Cahier de géométrie · recherche opérationnelle
Un train part à 7 h 12 avec 180 places. À 7 h 13, les places invendues ne valent plus rien — la capacité est fixe et le produit périssable. Toute la question est alors de savoir à qui vendre, à quel prix, et surtout combien de places refuser aujourd'hui à 82 € pour pouvoir les vendre demain à 240 €. Cette page construit la réponse depuis le prix unique jusqu'au prix-plancher dynamique et à la surréservation, chaque règle étant confrontée à un calcul exact et à une simulation.
Les voyageurs n'ont pas tous le même consentement à payer. Un prix unique en écarte une partie — ceux qui auraient payé moins — et fait cadeau du reste à ceux qui auraient payé davantage. Découper la même demande en plusieurs tarifs récupère une part de cet écart, et l'on peut mesurer exactement laquelle.
Les tarifs réduits se vendent les premiers, le plein tarif arrive en dernier. Accepter une réservation à 95 € aujourd'hui, c'est renoncer peut-être à 210 € plus tard — mais seulement si un voyageur plein tarif se présente. Il faut donc protéger un certain nombre de places, ni trop ni trop peu : exactement celles dont la probabilité d'être vendues au fort tarif dépasse le rapport des deux prix.
Avec quatre tarifs, la règle de Littlewood ne suffit plus : chaque classe doit être protégée de toutes celles qui sont moins chères. La programmation dynamique donne la réponse exacte ; la formule EMSR-b, utilisée dans l'industrie, la remplace par une approximation gaussienne qu'on peut ici juger sur pièces.
Les vraies réservations n'arrivent pas classe par classe mais au fil de l'eau, et le bon critère n'est plus un quota : c'est un prix-plancher, la valeur d'opportunité de la dernière place disponible. On accepte une demande si et seulement si son tarif dépasse ce plancher, qui monte quand les places manquent et retombe quand le départ approche sans que le train se remplisse.
Une part des voyageurs ne se présente pas. Ne pas les remplacer, c'est faire partir des sièges vides définitivement perdus ; les remplacer d'avance, c'est risquer de refuser à l'embarquement quelqu'un qui a payé. Le bon nombre de places autorisées équilibre exactement ces deux pertes — et clôt l'échelle des recettes construite depuis la première planche.