Les structures algébriques : groupes, anneaux, corps
La théorie des ensembles fournit les objets ; l'algèbre leur ajoute des opérations et des règles de calcul. Chaque règle supplémentaire fait monter d'une marche : magma, demi-groupe, monoïde, groupe, anneau, corps. Cinq planches pour vérifier chaque axiome case par case sur des tables finies, puis voir jusqu'où l'on peut pousser l'idée de « nombre ».
Vue d'ensemble : des ensembles aux structures
Une loi de composition interne sur un ensemble E associe à deux éléments a et b de E un troisième élément de E, noté a ∘ b. Un ensemble muni d'une telle loi est un magma. On ajoute ensuite des exigences, une à une :
| Structure | Ce qu'on exige en plus | Exemple |
|---|---|---|
| magma | une loi interne : a ∘ b reste dans E | |a − b| sur {0, …, 5} |
| demi-groupe | associativité : (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) | a ∘ b = a |
| monoïde | un élément neutre e : e ∘ a = a ∘ e = a | (ℕ, +), (ℤ/6ℤ, ×) |
| groupe | chaque élément a un symétrique : a ∘ a′ = a′ ∘ a = e | (ℤ, +), permutations |
| groupe abélien | commutativité : a ∘ b = b ∘ a | (ℤ/nℤ, +) |
| anneau | deux lois : + fait un groupe abélien, × est associative avec neutre, et × se distribue sur + | ℤ, ℤ/nℤ, matrices |
| corps | un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible | ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽p |
Sur un ensemble fini, tout se vérifie exhaustivement : une loi sur n éléments est une table n × n, et l'associativité se contrôle sur les n³ triplets. C'est ce que fait chaque planche, sans exception ni échantillonnage.
L'escalier des structures
Une loi sur six éléments : jusqu'à quelle marche monte-t-elle ?
On travaille sur E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Choisissez une loi : sa table s'affiche, et la page vérifie les axiomes dans l'ordre de l'escalier. On s'arrête à la première marche manquée, mais les propriétés plus hautes sont tout de même testées, car une loi peut avoir un neutre et des symétriques sans être associative.
Le groupe : carré latin, ordre et sous-groupes
À quoi reconnaît-on la table d'un groupe, et quels sous-groupes cache-t-elle ?
Dans la table d'un groupe, chaque ligne et chaque colonne contient chaque élément exactement une fois : c'est un carré latin, parce que l'équation a ∘ x = b a toujours une solution unique, x = a′ ∘ b. Un sous-groupe est une partie qui forme un groupe pour la même loi. Le théorème de Lagrange affirme que l'ordre (le nombre d'éléments) d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe. Cliquez sur un en-tête de ligne pour voir le sous-groupe engendré par cet élément.
L'anneau : deux tables et la distributivité
Que se passe-t-il quand on a deux lois, une addition et une multiplication ?
Un anneau réunit deux tables. L'addition en fait un groupe abélien, la multiplication est associative avec un neutre 1, et les deux sont liées par la distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c, et de même à droite. Nouveauté par rapport aux nombres usuels : un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit. On parle de diviseurs de zéro, et ils sont encadrés en rouge dans la table de multiplication.
Le corps : quand tout élément non nul est inversible
ℤ/nℤ est-il un corps ? Et peut-on fabriquer un corps à 4, 8, 9 ou 16 éléments ?
Un corps est un anneau commutatif où l'on peut diviser par tout élément non nul. Dans ℤ/nℤ, les inversibles sont les nombres premiers avec n ; il y en a φ(n), l'indicatrice d'Euler. ℤ/nℤ est un corps exactement quand φ(n) = n − 1.
Les corps finis qui ne sont pas des ℤ/nℤ
ℤ/4ℤ n'est pas un corps (2 × 2 = 0). Il existe pourtant un corps à 4 éléments, que l'on construit avec des polynômes : on prend les polynômes à coefficients dans 𝔽₂ = ℤ/2ℤ et on calcule modulo un polynôme irréductible, X² + X + 1. Les éléments sont 0, 1, X, X + 1, et X × X = X + 1. Évariste Galois a découvert ces corps, et Moore a montré en 1893 qu'il en existe un, et un seul, pour chaque puissance d'un nombre premier.
Signature : les puissances qui balaient tout, et la fin des nombres
Deux questions de fond. Un corps fini peut-il se parcourir en multipliant toujours par le même nombre ? Et jusqu'où peut-on agrandir les nombres complexes ?
Dans 𝔽₉₇, on part de 1 et l'on multiplie sans cesse par g. Les 96 éléments non nuls sont placés sur un cadran, et l'on relie chaque puissance à la suivante. Si g est un générateur, la suite g, g², g³, … passe par les 96 éléments avant de revenir à 1 : le groupe multiplicatif est cyclique. C'est vrai dans tout corps fini, et c'est la base de l'échange de clés de Diffie-Hellman.
On fabrique ℂ à partir de ℝ en prenant des couples de réels. Le même procédé, le doublement de Cayley-Dickson, fabrique les quaternions ℍ (dimension 4) à partir de ℂ, les octonions 𝕆 (dimension 8) à partir de ℍ, puis les sédénions (dimension 16). À chaque doublement, on perd une propriété : l'ordre (ℂ), la commutativité (ℍ), l'associativité (𝕆), puis la division (sédénions).
Une brève histoire
En résumé
Un escalier d'axiomes
Magma, demi-groupe, monoïde, groupe, groupe abélien : chaque marche ajoute une règle, et sur un ensemble fini, chacune se vérifie case par case.
Deux lois liées
Un anneau marie une addition et une multiplication par la distributivité. Les diviseurs de zéro et la non-commutativité sont permis ; les interdire mène aux corps.
Les limites
Les corps finis existent pour chaque pⁿ et ont un groupe multiplicatif cyclique. Les « nombres » à norme multiplicative s'arrêtent en dimension 8.
Pour aller plus loin
Morphismes. Une application entre deux structures qui respecte les opérations est un morphisme (voir la page sur l'homomorphisme) ; ℤ/2 × ℤ/3 et ℤ/6ℤ sont isomorphes.
Idéaux et quotients. On fabrique ℤ/nℤ en quotientant ℤ par l'idéal nℤ, et 𝔽₄ en quotientant 𝔽₂[X] par l'idéal engendré par X² + X + 1. C'est la même construction, qui mène à l'algèbre commutative (VIII.9) et à la théorie algébrique des nombres.
Groupes et équations. La structure du groupe de Galois décide si une équation se résout par radicaux (voir la page sur la théorie de Galois).
Au-delà. Modules (espaces vectoriels sur un anneau), algèbres de Lie, treillis, catégories : chaque structure retient certaines règles du calcul usuel et en abandonne d'autres.