre. Compléter les fonctions continues pour d₁ oblige à accepter des marches, puis des fonctions bien plus sauvages : c'est l'espace L¹ de Lebesgue, celui de la théorie de l'intégration.

Une idée qui a mis cinquante ans à s'imposer

1817Bolzano énonce le critère pour prouver le théorème des valeurs intermédiaires, mais sa démonstration de l'existence de la limite tourne en rond : il n'a pas de définition des réels.
1821Cauchy, Cours d'analyse de l'École polytechnique : la condition sur les sommes partielles d'une série. Il la tient pour évidemment suffisante.
1869Méray remarque le cercle vicieux et propose de prendre les suites « convergentes » de rationnels comme définition des nombres irrationnels.
1872Cantor et Dedekind construisent ℝ, l'un par les suites de Cauchy de rationnels, l'autre par les coupures. Le critère devient un théorème.
1897Hensel invente les nombres p-adiques, autre complétion de ℚ.
1906Fréchet définit les espaces métriques ; la notion de suite de Cauchy s'étend à tout ensemble muni d'une distance.
1914Hausdorff montre que tout espace métrique admet une complétion, unique.
1922Banach, dans sa thèse, étudie les espaces vectoriels normés complets et prouve le théorème du point fixe contractant.

En résumé

Le critère

Une suite est de Cauchy si deux termes quelconques assez loin sont aussi proches qu'on veut. Le critère ne mentionne pas la limite, et c'est tout son intérêt.

La complétude

Un espace est complet si toute suite de Cauchy y converge. ℝ l'est, ℚ ne l'est pas : ℝ est précisément ℚ complété.

La distance

Changer la distance change les suites de Cauchy et donc la complétion : ℝ, ℚ_p, L¹… autant de mondes nés du même geste.

Pour aller plus loin

Toute suite de Cauchy est bornée, et si elle a une sous-suite convergente, elle converge entière vers la même limite. Dans ℝ, c'est ainsi qu'on prouve la complétude à partir du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Séries : une série Σa_k converge si et seulement si ses « tranches » |a_n+1 + … + a_m| deviennent petites. D'où : une série absolument convergente converge, et le critère des séries alternées.
Le pas ne suffit pas, mais un pas sommable suffit : si Σ|u_n+1 − u_n| converge, (u_n) est de Cauchy. C'est le cas des pas géométriques de la planche 4.
Espaces de Banach et de Hilbert : la complétude est l'hypothèse qui fait fonctionner l'analyse fonctionnelle (existence de solutions d'équations différentielles par Picard, séries de Fourier dans L²).
Pages voisines : les bases de l'analyse (complétude de ℝ par dichotomie), les séries, la théorie de la mesure et de l'intégration (L¹), les fractions continues et l'arbre de Stern-Brocot, les équations différentielles (problème de Cauchy).