Construire une usine sans savoir quelle sera la demande, lancer un produit sans savoir s'il plaira, entretenir une machine sans savoir quand elle cassera. On ne peut pas supprimer le hasard, mais on peut décider de façon cohérente avec lui. Voici les principaux outils pour le faire.
Une décision dans l'incertitude associe trois choses : des actions possibles, des états du monde qu'on ne maîtrise pas, et un gain pour chaque couple action-état. Tout l'art consiste à choisir l'action avant de savoir quel état se réalisera.
On lance un produit : le marché sera fort (40 %), moyen (35 %) ou faible (25 %). Chaque bille est une réalisation possible. Aucune ne rapporte exactement 230 k€, mais leur moyenne s'en approche : c'est l'espérance de gain.
Les données sont inventées. Les résultats sont calculés sur place dans votre navigateur et confrontés à une seconde méthode : simulation de centaines de milliers de tirages, recherche exhaustive sur une grille, ou résolution d'un système d'équations. Pour aller plus loin, deux pages de ce cahier approfondissent le sujet : Décider avec des probabilités imprécises et Programmation stochastique.
Planche 1
Décisions sous risque et sous incertitude
On parle de décision sous risque quand on connaît les probabilités des états, comme à la roulette ou avec une bonne étude de marché ; on maximise alors l'espérance de gain, en surveillant la dispersion. On parle de décision sous incertitude quand on ne les connaît pas du tout ; il faut alors un critère qui exprime une attitude face à l'inconnu. Une entreprise choisit la taille de son outil de production sans connaître la demande. Gains en k€ :
Espérance de gain de chaque action (barre) et dispersion (trait : plus ou moins un écart-type). Point rouge : moyenne de 200 000 années simulées.
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Meilleure espérance–
Deuxième et écart–
Contrôle : écart maximal formule / simulation–
Critère d'Hurwicz : α × meilleur cas + (1 − α) × pire cas, pour chaque action. Le critère le plus pessimiste (α = 0) est celui de Wald, le plus optimiste (α = 1) le maximax.
Matrice des regrets (ce qu'on aurait gagné de plus avec la meilleure action, une fois l'état connu) :
Ce qu'il faut retenir. La location est dominée : le petit atelier fait au moins aussi bien dans tous les états, on peut l'écarter sans aucun calcul. Pour le reste, chaque critère choisit autrement : Wald (le pire des cas) prend le petit atelier, le maximax et Laplace (les états jugés également probables) la grande usine, Savage (le regret maximal) l'atelier moyen. Sous risque, la grande usine gagne de justesse en espérance (44 contre 43 k€), mais avec une dispersion plus de deux fois plus forte. Aucun critère n'est « le bon » : chacun traduit une attitude. L'important est de choisir son critère avant de regarder lequel donne le résultat voulu.
Planche 2
Arbres de décision et espérance des gains
Quand les décisions s'enchaînent avec les événements, on dessine un arbre : des carrés pour les décisions, des ronds pour le hasard, et les gains au bout des branches. On le résout à rebours : en partant des feuilles, on remplace chaque rond par l'espérance de ses branches, et chaque carré par sa meilleure branche. Ici, si le marché est faible, on pourra encore choisir entre retirer le produit et tenter une campagne publicitaire.
L'arbre du lancement (gains en k€). Les valeurs calculées à rebours s'affichent au-dessus des nœuds ; les branches écartées sont barrées.
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Profil de risque : probabilité de chaque gain final, pour les trois stratégies possibles.
Renoncer–
Lancer, puis retirer si le marché est faible : formule / simulation–
Lancer, puis persévérer : formule / simulation–
Probabilité de perdre de l'argent avec la stratégie retenue–
Ce qu'il faut retenir. Le calcul à rebours donne non seulement la valeur de l'arbre (230 k€), mais aussi une stratégie complète : lancer, puis retirer si le marché est faible. La possibilité de s'arrêter a de la valeur : elle limite la perte à 250 k€ au lieu de risquer 500. La campagne publicitaire ne devient intéressante qu'au-delà de 42 % de chances de réussite. L'espérance ne dit pas tout : même avec la meilleure stratégie, on perd de l'argent une fois sur quatre.
Planche 3
La valeur de l'information
Avant de lancer le produit, on peut commander une étude de marché. Combien vaut-elle ? La valeur de l'information parfaite (EVPI) est ce qu'on gagnerait en espérance si un oracle révélait l'état du marché avant de décider : c'est un plafond. Une vraie étude se trompe parfois ; sa valeur (EVSI) se calcule par la formule de Bayes : on révise les probabilités selon son verdict, puis on décide au mieux dans chaque cas.
Valeur de l'étude (vert) selon sa fiabilité, comparée au plafond de l'information parfaite (rouge) et au prix de l'étude (tirets). On ne la commande que si elle rapporte plus qu'elle ne coûte.
Probabilités des trois marchés : avant l'étude (gris), puis révisées après un verdict favorable (vert) ou défavorable (orange).
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Information parfaite : avec oracle − sans–
Valeur de l'étude (EVSI) : formule / simulation–
Décision selon le verdict–
Fiabilité minimale pour que l'étude serve–
Ce qu'il faut retenir. Une information n'a de valeur que si elle peut changer la décision. Ici, tant que l'étude est fiable à moins de 88 %, on lancerait le produit quel que soit son verdict : elle ne vaut rien, même si elle est « assez bonne ». Au-delà, un verdict défavorable fait renoncer, et l'étude prend de la valeur, sans jamais atteindre les 62,5 k€ de l'information parfaite. Les probabilités utilisées sont celles de la planche 2. On répond ainsi à une question très concrète : combien payer, au plus, pour en savoir plus.
Planche 4
Programmation stochastique, scénarios et optimisation robuste
Une usine doit choisir sa capacité x aujourd'hui (30 € l'unité), sans connaître la demande de l'an prochain. Ensuite, quand la demande est connue, chaque unité produite sur place coûte 20 € ; ce qui dépasse la capacité est sous-traité à 120 €. C'est un problème à deux étapes : décider maintenant, s'adapter plus tard. On décrit l'avenir par cinq scénarios de demande : 60, 80, 100, 130, 170, avec les probabilités 10, 20, 35, 20 et 15 %.
Coût selon la capacité choisie : dans chaque scénario (gris) et en moyenne (bleu). Rouge : la capacité optimale. Violet : celle qu'on choisirait en ne regardant que la demande moyenne.
Capacité optimale : règle du fractile / recherche sur grille–
Coût moyen : solution stochastique / solution de la demande moyenne–
Valeur de la solution stochastique (VSS)–
Information parfaite : coût moyen si l'on connaissait la demande ; EVPI–
Coût selon la demande réelle, pour trois capacités. Rouge : optimum stochastique. Bleu : robuste au pire cas. Vert : minimax du regret. Zone grise : coût minimal possible si l'on avait su.
Ce qu'il faut retenir. Pour la programmation stochastique, l'optimum n'est pas de prévoir la demande moyenne (108,5), mais 130 : une unité de capacité en plus coûte 30 €, et elle en économise 100 si la demande dépasse x. On s'arrête donc dès que P(demande > x) tombe sous 30/100. Les écarts s'ordonnent toujours ainsi : solution moyenne ≥ solution stochastique ≥ information parfaite. L'optimisation robuste se passe de probabilités : on ne retient qu'un ensemble de demandes possibles. Se couvrir contre le pire (170) coûte 9 % de plus en moyenne ; minimiser le plus grand regret (137) est un compromis qui ne coûte que 1,6 %. Plus l'ensemble envisagé est large, plus la protection coûte cher.
Planche 5
Les processus de décision markoviens
Certaines décisions se répètent sans fin. Une machine est, chaque mois, neuve, en bon état, usée ou en panne ; elle rapporte 100, 90, 60 ou 0 k€ et se dégrade au hasard. Chaque mois on choisit : continuer, réviser (elle revient à l'état « bon » pour un coût fixe) ou remplacer (elle redevient neuve, mais on perd un mois de production et on paie la machine). C'est un processus de décision markovien : l'avenir ne dépend que de l'état présent et de l'action choisie. On cherche une politique, c'est-à-dire une action pour chaque état, qui maximise la somme des gains futurs, chaque mois comptant γ fois moins que le précédent.
Itération sur les valeurs : à chaque étape, V(s) ← max sur les actions de [gain immédiat + γ × valeur espérée de l'état suivant]. Les courbes montent puis se stabilisent : c'est l'équation de Bellman qui converge.
Dix ans de vie de la machine (120 mois, mêmes aléas) selon trois politiques. Couleur : vert neuve, bleu bonne, orange usée, rouge en panne. À droite : gain moyen par mois.
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Valeur d'une machine neuve : itération sur les valeurs–
Contrôle : itération sur les politiques (système linéaire) ; simulation–
Nombre d'itérations : valeurs / politiques–
Gain moyen par mois sur le long terme : optimal / remplacer à la panne / myope–
Ce qu'il faut retenir. Le principe de Bellman transforme une suite infinie de décisions en une équation : la valeur d'un état est le meilleur gain immédiat plus la valeur, actualisée, de ce qui suit. Avec γ = 0,9 et les coûts par défaut, la politique optimale est : continuer tant que la machine est neuve ou bonne, réviser quand elle est usée, remplacer quand elle tombe en panne. Faites baisser γ : un décideur myope (γ = 0) ne voit que le coût immédiat de la réparation, laisse la machine en panne pour toujours et ne gagne plus rien. Entre les deux, la politique change par paliers ; deux méthodes de calcul et la simulation s'accordent toujours. Notez enfin qu'une politique optimale pour un γ faible peut rapporter moins, sur le long terme, que la simple règle « remplacer à la panne » : elle sacrifie l'avenir, par construction.
Ce qu'il faut garder
Le critère
Sous risque, l'espérance (et la dispersion) ; sous incertitude, Wald, Hurwicz, Savage ou Laplace selon l'attitude face à l'inconnu.
La stratégie
Un arbre résolu à rebours donne une règle de conduite pour chaque éventualité. Une information ne vaut que si elle peut changer la décision.
Le temps
Décider maintenant, s'adapter ensuite : scénarios, robustesse et Bellman sont trois façons de préparer l'avenir sans le connaître.
Pour aller plus loin
Dans ce cahier.Décider avec des probabilités imprécises (paradoxe d'Ellsberg, ensembles de probabilités) ; Programmation stochastique (vendeur de journaux, VSS, CVaR) ; Programmation dynamique ; La gestion du rendement tarifaire.
Sur les calculs. Les espérances sont confrontées à 200 000 tirages (planches 1 et 2) ou 300 000 (planche 3). La capacité optimale est obtenue par la règle du fractile puis par recherche sur une grille de 20 000 points ; les solutions robustes ont une formule exacte, contrôlée par une grille sur la capacité et la demande. Pour la planche 5, l'itération sur les valeurs s'arrête quand la variation garantit une précision de 10⁻⁸ ; l'itération sur les politiques résout un système linéaire à chaque étape ; la simulation suit 20 000 machines pendant 250 mois. Le gain moyen par mois est mesuré sur 200 000 mois.