Algèbre

La réduction de Jordan et l'exponentielle de matrice

Toutes les matrices ne se diagonalisent pas. Camille Jordan a montré en 1870 qu'on peut toujours faire presque aussi bien : une diagonale, plus quelques 1 juste au-dessus. Cette forme se lit sur une suite de noyaux, elle sépare chaque matrice en une partie diagonalisable et une partie nilpotente, et elle permet de calculer l'exponentielle de matrice, qui résout tous les systèmes différentiels linéaires. Cinq planches pour la construire et s'en servir.

Vue d'ensemble

Une matrice A de taille n est diagonalisable si l'on trouve n vecteurs propres indépendants. Dans cette base, A agit en multipliant chaque coordonnée par une valeur propre. Mais le cisaillement [[1, 1], [0, 1]] n'a qu'une seule direction propre : impossible de le diagonaliser. Le théorème de Jordan affirme que toute matrice complexe est semblable à une matrice faite de blocs de Jordan :

J_k(λ) = λ sur la diagonale, 1 juste au-dessus, 0 ailleurs (bloc de taille k)

Un bloc de taille 1 est simplement une valeur propre ; la matrice est diagonalisable quand tous les blocs sont de taille 1. Les 1 au-dessus de la diagonale mesurent exactement ce qui manque pour diagonaliser.

Les solutions de x′ = Ax pour un bloc de Jordan de valeur propre −0,4 : toutes les trajectoires finissent par arriver tangentes à l'unique direction propre (en rouge). Avec deux directions propres, elles arriveraient sous des angles variés.

Question	Outil	Planche
Pourquoi certaines matrices refusent-elles d'être diagonalisées ?	vecteurs propres qui se confondent	1
Comment lire la taille des blocs sans calculer de base ?	dimensions des noyaux de Nᵏ, diagramme en escalier	2
Quelle est la forme réduite d'une matrice quelconque ?	rangs de (A − λI)ᵏ, Dunford A = D + N	3
Que vaut e^A ?	série, blocs de Jordan, équation différentielle	4
À quoi cela sert-il ?	x′ = Ax, portraits de phase, amortissement critique	5

Quand diagonaliser échoue : deux directions propres qui se confondent

Que se passe-t-il juste avant qu'une matrice cesse d'être diagonalisable ?

Prenons A(ε) = [[1, 1], [0, 1 + ε]]. Pour ε ≠ 0, elle a deux valeurs propres, 1 et 1 + ε, et deux directions propres : (1, 0) et (1, ε). Elle est diagonalisable, A = P D P⁻¹, avec les vecteurs propres pour colonnes de P. Mais quand ε tend vers 0, la seconde direction se rabat sur la première, la matrice P devient presque non inversible, et les calculs faits « en diagonalisant » perdent leur précision. À ε = 0, il ne reste qu'une direction propre : c'est un bloc de Jordan.

ε = 10^−k, k

Le cercle unité et son image par A(ε) (ellipse orange). Les deux directions propres sont en bleu et en rouge ; quand elles se confondent, la base de vecteurs propres s'écrase.

ε · valeurs propres

Angle entre les deux directions propres

Conditionnement de P (≈ 2/ε)

Erreur sur e^A calculée par P e^D P⁻¹

En échelle logarithmique, en fonction de k : conditionnement de P (orange) et erreur mesurée sur e^A par diagonalisation (rouge), comparée au calcul direct par la formule exacte de Putzer. Le point noir marque le k choisi.

Ce qu'on mesure. Le conditionnement de P grandit comme 2/ε, et l'erreur commise en calculant e^A par diagonalisation grandit avec lui : d'environ 10⁻¹⁵ quand ε vaut 1, elle passe à 4·10⁻⁵ pour ε = 10⁻¹¹, puis à 0,3 pour ε = 10⁻¹⁵. Diagonaliser une matrice presque non diagonalisable est mal conditionné. La forme de Jordan, elle, reste stable à ε = 0 : c'est la bonne façon de penser au voisinage de ces matrices.

Le cas nilpotent : lire les blocs sur les noyaux

Une matrice N avec Nᵏ = 0 n'a que 0 pour valeur propre. Comment voir la taille de ses blocs ?

Pour un bloc de Jordan nilpotent de taille k, la base e₁, …, e_k forme une chaîne : N envoie e_k sur e_k−1, …, e₂ sur e₁, et e₁ sur 0. Les noyaux grandissent d'un cran à chaque puissance : dim ker N = 1, dim ker N² = 2, et ainsi de suite. Pour plusieurs blocs, dim ker Nᵏ − dim ker Nᵏ⁻¹ compte les blocs de taille au moins k. Il suffit donc de calculer des rangs, sans chercher aucune base. La page cache une matrice de Jordan derrière un changement de base entier P, puis retrouve les blocs à partir des seuls rangs, calculés en fractions exactes.

blocs cachés (n = 6)

La matrice N = P J P⁻¹ (entiers) :

dim ker Nᵏ pour k = 1, 2, …

Blocs de taille ≥ k

Blocs retrouvés

Plus petit k avec Nᵏ = 0 (calcul exact)

À gauche, l'escalier des noyaux : la colonne k a pour hauteur dim ker Nᵏ, et chaque marche ajoute une case par bloc encore « vivant ». À droite, les chaînes de Jordan : chaque ligne est un bloc, N fait glisser chaque vecteur d'un cran vers 0.

Le diagramme de Young. Les marches de l'escalier, lues de gauche à droite, donnent le nombre de blocs de taille ≥ 1, ≥ 2, ≥ 3… En retournant le diagramme, on lit les tailles des blocs. Deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes dimensions de noyaux : les classes de nilpotentes de taille n correspondent aux partitions de n (11 pour n = 6).

La forme de Jordan d'une matrice quelconque

Avec plusieurs valeurs propres, on recommence pour chacune.

On calcule le polynôme caractéristique χ_A, puis ses racines λ. Pour chacune, les rangs de (A − λI)ᵏ donnent les blocs, comme en planche 2. On obtient la forme de Jordan J, unique à l'ordre des blocs près. Elle fournit aussi la décomposition de Dunford A = D + N : D diagonalisable, N nilpotente, et DN = ND. Enfin, le polynôme minimal, le plus petit polynôme qui annule A, a pour degré en λ la taille du plus grand bloc de λ.

forme cachée

La matrice A (entiers) :

Polynôme caractéristique (Faddeev-Le Verrier, exact)

Valeurs propres (racines entières)

Blocs par valeur propre (rangs exacts)

Polynôme minimal · μ(A) = 0 ?

Dunford : DN = ND et Nᵏ = 0

La forme de Jordan retrouvée : chaque bloc encadré, une couleur par valeur propre, les 1 au-dessus de la diagonale en rouge.

Diagonalisable ⇔ tous les blocs sont de taille 1 ⇔ le polynôme minimal n'a que des racines simples. Pour diag(1, 2, 3, 4), le polynôme minimal égale le polynôme caractéristique, et N = 0. Pour J₄(1), il faut aller jusqu'à (X − 1)⁴, et un polynôme de degré 3 ne suffit pas à annuler A. Tous les calculs de cette planche sont exacts, en entiers ou en fractions.

L'exponentielle de matrice

Comment définir e^A quand A est une matrice, et comment la calculer ?

On reprend la série de l'exponentielle : e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + …. Elle converge toujours, parce que k! finit par l'emporter sur toute puissance. Sur un bloc de Jordan λI + N, comme λI et N commutent et que N est nilpotente, la série s'arrête : e^t(λI+N) = e^λt(I + tN + t²N²/2 + …), une somme finie. C'est là qu'apparaissent les termes t e^λt, typiques des blocs de Jordan.

A t

Le quadrillage et le carré unité transformés par e^tA. Pour la rotation, e^tA tourne de l'angle t ; pour le cisaillement, e^tA = I + tA exactement.

e^tA (formule fermée de Putzer)

Écart avec la série · avec l'équation X′ = AX (RK4)

det e^tA · e^{t·tr A}

Écart entre la somme partielle I + tA + … + (tA)ᵏ/k! et e^tA, en échelle logarithmique, selon k : la chute s'accélère, signe de la factorielle. Pour le cisaillement, l'écart tombe à 0 dès k = 1.

Attention : e^A+B ≠ e^A e^B en général

A = [[0, 1], [0, 0]], B = [[0, 0], [1, 0]] : AB = BA ?

‖e^A+B − e^Ae^B‖

Si B = 2A (elles commutent) : ‖e^A+B − e^Ae^B‖

Trois calculs, un seul résultat. La formule fermée, la série et l'intégration numérique de X′ = AX concordent à 10⁻¹² près au moins. L'identité det e^A = e^{tr A} se lit sur la forme de Jordan : le déterminant est le produit des e^λ, la trace la somme des λ. Mais e^A+B = e^Ae^B n'est vraie que si A et B commutent, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Signature : les systèmes différentiels linéaires

La solution de x′ = Ax avec x(0) = x₀ est x(t) = e^tAx₀. La forme de Jordan de A décide de l'allure de toutes les solutions.

En dimension 2, tout se résume à deux nombres : la trace T (somme des valeurs propres) et le déterminant D (leur produit). Cliquez dans le plan (T, D) à gauche : la page fabrique une matrice A avec cette trace et ce déterminant, puis lâche des particules qui suivent x(t) = e^tAx₀. La parabole D = T²/4 est la frontière où les deux valeurs propres se confondent. Un clic près d'elle se colle dessus et donne un bloc de Jordan.

Le plan (T, D) : selles en bas (D < 0), nœuds entre l'axe et la parabole, foyers au-dessus, centres sur la demi-droite T = 0. Le point rouge est la matrice choisie.

Portrait de phase : particules suivant e^tAx₀, directions propres réelles en rouge. Un nœud de Jordan n'a qu'une direction propre, et toutes les trajectoires y arrivent tangentes.

T · D · Δ = T² − 4D

Valeurs propres

Type

Forme de Jordan réelle et forme des solutions

Un ressort amorti obéit à x″ + 2ζx′ + x = 0, c'est-à-dire au système X′ = AX avec A = [[0, 1], [−1, −2ζ]]. Les valeurs propres sont −ζ ± √(ζ² − 1). Pour ζ < 1, elles sont complexes et la masse oscille ; pour ζ > 1, elles sont réelles et distinctes. Pour ζ = 1 exactement, elles se confondent en −1 et A n'est pas diagonalisable : c'est un bloc de Jordan, et la solution est (1 + t)e^−t. C'est l'amortissement critique, le réglage des amortisseurs de voiture et des portes automatiques.

amortissement ζ

x(t) pour x(0) = 1, x′(0) = 0 : réglage choisi (bleu) et amortissement critique (vert, pointillé). La bande grise est la tolérance de ±2 %.

Valeurs propres

Régime

Dépassement (passage sous 0)

Temps pour rester dans ±2 %

Balayage de ζ de 0,05 à 2,5 : plus petit ζ sans dépassement

La frontière, c'est Jordan. Le régime critique est exactement le cas non diagonalisable, et le terme t e^−t vient du 1 au-dessus de la diagonale du bloc. Le balayage le confirme : le dépassement disparaît à ζ = 1, et c'est là que le retour sans oscillation est le plus rapide. Au-delà, l'une des deux valeurs propres se rapproche de 0 et le retour ralentit.

Une brève histoire

1858Cayley énonce que toute matrice annule son polynôme caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton).

1868Weierstrass classe les faisceaux de formes bilinéaires par leurs « diviseurs élémentaires », l'équivalent de la forme de Jordan.

1870Camille Jordan publie la forme canonique dans son Traité des substitutions, pour des matrices sur les corps finis.

1887Peano écrit la solution d'un système linéaire x′ = Ax comme une série, l'exponentielle de matrice.

1954Dunford étudie les « opérateurs spectraux », somme d'un opérateur diagonalisable et d'un opérateur quasi nilpotent qui commutent. D'où le nom de décomposition de Dunford, dite ailleurs de Jordan-Chevalley.

1978Moler et Van Loan publient « Dix-neuf façons douteuses de calculer l'exponentielle d'une matrice », qui recommande la mise à l'échelle avec élévation au carré.

En résumé

Jordan

Toute matrice complexe est semblable à une matrice formée de blocs λI + N. La taille des blocs se lit sur les dimensions des noyaux de (A − λI)ᵏ, sans calculer de base.

Dunford

A = D + N avec D diagonalisable, N nilpotente, DN = ND. Le polynôme minimal mesure la taille du plus grand bloc de chaque valeur propre.

Exponentielle

e^tA = e^tD(I + tN + …) résout x′ = Ax. Les blocs de Jordan font apparaître les termes t e^λt, comme dans l'amortissement critique.

Pour aller plus loin

Sur ℝ. Une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes conjuguées a ± ib. La forme de Jordan réelle remplace alors λ par le bloc 2 × 2 [[a, −b], [b, a]], une similitude du plan.

Instabilité numérique. La forme de Jordan n'est pas une fonction continue de la matrice : une perturbation infime peut casser un bloc. Les logiciels lui préfèrent la décomposition de Schur, orthogonale et stable.

Groupes de Lie. t ↦ e^tA est un morphisme de (ℝ, +) dans le groupe des matrices inversibles. Les matrices antisymétriques donnent les rotations, les matrices de trace nulle les matrices de déterminant 1.

Liens. Réduction des endomorphismes (VIII.15), polynômes et polynôme minimal, espaces quotients : ker(A − λI)ᵏ/ker(A − λI)ᵏ⁻¹ est l'espace qui compte les blocs.