Un budget, des équipes, des machines — et la question de savoir où mettre la prochaine unité.
Une entreprise dispose de 100 000 € à répartir entre cinq canaux commerciaux. Chacun rapporte, mais chacun sature : les premiers milliers d'euros font beaucoup, les suivants de moins en moins. La question n'est pas « quel canal est le meilleur » — elle n'a pas de sens — mais « combien mettre dans chacun ». Et la réponse tient dans une seule idée, qui gouverne tout le domaine : à l'optimum, la dernière unité investie rapporte autant partout.
Cette idée est solide tant que les rendements sont décroissants. Les trois planches suivantes montrent ce qu'elle donne quand la ressource est indivisible, comment elle s'effondre dès qu'apparaissent des effets de seuil, et ce qu'il advient quand plusieurs ressources se disputent les mêmes activités. La dernière pose la question que l'optimisation seule ne tranche pas : maximiser le total, est-ce répartir équitablement ?
Le rendement de chaque activité suit f(x) = a·(1 − e−x/b) : a est le potentiel maximal, b la vitesse de saturation. Un petit b signifie un canal qui donne vite tout ce qu'il a.
| activité | potentiel a | échelle b | rendement de la 1re unité | seuil (planche 3) |
|---|
Si deux activités n'ont pas le même rendement marginal, déplacer un euro de la moins productive vers la plus productive augmente le total. On ne peut donc être à l'optimum que si tous les rendements marginaux sont égaux — à une valeur commune λ, qui est exactement le prix de la ressource : ce que rapporterait un euro de budget supplémentaire.
f'1(x1) = f'2(x2) = ⋯ = f'n(xn) = λ avec Σ xi = B
Le second graphique est le vrai lieu du raisonnement : on y lit les cinq courbes de rendement marginal et une seule droite horizontale. Chaque activité reçoit ce qu'il faut pour que sa courbe croise cette droite — et celles dont le tout premier euro rapporte déjà moins que λ ne reçoivent rien du tout. Faites descendre le budget : les activités les plus lentes à démarrer décrochent une à une.
Le personnel et les machines ne se coupent pas en morceaux. On raisonne alors par unités : à qui donner la prochaine ? Réponse naturelle — à l'activité où elle rapporte le plus. Cette méthode gloutonne paraît fruste ; elle est en réalité exactement optimale tant que les rendements sont décroissants, et la programmation dynamique le confirme sans jamais la prendre en défaut.
Beaucoup d'activités ne rapportent rien en dessous d'un investissement minimal : un salon professionnel sous-dimensionné ne ramène aucun client, un réseau de revendeurs à moitié constitué ne vend pas. Le rendement n'est alors plus concave, et le raisonnement marginal perd sa garantie : la première unité de chaque activité rapporte zéro, donc le glouton ne démarre jamais rien — il verse tout dans la seule activité qu'il a commencée par hasard.
La borne lagrangienne mérite un mot : au lieu d'imposer le budget, on le facture au prix λ et l'on laisse chaque activité se servir librement. Le meilleur λ donne toujours une borne supérieure — mais, contrairement au cas concave, elle n'est plus atteinte. Cet écart, le saut de dualité, est exactement ce que coûte la non-concavité : il mesure la distance entre le problème et son enveloppe concave. Ramenez le curseur des seuils à zéro et tout rentre dans l'ordre — le glouton retrouve l'optimum et le saut de dualité s'annule exactement. Ce n'est pas la discrétisation qui pose problème, c'est la forme des courbes.
Changeons de situation : huit projets indivisibles, chacun consommant du budget, du personnel et des machines, chacun rapportant un profit. On ne peut pas tous les faire. Trois questions se posent ensemble : lesquels retenir, quelle ressource bloque réellement, et laquelle il faudrait augmenter en premier.
Le second graphique oppose deux mondes. Dans le cas continu, la valeur d'une unité supplémentaire est un nombre net — le prix dual — et elle décroît régulièrement. Dans le cas indivisible, elle avance par marches : trois unités de budget de plus ne rapportent rien du tout, la quatrième en rapporte quinze d'un coup, parce qu'elle permet enfin de basculer un projet entier. Un prix dual est un guide, pas une promesse.
Maximiser la somme des bénéfices est un choix moral, pas seulement technique : il accepte d'affamer une activité si cela profite davantage ailleurs. Deux autres principes classiques s'y opposent — le partage proportionnel de Nash, qui maximise la somme des logarithmes, et le principe égalitaire de Rawls, qui maximise le plus petit bénéfice. Une seule famille les contient tous, paramétrée par une aversion à l'inégalité α :
maximiser Σ fi(xi)1−α/(1−α) → égalise f'i / fiα
α = 0 donne l'utilitarisme et l'égalisation des rendements marginaux ; α = 1 donne Nash et l'égalisation des rendements relatifs ; α → ∞ donne l'égalisation des niveaux eux-mêmes. Le curseur parcourt continûment ce chemin.
La frontière du second graphique dit l'essentiel : sa partie gauche est presque horizontale. On peut relever nettement le sort de la plus mal lotie des activités sans presque rien perdre sur le total — le partage de Nash coûte moins d'un demi pour cent. Ce n'est qu'en approchant de l'égalité stricte que l'addition devient lourde. Autrement dit, l'équité n'est pas chère tant qu'on n'en exige pas la perfection.