Le moins cher n'est pas le meilleur, le plus rapide pollue, le plus propre coûte cher. Quand plusieurs objectifs tirent dans des directions opposées, il n'existe plus de solution optimale au sens habituel. L'aide multicritère ne choisit pas à la place du décideur : elle écarte ce qui est clairement mauvais, puis rend explicites et cohérentes ses préférences.
L'exemple de la page : une entreprise choisit son fournisseur parmi huit, sur quatre critères : le coût annuel (à minimiser), la qualité notée sur 10 (à maximiser), le délai de livraison (à minimiser) et les émissions de CO₂ du transport (à minimiser).
Les poids accordés aux quatre critères dérivent lentement (barres de gauche) ; le classement des fournisseurs par somme pondérée se réorganise à mesure (à droite). Le « meilleur » dépend de ce qu'on veut.
Les données sont inventées. Tous les calculs sont faits dans votre navigateur, et chaque résultat est vérifié par une seconde méthode : un autre algorithme, une propriété mathématique qui doit être respectée, ou une recherche exhaustive. Cette page prolonge Décider dans l'incertitude et Modéliser un problème de décision.
Planche 1
Des objectifs parfois contradictoires
Chaque critère a son champion, et ce n'est jamais le même. Le graphique en coordonnées parallèles place un axe par critère, orienté pour que le haut soit toujours le mieux ; chaque fournisseur est une ligne brisée. Des lignes qui se croisent signalent des critères en conflit : être bon sur l'un oblige à céder sur l'autre.
Coordonnées parallèles : en haut, la meilleure valeur du critère ; en bas, la pire. Le fournisseur mis en valeur change toutes les deux secondes, ou au clic sur son nom.
Corrélation entre critères, une fois orientés (positif = les deux vont de pair, négatif = conflit), calculée sur les huit fournisseurs.
Champion de chaque critère–
Fournisseur mis en valeur : rang sur chaque critère–
Conflit le plus fort–
Croisements de lignes entre axes voisins–
Ce qu'il faut retenir. Le coût, la qualité, le délai et l'impact environnemental ne se résument pas en un seul nombre sans faire un choix de valeur. Le transport aérien est le plus rapide et le plus polluant ; le rail est le plus propre mais pas le plus rapide ; la qualité se paie. Tant que ces conflits existent, aucun fournisseur n'est « optimal » : il faut dire ce qu'on est prêt à céder sur un critère pour gagner sur un autre. C'est ce que font, chacune à sa manière, les méthodes des planches suivantes.
Planche 2
Dominance et solutions de Pareto
Un fournisseur en domine un autre s'il fait au moins aussi bien sur tous les critères, et strictement mieux sur au moins un. Un fournisseur que personne ne domine est dit efficace, ou optimal au sens de Pareto : on ne peut l'améliorer sur un critère sans le dégrader sur un autre. Tout décideur rationnel choisit parmi eux ; le reste peut être écarté sans discussion.
Deux critères à la fois. Points rouges : efficaces sur ces deux critères ; zone grisée : ce que chaque point efficace domine. L'escalier relie le front de Pareto.
300 plans de transport possibles : le premier front (rouge), puis les fronts suivants, obtenus en retirant le précédent, s'épluchent comme un oignon.
Efficaces sur les quatre critères–
Efficaces sur les deux critères affichés–
Contrôle : algorithme par balayage (tri puis record)–
Plans de transport : taille du premier front ; nombre de fronts–
Ce qu'il faut retenir. Sur les quatre critères, seul le revendeur G est dominé (par B, meilleur partout) ; les sept autres sont efficaces. C'est le lot habituel : plus il y a de critères, plus les solutions efficaces sont nombreuses, et moins la dominance tranche. Sur deux critères seulement, le front se voit : c'est l'escalier des meilleurs compromis. La dominance est le seul principe que tout le monde accepte ; pour aller plus loin, il faut des informations sur les préférences.
Planche 3
Sommes pondérées et programmation par objectifs
La méthode la plus répandue ramène chaque critère sur une échelle de 0 (le pire) à 1 (le meilleur), puis fait une somme pondérée. Les poids expriment l'importance relative, mais aussi le taux d'échange : combien de qualité vaut un point de coût. La programmation par objectifs procède autrement : on fixe une cible par critère, et on cherche la solution qui s'en écarte le moins.
Score pondéré de chaque fournisseur, décomposé par critère (une couleur par critère).
Coût et CO₂ seulement : une somme pondérée revient à faire glisser une droite (tirets) jusqu'au premier point touché. Les points efficaces cachés dans un creux du front (cerclés d'orange) ne sont jamais touchés, quels que soient les poids.
Classement par somme pondérée–
Écart entre le premier et le deuxième–
Efficaces sur coût et CO₂ ; jamais choisis (balayage de 20 001 poids)–
Écarts aux cibles (barres empilées, une couleur par critère, en part de l'étendue du critère). Un fournisseur sans barre atteint toutes les cibles.
Choix–
Fournisseurs qui atteignent toutes les cibles–
Ce qu'il faut retenir. La somme pondérée est simple et transparente, et choisit toujours un fournisseur efficace. Mais elle a un angle mort : sur le couple coût et CO₂, l'Euro Standard (B) et le Groupement (H) sont efficaces, et pourtant aucun jeu de poids ne les fait gagner sur ces deux critères, car ils sont dans un creux du front. Ses poids dépendent aussi de l'échelle choisie : ce ne sont pas des « importances » au sens courant. La programmation par objectifs parle davantage aux décideurs (« pas plus de 850 k€, pas plus de 250 t ») ; quand plusieurs fournisseurs atteignent toutes les cibles, elle ne les départage pas, et quand aucun n'y parvient, elle trouve le moins mauvais compromis.
Planche 4
Introduction aux méthodes AHP, ELECTRE et PROMETHEE
Trois familles de méthodes, trois philosophies. AHP (Saaty, 1980) tire les poids de comparaisons par paires (« le coût est deux fois plus important que la qualité »). ELECTRE (Roy, 1968) construit une relation de surclassement : a surclasse b si une majorité de critères le soutient et qu'aucun critère ne s'y oppose trop fortement (veto). PROMETHEE (Brans, 1982) compare les fournisseurs deux à deux sur chaque critère avec une fonction de préférence graduelle, puis calcule des flux. ELECTRE et PROMETHEE utilisent ici les poids issus d'AHP.
Poids des critères (vecteur propre) et score AHP de chaque fournisseur.
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Poids : coût, qualité, délai, CO₂–
Contrôle : moyenne géométrique des lignes (écart maximal)–
λmax ; ratio de cohérence (acceptable sous 0,10)–
Classement AHP–
Graphe de surclassement : une flèche de a vers b signifie « a surclasse b ». En rouge, le noyau : les fournisseurs qui ne se surclassent pas entre eux et qui, ensemble, surclassent tous les autres.
Noyau (fournisseurs à retenir)–
Arcs de surclassement–
Contrôle : stabilité interne ; stabilité externe–
Flux de PROMETHEE : flux sortant φ⁺ (force, vers la droite) et flux entrant φ⁻ (faiblesse, vers le haut, axe inversé). Le flux net φ = φ⁺ − φ⁻ donne le classement complet ; en haut à droite, les meilleurs.
La fonction de préférence du critère choisi : en dessous de l'écart q, indifférence ; au-delà de p, préférence stricte ; entre les deux, préférence partielle.
Classement PROMETHEE II (flux net)–
Contrôle : somme des flux nets (doit valoir 0)–
PROMETHEE I : paires incomparables–
Exemple d'incomparabilité–
Ce qu'il faut retenir. AHP demande des jugements par paires, qui sont plus faciles à formuler que des poids, et vérifie leur cohérence : si le coût compte deux fois plus que la qualité et la qualité autant que le CO₂, le coût doit compter environ deux fois plus que le CO₂. ELECTRE ne force pas un classement : il retient un noyau de bons candidats et accepte qu'un défaut grave sur un seul critère (le veto) bloque une préférence. PROMETHEE donne à la fois un classement complet (flux net) et une version prudente (PROMETHEE I), qui laisse incomparables les fournisseurs aux profils trop différents. Trois méthodes, trois réponses voisines mais pas identiques : chacune incarne une façon de raisonner.
Planche 5
L'influence des préférences du décideur
Toute méthode multicritère repose sur des paramètres choisis par le décideur : des poids, des seuils, des cibles. Avant de conclure, il faut savoir si la recommandation résiste à leur variation. Le triangle ci-dessous représente tous les partages possibles entre coût, qualité et CO₂ (chaque sommet donne tout à un seul critère) ; la couleur indique le fournisseur gagnant. Cliquez pour placer vos poids.
Carte des gagnants. Point noir : vos poids. Cercle : la plus petite variation des poids qui change de gagnant.
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Vos poids : coût, qualité, délai, CO₂–
Part du triangle gagnée par chaque fournisseur–
Marge de stabilité (plus petite variation de poids qui change le gagnant)–
Accord entre méthodes (tau de Kendall moyen)–
Ce qu'il faut retenir. Le Local Premium (C) gagne la plus grande part du triangle : c'est un choix robuste, qui convient à beaucoup de jeux de poids. Le Groupement (H) gagne une large zone de compromis, l'Asie Low-cost (A) seulement quand le coût écrase tout, le Rail Vert (E) quand le CO₂ domine. Une recommandation sérieuse donne le gagnant, mais aussi sa marge de stabilité. Enfin, le bouton « Ajouter un fournisseur dominé » montre un défaut célèbre : ajouter une option que personne ne choisira peut inverser le classement des autres, parce que les échelles (somme pondérée), les normalisations (AHP) ou les comparaisons deux à deux (PROMETHEE) dépendent de l'ensemble des options. Savoir cela, c'est savoir lire une recommandation multicritère avec prudence.
Ce qu'il faut garder
Écarter
La dominance élimine sans débat ; le front de Pareto contient tous les choix défendables.
Agréger
Somme pondérée, objectifs, AHP, surclassement, flux : chaque méthode traduit les préférences à sa façon, avec ses angles morts.
Éprouver
Une recommandation vaut par sa stabilité face aux poids et aux options ajoutées. On la teste toujours avant de la défendre.
Pour aller plus loin
Dans ce cahier.Décider dans l'incertitude (critères de Wald, Savage, Hurwicz) ; Modéliser un problème de décision ; Décider avec des probabilités imprécises ; L'optimisation de portefeuille (une frontière efficace à deux critères).
Sur les calculs. Normalisation : min-max sur les huit fournisseurs, 1 pour le meilleur. Front de Pareto : comparaison de toutes les paires, contrôlée par l'algorithme de balayage (tri sur un critère, record sur l'autre). Points jamais choisis : balayage de 20 001 poids. AHP : vecteur propre par la méthode de la puissance, contrôlé par la moyenne géométrique ; indice aléatoire de Saaty 0,90 pour quatre critères ; priorités locales des fournisseurs proportionnelles à leurs valeurs (inverses pour les critères à minimiser), en mode distributif. ELECTRE I : concordance par la somme des poids des critères favorables, discordance par le plus grand désavantage en part de l'étendue ; les circuits sont regroupés avant le calcul du noyau. PROMETHEE : préférence linéaire avec seuils q et p (coût 20 et 150 k€, qualité 0,2 et 1,5, délai 2 et 12 jours, CO₂ 20 et 150 t). Marge de stabilité : distance euclidienne, dans l'espace des poids, au point le plus proche de la grille où le gagnant change.