Un sondage produit des tableaux croisés : la profession contre le vote, le niveau d'études contre les pratiques culturelles, le sexe et l'âge contre les réponses à une question fermée. Ces tableaux sont illisibles dès qu'ils dépassent quelques cases, parce que les effectifs des lignes sont très inégaux et que l'œil compare des nombres bruts au lieu de comparer des proportions. L'analyse factorielle des correspondances remplace chaque ligne par son profil, mesure l'écart de ce profil au profil moyen, et dessine sur un même plan les catégories sociales et les réponses. Cette page construit cette analyse étape par étape sur des tableaux de sondage, et vérifie chaque propriété par le calcul.
Trois tableaux de sondage au choix. Un effectif brut ne dit rien tant qu'on ne l'a pas rapporté au total de sa ligne : c'est le passage aux profils qui rend les catégories comparables entre elles.
Si la profession n'avait aucun effet sur le vote, chaque case vaudrait total de la ligne × total de la colonne ÷ effectif total. L'analyse ne travaille jamais sur le tableau, mais sur l'écart entre le tableau observé et ce tableau théorique.
Deux professions sont proches si elles votent dans les mêmes proportions. Reste à choisir comment mesurer l'écart entre deux profils : la distance du χ² divise chaque terme par le poids de la colonne, ce qui donne autant d'importance à une réponse rare qu'à une réponse fréquente.
Le nuage des profils vit dans un espace à plusieurs dimensions. On cherche le plan qui en conserve le plus possible, on y projette à la fois les catégories sociales et les réponses, et l'on vérifie la relation qui autorise à les lire ensemble.
Une AFC produit un dessin dans tous les cas. Trois épreuves montrent ce que ce dessin doit à la structure des données, et ce qu'il doit à la méthode elle-même.
Le tableau « niveau d'études × pratiques culturelles » est ordonné des deux côtés : du moins diplômé au plus diplômé, de la sortie la plus répandue à la plus rare. Ce simple gradient suffit à faire apparaître un deuxième axe en forme de fer à cheval, qui n'apporte aucune information nouvelle : il est le carré du premier.
On tire au sort des tableaux dans lesquels, par construction, la profession n'a aucun effet sur le vote : chaque ligne est tirée au hasard suivant le profil moyen. On lance ensuite l'AFC sur ces tableaux sans structure.
On multiplie tous les effectifs du sondage par k, sans rien changer aux proportions : mille personnes interrogées, puis dix mille, puis cent mille, avec exactement les mêmes profils.