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Détecter une entente sur les marchés publics

Cinq planches pour retrouver un cartel de travaux publics dans une base de 5 000 entreprises soumissionnaires

Le problème posé Une autorité de régulation de la concurrence soupçonne l'existence d'ententes sur les appels d'offres publics du secteur des travaux publics. Pour les détecter, elle dispose d'une base historique de 5 000 entreprises soumissionnaires. Que peut-elle en faire ?

Une entente sur appel d'offres ne laisse aucune trace visible : elle produit exactement ce que l'on attend d'un marché sain — plusieurs offres, déposées dans les délais, formellement irréprochables. Le soupçon ne peut donc pas naître de l'observation d'une offre isolée. Il ne peut naître que de la forme de la distribution des offres, qui, elle, trahit le mécanisme qui les a produites.

Toute la difficulté tient à ceci : l'autorité ne sait pas quelles entreprises sont coupables. Elle ne peut donc pas « apprendre » sur des exemples étiquetés. Elle doit construire des indicateurs — les screens — dont la théorie économique prédit le comportement sous entente, les mesurer sur les 5 000 entreprises, puis classer.

Pour que l'on puisse juger ces indicateurs, cette page fabrique elle-même la base : appels d'offres, coûts, marges, et une entente cachée dont elle connaît la composition exacte. Chaque détecteur est donc noté sur une vérité connue — ce qu'aucune autorité ne peut faire sur ses données réelles. Tous les nombres affichés sont recalculés à chaque réglage ; aucun n'est écrit d'avance.

Planche 1

La base, et ce qu'on y cherche

5 000 entreprises réparties sur douze départements déposent des offres sur 4 000 appels d'offres. Chaque entreprise a son efficacité propre, sa marge habituelle et son appétit pour les marchés ; l'offre qu'elle dépose est son coût majoré de sa marge, avec l'aléa du chiffrage. Dans trois départements, un groupe d'entreprises s'est entendu. Il procède de deux façons, celles qu'on observe dans les affaires réelles :

Offres de couverture — le membre désigné dépose une offre chère ; les autres déposent des offres fabriquées à partir de la sienne, un peu plus hautes, uniquement pour donner l'apparence de la concurrence.
Répartition tournante — la désignation revient à celui qui a le moins gagné, de sorte que chacun reçoive sa part sur la durée.

Taille de l'entente : entreprises

Emprise sur la zone :

Surprix visé :

Nombre d'appels d'offres par département.

—entreprises

—appels d'offres

—offres déposées

—entreprises actives (≥ 6 offres)

—membres de l'entente

—marchés captés

—surprix mesuré

—préjudice pour l'acheteur

Le marché affiché : chaque barre est une offre, la plus basse l'emporte. Le trait pointillé est l'estimation du maître d'ouvrage.

Planche 2

Les indicateurs de dispersion

Sous concurrence, les offres sont des chiffrages indépendants : elles se dispersent autant que les coûts et les erreurs d'estimation. Sous entente, les offres de couverture sont calculées à partir d'une seule offre : la dispersion s'effondre, et la distribution se déforme d'une manière très reconnaissable.

CV = σ ⁄ m · RD = (b₍₂₎ − b₍₁₎) ⁄ σ(offres perdantes)

Le coefficient de variation mesure la dispersion relative de l'ensemble des offres. La distance relative compare l'écart entre la meilleure et la deuxième offre à la dispersion des offres perdantes entre elles : sous couverture, le désigné se détache nettement d'un peloton anormalement serré. On y ajoute le kurtosis, l'asymétrie et le taux d'offres arrondies.

Courbe ROC : sensibilité en fonction du taux de fausse alerte, quand on déplace le seuil. L'aire sous cette courbe (AUC) résume le pouvoir séparateur ; 0,5 = tirage à pile ou face, 1 = séparation parfaite.

On signale les marchés les plus suspects

—AUC de l'indicateur

—moyenne, marchés concurrentiels

—moyenne, marchés captés

—sensibilité au seuil

—spécificité au seuil

—valeur prédictive positive

Planche 3

Ce que disent les chiffres eux-mêmes

La loi de Benford est l'outil vedette de la détection de fraude : dans une population de nombres couvrant plusieurs ordres de grandeur, le premier chiffre significatif vaut 1 dans 30,1 % des cas et 9 dans 4,6 % seulement. Un écart à cette loi passe pour une signature de manipulation. On va voir qu'ici, elle ne sert à rien — et comprendre pourquoi.

P(premier chiffre = d) = log₁₀(1 + 1/d)

Part des offres dont le montant est un multiple exact de la somme indiquée. Comparaison entre les marchés signalés par le score composite et les autres — une comparaison que l'autorité peut faire sans connaître la vérité.

—χ² de Benford

—valeur critique à 5 % (8 ddl)

—écart maximal à Benford

—multiples de 1 000 €, marchés sains

—multiples de 1 000 €, marchés captés

—AUC du taux d'arrondi

Planche 4

Qui rencontre qui, et qui gagne quoi

Les planches précédentes notent des marchés. L'autorité, elle, doit désigner des entreprises. Deux traces s'y prêtent. D'abord les rencontres : deux membres d'une entente se retrouvent bien plus souvent qu'un tirage au sort ne le prévoirait. Si l'entreprise i a déposé k_i offres sur T marchés, on attend k_ik_j/T rencontres avec j ; le rapport de l'observé à l'attendu est le coefficient de rencontre.

lift(i, j) = c_ij ⁄ (k_i k_j / T)

Ensuite les parts de marché. La concurrence, qui récompense l'efficacité, les rend très inégales. La répartition tournante, elle, les égalise — anomalie d'autant plus visible qu'elle est le contraire de ce qu'on attend d'un marché sain.

Coefficient de rencontre minimal :

Rencontres minimales :

Entreprises affichées :

Graphe des co-soumissions entre les entreprises les mieux classées. Les couleurs distinguent les composantes connexes ; un cercle rouge marque, après révélation, les vrais membres.

—AUC au niveau entreprise

—précision sur les 20 premières

—précision sur les 50 premières

—composantes trouvées

—Herfindahl des parts observées

—Herfindahl contrefactuel

Les vingt premières du classement

Planche 5 — signature

Ce que le classement ne prouve pas

Un bon classement n'est pas une accusation. Trois obstacles séparent le score de la preuve, et chacun se mesure.

Précision et rappel selon le nombre d'entreprises convoquées.

Les entreprises actives, rangées par score décroissant, ligne par ligne.

Entreprises convoquées :

—prévalence dans la base

—précision

—rappel

—entreprises innocentes visées

La solution du problème

Voici la procédure que l'autorité doit appliquer à sa base de 5 000 entreprises, dans l'ordre, avec les résultats que la page vient de mesurer sur la base simulée.

Reconstituer la base au bon niveau. Il ne faut pas une table d'entreprises mais une table d'offres : un enregistrement par couple (marché, soumissionnaire), avec le montant, la date, l'objet, le lot, le département, l'estimation du maître d'ouvrage et l'identité du gagnant. Sans les offres perdantes, aucun des indicateurs qui suivent n'existe. C'est le point de blocage réel de la plupart des autorités.
Calculer les indicateurs de dispersion marché par marché. Coefficient de variation, distance relative, kurtosis, asymétrie, étendue. Sur la base simulée, le CV passe de — en concurrence à — sous entente, et sépare seul les marchés avec une AUC de —. À retenir : l'écart brut entre la première et la deuxième offre, indicateur qui vient naturellement à l'esprit, ne vaut rien (AUC —) ; c'est son rapport à la dispersion des perdantes qui devient un excellent détecteur (AUC —).
Examiner les chiffres terminaux, pas les premiers. Le test de Benford est ici sans objet : une entente ne fabrique pas l'ordre de grandeur des offres, qui reste dicté par le coût réel des travaux. Ce qu'elle fabrique, ce sont les derniers chiffres — une couverture se calcule et s'arrondit. Part d'offres multiples de 1 000 € : — sur les marchés sains contre — sur les marchés captés.
Passer du marché à l'entreprise par le graphe. Agréger les scores de marché sur chaque soumissionnaire, y joindre son taux d'arrondi et son coefficient de rencontre maximal, puis chercher les composantes connexes du graphe des rencontres anormales. Sur la base simulée, le graphe fait apparaître —, et le classement des entreprises atteint une AUC de —, avec — de justes sur les cinquante premières.
Confronter les parts de marché à un contrefactuel. Dans le groupe détecté, l'indice de Herfindahl des victoires vaut —, à comparer à — pour une répartition parfaitement égale et à — si ces mêmes entreprises s'étaient affrontées sur ces mêmes marchés. Des parts trop égales sont aussi suspectes que des prix trop proches.
Contrôler le taux de fausses découvertes, pas le seuil de signification. Sur 4 000 marchés testés à 5 %, on obtient mécaniquement des centaines de fausses alertes. La procédure de Benjamini-Hochberg à — ramène le taux réel de fausses découvertes à —. C'est la différence entre une liste exploitable et une liste ingérable.
Traiter le résultat comme une priorité d'enquête, jamais comme une preuve. Le score classe ; il n'établit rien. La suite relève des pouvoirs d'enquête : demandes de renseignements, opérations de visite et saisie, programme de clémence. La statistique sert à savoir où aller regarder, et à justifier la mesure d'enquête devant le juge — pas à sanctionner.

L'effet le moins visible est le plus important. Même quand le dépistage n'aboutit à aucune sanction, il agit : pour échapper à l'indicateur de dispersion, une entente doit relâcher ses offres de couverture, donc renoncer à la certitude que le désigné l'emporte. Sur la base simulée, un camouflage suffisant pour ramener l'AUC vers — fait perdre au désigné — des marchés qu'il devait gagner. Le dépistage ne se contente pas de détecter les ententes : il les rend coûteuses à tenir.