La réduction des endomorphismes
Un endomorphisme est une application linéaire d'un espace dans lui-même. Le « réduire », c'est trouver la base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible — diagonale si l'on peut, presque diagonale sinon. Une fois cette base trouvée, tout devient facile : les puissances, les suites récurrentes, les équations différentielles, les chaînes de Markov. Cinq planches pour voir pourquoi, et jusqu'où cela marche.
Le vocabulaire en une page
Soit f un endomorphisme d'un espace E de dimension n, de matrice A dans une base donnée. Un vecteur non nul v est un vecteur propre de f s'il est simplement étiré (ou retourné) par f : f(v) = λ·v. Le nombre λ est la valeur propre associée. L'ensemble des v tels que f(v) = λ·v est le sous-espace propre Eλ : c'est le noyau de A − λI. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique χA(X) = det(X·I − A), de degré n.
Changer de base, c'est remplacer A par P⁻¹AP, où les colonnes de P sont les nouveaux vecteurs de base : on dit que les deux matrices sont semblables. Elles représentent le même endomorphisme, et partagent donc la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et les valeurs propres. Réduire, c'est choisir P pour que P⁻¹AP soit aussi simple que possible.
| Forme obtenue | Condition | Ce que l'on gagne |
|---|---|---|
| Diagonale (diagonalisable) | il existe une base de vecteurs propres : pour chaque λ, la dimension de Eλ égale la multiplicité de λ dans χA ; ou encore, le polynôme minimal n'a que des racines simples | f agit comme n étirements indépendants ; Aᵏ = P·Dᵏ·P⁻¹ se calcule sans effort |
| Triangulaire (trigonalisable) | χA a toutes ses racines dans le corps de base — toujours vrai dans ℂ | les valeurs propres se lisent sur la diagonale |
| Forme de Jordan | même condition ; la diagonale porte les λ, la sur-diagonale des 1 ou des 0 | A = D + N avec D diagonalisable, N nilpotente (Nᵏ = 0), DN = ND : décomposition de Dunford |
| Blocs de rotation (sur ℝ) | valeurs propres complexes α ± iβ | un bloc [[α, β], [−β, α]] : rotation suivie d'une homothétie de rapport √(α² + β²) |
Changer de base pour simplifier
Les deux figures montrent le même endomorphisme du plan, appliqué progressivement à un quadrillage. À gauche, le quadrillage ordinaire, construit sur la base canonique : f le cisaille et le tord, sa matrice A n'a rien de lisible. À droite, un quadrillage construit sur une base adaptée à f : si f a deux directions propres, chaque ligne y reste parallèle à elle-même et f n'est plus qu'un double étirement. En dimension 2 sur les réels, il n'y a que trois façons d'être réduit : diagonale, bloc de Jordan, ou rotation-homothétie.
Valeurs propres, sous-espaces propres, multiplicités
En dimension 3, une valeur propre λ a deux « tailles ». Sa multiplicité algébrique est le nombre de fois où λ est racine de χA. Sa multiplicité géométrique est la dimension du sous-espace propre Eλ : une droite (1) ou un plan (2). On a toujours 1 ≤ géométrique ≤ algébrique, et A est diagonalisable exactement quand les deux coïncident pour chaque λ. Les valeurs propres sont trouvées numériquement sur χA, puis confirmées en calcul exact ; les sous-espaces propres sont calculés en fractions. Tournez la figure ; le curseur t sépare deux valeurs propres confondues.
Cayley–Hamilton et le polynôme minimal
Les puissances I, A, A², A³ d'une matrice 3 × 3 vivent dans un espace de dimension 9, et pourtant elles sont toujours liées : le théorème de Cayley–Hamilton affirme que A annule son propre polynôme caractéristique, χA(A) = 0. Le polynôme minimal μA est le plus petit polynôme unitaire qui annule A ; il divise χA, a les mêmes racines, et A est diagonalisable si et seulement si ces racines sont simples dans μA. L'animation additionne les termes de χA(A) un à un, en calcul exact.
Trois applications de la réduction
Réduire A sert d'abord à calculer ses puissances et son exponentielle : si A = P·R·P⁻¹ avec R simple, alors Aⁿ = P·Rⁿ·P⁻¹ et etA = P·etR·P⁻¹. Trois situations où cette remarque fait tout le travail.
Une suite telle que un+2 = a·un+1 + b·un s'écrit (un+1, un+2) = C·(un, un+1) avec la matrice compagnon C = [[0, 1], [b, a]], dont le polynôme caractéristique est r² − a·r − b. Réduire C donne directement la formule de un : deux exponentielles r₁ⁿ et r₂ⁿ, ou (α + βn)·rⁿ si la racine est double, ou ρⁿ·(α cos nθ + β sin nθ) si elles sont complexes.
Chaque jour, le temps passe de « soleil », « nuages » ou « pluie » à l'un des trois états avec des probabilités fixes, rangées dans une matrice de transition M (lignes de somme 1). La répartition du jour n est πₙ = π₀·Mⁿ. Une matrice stochastique a toujours la valeur propre 1 ; le vecteur propre associé est la loi stationnaire π, et l'écart à π décroît comme |λ₂|ⁿ, où λ₂ est la deuxième plus grande valeur propre en module. Le curseur s rend le temps plus « collant » : Ms = (1 − s)·M + s·I.
Le système X′(t) = A·X(t), avec la matrice A de la planche 1, a pour solution X(t) = etA·X(0). Dans la base adaptée, etR est immédiat : diag(eλ₁t, eλ₂t) si R est diagonale, eλt·[[1, t], [0, 1]] pour un bloc de Jordan (décomposition de Dunford R = λI + N, avec N² = 0), et eαt fois une rotation d'angle βt dans le cas complexe. Modifiez A en planche 1 : le portrait de phase suit.
Signature : le spectre vu de près
L'ensemble des valeurs propres s'appelle le spectre. Trois expériences pour en mesurer les propriétés : on peut le localiser sans le calculer, il peut être d'une sensibilité extrême, et pourtant les matrices non diagonalisables sont rarissimes.
Pour chaque ligne i de A, on trace dans le plan complexe le disque de centre aii et de rayon Ri = somme des |aij| pour j ≠ i. Théorème de Gershgorin (1931) : toute valeur propre est dans l'un de ces disques ; mieux, un groupe de k disques séparé des autres contient exactement k valeurs propres. Le curseur multiplie tous les coefficients hors diagonale par s.
Le bloc de Jordan Jₙ a des 1 au-dessus de la diagonale et des 0 partout ailleurs : sa seule valeur propre est 0, avec multiplicité n. Ajoutons un seul nombre minuscule ε dans le coin en bas à gauche. Le polynôme caractéristique devient exactement Xⁿ − ε, dont les racines sont les n points du cercle de rayon ε1/n. Avec n = 16 et ε = 10⁻¹⁶ — l'ordre de grandeur d'une erreur d'arrondi — les valeurs propres passent de 0 à 0,1. Pour une matrice diagonalisable dans une base orthonormée, le déplacement ne dépasserait jamais ε (théorème de Bauer–Fike).
Pour qu'une matrice 2 × 2 ne soit pas diagonalisable sur ℂ, il faut que son discriminant τ² − 4Δ soit exactement nul — une condition qui ne laisse aucune marge. Tirons des matrices au hasard. Avec des coefficients gaussiens, aucune n'est jamais défectueuse, mais seule une fraction a des valeurs propres réelles : la théorie (Edelman, Kostlan et Shub, 1994) prévoit exactement 1/√2 ≈ 0,707107. Avec des coefficients entiers entre −k et k, on peut tout énumérer.
Repères historiques
- 1743–1760D'Alembert et Lagrange, en étudiant les petites oscillations et les cordes vibrantes, ramènent des systèmes d'équations différentielles à des modes propres indépendants : la réduction avant la lettre.
- 1829Cauchy démontre que « l'équation séculaire » d'une forme quadratique (le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique) n'a que des racines réelles.
- 1858Arthur Cayley, dans son mémoire sur la théorie des matrices, énonce que toute matrice annule son polynôme caractéristique ; il le vérifie pour les tailles 2 et 3. Hamilton l'avait rencontré pour les quaternions.
- 1870Camille Jordan publie le Traité des substitutions, avec la forme canonique qui porte son nom.
- 1878Frobenius donne la première preuve générale de Cayley–Hamilton et introduit le polynôme minimal.
- 1904Hilbert, sur les équations intégrales, emploie le mot Eigenwert : « valeur propre ».
- 1906Andreï Markov étudie les chaînes qui portent son nom ; la loi limite est un vecteur propre de la valeur propre 1.
- 1931Semion Gershgorin publie son théorème de localisation des valeurs propres.
- 1961John Francis et Vera Kublanovskaya inventent indépendamment l'algorithme QR, qui calcule encore aujourd'hui les valeurs propres dans tous les logiciels.
Ce qu'il faut retenir
Une seule question
Réduire, c'est chercher la base où f est la plus simple. Les valeurs propres, la trace, le déterminant et χA ne dépendent pas de la base : ce sont eux qui disent à l'avance ce que l'on peut espérer.
Le critère
A est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, multiplicité géométrique = multiplicité algébrique — ou encore si μA n'a que des racines simples. Des valeurs propres toutes distinctes suffisent.
Ce qu'on y gagne, ce qui menace
Puissances, suites, exponentielles, régime limite : tout se lit dans la forme réduite. Mais près d'une valeur propre multiple, la base propre s'aplatit et le spectre devient très sensible.
Pour aller plus loin
Le théorème spectral. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable, et même dans une base orthonormée : P⁻¹ = Pᵀ. C'est ce qui rend l'analyse en composantes principales possible, et c'est le cas le plus stable numériquement.
Matrices qui commutent. Si AB = BA et que A et B sont diagonalisables, elles le sont dans une même base. C'est la clef de la décomposition de Dunford et, en physique, des observables compatibles.
Au-delà des matrices carrées. Une matrice rectangulaire n'a pas de valeurs propres, mais elle a des valeurs singulières : A = UΣVᵀ, avec deux bases différentes au départ et à l'arrivée (voir la page sur la décomposition en valeurs singulières).
Calcul effectif. On ne calcule jamais les valeurs propres d'une grande matrice par les racines de son polynôme caractéristique (instable) : on utilise l'algorithme QR, ou la méthode de la puissance pour la plus grande d'entre elles.