Pour prouver qu'une chose est vraie, on suppose qu'elle est fausse, on en tire les conséquences… et l'on tombe sur une impossibilité. C'est donc que l'hypothèse était intenable.
L'idée en une phrase
On veut démontrer un énoncé P. Au lieu de l'attaquer de front, on fait comme si P était faux, et on raisonne correctement à partir de là. Si l'on arrive à une contradiction — une affirmation et son contraire en même temps, ou un résultat manifestement impossible —, c'est que la supposition de départ ne pouvait pas tenir : P est vrai.
① Supposer le contraire
On écrit clairement « Supposons, par l'absurde, que non-P ». Cette hypothèse est provisoire : on sait qu'on va la détruire.
② Dérouler jusqu'à l'impossible
Chaque étape doit être rigoureuse. La contradiction peut porter sur l'hypothèse elle-même (« … donc il existe un entier plus grand que le plus grand ») ou sur un fait connu (« … donc 1 = 0 »).
[ non-P ⟹ contradiction ] ⟹ P
Le raisonnement repose sur deux principes de la logique : un énoncé ne peut pas être à la fois vrai et faux (non-contradiction), et il est soit vrai soit faux (tiers exclu). À ne pas confondre avec la contraposée, qui démontre « A ⇒ B » en prouvant directement « non-B ⇒ non-A », sans chercher de contradiction. Les planches vont du plus simple au plus surprenant : des énoncés qui se réfutent tout seuls, deux preuves grecques célèbres, un principe de comptage, et enfin une preuve qui affirme qu'un joueur gagne… sans dire comment.
Planche 1
L'hypothèse qui se détruit elle-même
Premier réflexe du raisonnement par l'absurde : pour montrer qu'un objet « record » n'existe pas, on suppose qu'il existe, et l'on fabrique aussitôt un objet qui le bat. Choisissez l'affirmation, puis proposez la valeur record de votre choix avec le curseur : la page trouve toujours de quoi la réfuter.
En haut, la droite graduée entière ; en bas, un agrandissement autour de la valeur proposée (en rouge). Le témoin qui la réfute apparaît en vert : il appartient au même ensemble et fait mieux que le « record ».
Hypothèse (à détruire)
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Témoin construit
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Vérification
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Contrôle : 10 000 records au hasard
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Planche 2
√2 n'est pas une fraction
L'exemple le plus célèbre, connu des Grecs. Supposons que √2 = p/q avec p et q entiers. Alors p² = 2q² : le carré de côté p aurait exactement l'aire de deux carrés de côté q. La figure (due à Stanley Tennenbaum) pose les deux carrés de côté q dans les coins du grand carré. Si l'égalité était vraie, la partie recouverte deux fois (violette) aurait l'aire des deux coins découverts (rouges) : on obtiendrait une solution plus petite, puis une plus petite encore… ce qui est impossible pour des entiers.
Bleu : le carré p × p. Orange : les deux carrés q × q, posés dans deux coins opposés. Violet : recouvert deux fois, carré de côté 2q − p. Rouge : les deux coins non recouverts, carrés de côté p − q.
Hypothèse absurde. Supposons √2 = p/q, fraction irréductible (p et q sans diviseur commun autre que 1).
En élevant au carré : p² = 2q². Donc p² est pair.
Un impair au carré est impair (car (2k+1)² = 4k² + 4k + 1). Puisque p² est pair, p est pair : p = 2k.
Alors 4k² = 2q², donc q² = 2k² : q² est pair, donc q est pair.
Contradiction. p et q sont tous deux pairs : 2 les divise, la fraction n'était pas irréductible. L'hypothèse est absurde : √2 est irrationnel.
p² et 2q²
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Écart p² − 2q²
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Descente de Tennenbaum
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Contrôle q ⩽ 100 000
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Planche 3
Il y a une infinité de nombres premiers
Euclide, Éléments, livre IX. Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers, et qu'on les ait tous dans une liste. Multiplions-les et ajoutons 1 : on obtient un entier N. Divisé par n'importe quel nombre de la liste, N laisse le reste 1 ; aucun ne le divise donc. Or N ⩾ 2 a au moins un diviseur premier : il est forcément hors de la liste. La liste n'était pas complète — contradiction. Cliquez sur les nombres premiers pour composer votre liste « complète ».
En haut, les vingt premiers nombres premiers (cliquez pour les mettre dans la liste, en bleu). En bas, un cadran par nombre de la liste : l'aiguille indique le reste de N dans la division, toujours 1. Le cadran vert est celui du premier diviseur trouvé : reste 0, et ce nombre n'est pas dans la liste.
N = produit de la liste + 1
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Restes de N
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Nouveau nombre premier
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Contrôle : 300 listes au hasard
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Planche 4
Le principe des tiroirs
Si l'on range plus d'objets qu'il n'y a de tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets. Preuve par l'absurde : si chaque tiroir contenait au plus un objet, il y aurait au plus autant d'objets que de tiroirs. Ce principe presque évident démontre des résultats qui ne le sont pas du tout.
Les objets sont rangés le mieux possible — toujours dans un tiroir le moins rempli. Même ainsi, dès que k dépasse n, un tiroir en reçoit deux (en rouge).
Tiroir le plus rempli
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Garantie ⌈k/n⌉
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L'hypothèse « au plus 1 par tiroir »
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Énoncé : parmi n + 1 entiers choisis entre 1 et 2n, il y en a toujours deux dont l'un divise l'autre. Tout entier s'écrit 2ᵃ × m avec m impair, et m ne peut prendre que n valeurs (1, 3, …, 2n − 1) : ce sont les tiroirs. Supposons que nos n + 1 nombres soient dans des tiroirs différents : il faudrait n + 1 tiroirs, absurde. Deux d'entre eux ont donc la même partie impaire m, et le plus petit divise le plus grand. Cliquez sur les nombres pour les choisir.
En haut, les entiers de 1 à 2n. En bas, un tiroir par partie impaire : chaque nombre choisi y tombe. Deux nombres dans le même tiroir diffèrent d'une puissance de 2, donc le plus petit divise le plus grand (en rouge).
Nombres choisis
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Couple trouvé
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Contrôle exhaustif n = 3 … 8
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Plus grande partie sans couple
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Planche 5 · signature
Gagner sans savoir comment : le vol de stratégie
Le jeu de Chomp (David Gale, 1974) : une tablette de chocolat dont le carré en bas à gauche est empoisonné. À tour de rôle, chaque joueur choisit un carré et le mange avec tous ceux qui sont au-dessus et à sa droite. Celui qui doit manger le poison a perdu. Un raisonnement par l'absurde montre que le premier joueur a toujours une stratégie gagnante sur une tablette rectangulaire (autre qu'un seul carré) — mais la preuve ne dit absolument pas laquelle.
Survolez un carré pour voir ce que vous mangeriez, cliquez pour jouer. L'ordinateur joue parfaitement : il connaît le sort de chaque position, calculé en remontant depuis la fin de partie.
Au trait
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Position pour le joueur au trait
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Coups gagnants au départ
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Positions analysées
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Hypothèse absurde. Supposons que ce soit le second joueur (J2) qui ait une stratégie gagnante.
J1 commence par manger un seul carré : celui du coin en haut à droite.
J2, qui gagne à coup sûr, répond par un coup gagnant X, et laisse une position S perdante pour J1.
Mais tout coup mange aussi le coin en haut à droite. Donc S s'obtient aussi directement depuis la tablette entière, en jouant X. J1 pouvait jouer X dès le premier coup, et laisser S à J2 : J1 « vole » la stratégie de J2.
Contradiction. S serait à la fois perdante pour J1 et pour J2. Le second joueur n'a donc pas de stratégie gagnante ; comme ce jeu fini sans nul en a toujours une pour l'un des deux, c'est J1 qui gagne.
L'argument appliqué pour de vrai : les positions sont celles qu'on obtiendrait si l'hypothèse absurde était exacte. La page vérifie à chaque fois ce qui se passe réellement.
Coin mangé en premier : la position laissée à J2
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Coup X « volé »
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Vrais coups gagnants de J1
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Contrôle : toutes les tablettes jusqu'à 7 × 7
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Repères historiques
Vᵉ s. av. J.-C.Les pythagoriciens découvrent que la diagonale et le côté du carré n'ont pas de commune mesure. Aristote cite la preuve par la parité (« sinon, un même nombre serait à la fois pair et impair ») comme l'exemple type de raisonnement par l'absurde.
vers −300Euclide, Éléments, livre IX, proposition 20 : « les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude proposée ». Les Grecs appellent ce procédé apagogè, « réduction à l'impossible » ; les Latins diront reductio ad absurdum.
1659Fermat décrit la « descente infinie » : une solution entière en entraînerait une plus petite, et ainsi de suite, ce qui est impossible dans les entiers. C'est l'argument des carrés de la planche 2.
1834Johann Dirichlet énonce le principe des tiroirs (Schubfachprinzip), qu'il utilise en théorie des nombres pour approcher des irrationnels par des fractions.
1888David Hilbert démontre l'existence d'une base finie pour les invariants sans la construire. La réaction « ce n'est pas des mathématiques, c'est de la théologie », attribuée à Paul Gordan, résume le malaise devant les preuves d'existence non constructives.
1907L. E. J. Brouwer fonde l'intuitionnisme, qui refuse le tiers exclu en général : pour lui, prouver qu'un objet ne peut pas ne pas exister ne suffit pas à prouver qu'il existe.
1974David Gale publie le jeu de Chomp ; l'argument du vol de stratégie (connu depuis John Nash pour le jeu de Hex, vers 1949) y prouve la victoire du premier joueur sans donner de stratégie.
En résumé
Supposer le pire
On part de la négation de ce qu'on veut prouver, on la prend au sérieux et on en tire des conséquences rigoureuses, jusqu'à l'impossible.
Les deux sources de contradiction
Soit l'hypothèse se retourne contre elle-même (un « plus grand » battu, une liste « complète » qui ne l'est pas), soit elle entraîne une descente sans fin dans les entiers.
Prouver sans construire
La preuve peut établir qu'un objet existe — un couple qui se divise, une stratégie gagnante — sans le montrer. Il faut alors un calcul, ou un autre argument, pour le trouver.
Pour aller plus loin
Le modèle de rédaction
« Supposons, par l'absurde, que … (négation exacte de l'énoncé). Alors … donc … donc … Or … (fait connu ou hypothèse de départ). C'est une contradiction. Donc … (énoncé voulu). » Le point délicat est souvent la négation : la négation de « tous les x vérifient A » est « il existe un x qui ne vérifie pas A », pas « aucun x ne vérifie A ».
Absurde ou contraposée ?
Pour montrer « si n² est pair, alors n est pair », la contraposée démontre directement « si n est impair, alors n² est impair » : c'est une preuve directe d'un énoncé équivalent. Une preuve par l'absurde supposerait « n² pair et n impair » et chercherait une contradiction. Quand on peut se passer de l'absurde, la preuve est souvent plus claire, et elle en dit davantage.
Les preuves constructives
En logique intuitionniste, et dans les assistants de preuve comme Coq ou Lean, on distingue les preuves qui construisent l'objet de celles qui établissent seulement qu'il ne peut pas ne pas exister. Les planches 1 à 3 sont en fait constructives : elles fabriquent un témoin (N + 1, la descente, le produit plus un). La planche 5, elle, ne l'est pas : il faut explorer toutes les positions pour trouver le coup gagnant.