Les quotients et le théorème du rang
Quotienter, c'est décider que certaines différences ne comptent plus : sur un cadran, 13 h et 1 h, c'est la même heure. On regroupe alors les éléments en paquets, les classes, et l'on calcule avec les paquets. Cela ne marche que si le regroupement respecte les opérations. Cinq planches pour voir quand c'est possible, pour les groupes, les anneaux et les espaces vectoriels, et pour comprendre le théorème du rang : dim E = dim ker f + rg f.
Vue d'ensemble : identifier, c'est quotienter
Une relation d'équivalence découpe un ensemble E en classes disjointes. L'ensemble de ces classes s'appelle l'ensemble quotient E/~. Pour une structure algébrique, la question est toujours la même : peut-on calculer sur les classes en calculant sur des représentants, sans que le résultat dépende du représentant choisi ?
| Structure | On quotiente par… | Condition pour que le calcul passe | Exemple | Planche |
|---|---|---|---|---|
| groupe G | un sous-groupe H | H distingué : gH = Hg pour tout g | ℤ/nℤ, Sₙ/Aₙ | 1, 2 |
| anneau A | un idéal I | I absorbe les produits : a ∈ A, x ∈ I ⇒ ax ∈ I | ℝ[X]/(X² + 1) = ℂ | 3 |
| espace vectoriel E | un sous-espace F | toujours possible | ℝ²/droite = droite | 4 |
| morphisme f | son noyau ker f | toujours possible | E/ker f ≅ Im f | 4, 5 |
Calculer avec des paquets : quand le résultat ne dépend pas du représentant
Si l'on additionne « un élément quelconque du paquet A » et « un élément quelconque du paquet B », tombe-t-on toujours dans le même paquet ?
Dans ℤ, on regroupe les entiers selon leur reste modulo n : a ~ b quand n divise a − b. Choisissez deux classes, puis tirez des représentants au hasard : la somme tombe toujours dans la même classe. On dit que l'addition passe au quotient. Avec la seconde relation, « |a| et |b| ont le même reste », les classes sont différentes et l'addition ne passe plus.
Groupes quotients : la table qui se range en blocs
Quand peut-on multiplier les classes gH d'un groupe ?
Un sous-groupe H découpe le groupe G en classes à gauche gH, toutes de même taille |H|. Il y en a |G|/|H|, c'est le théorème de Lagrange. On range la table de multiplication de G classe par classe, et l'on colore chaque case selon la classe du produit. Si chaque bloc (classe A × classe B) est d'une seule couleur, le produit de deux classes est bien défini et G/H est un groupe. Cela arrive exactement quand H est distingué : gH = Hg pour tout g.
Anneaux quotients : fabriquer ℂ avec des polynômes
Que se passe-t-il si l'on décide qu'un polynôme P « vaut 0 » ?
Dans ℝ[X], on regroupe deux polynômes quand leur différence est un multiple de P : c'est le quotient par l'idéal (P). Chaque classe a un représentant privilégié, le reste de la division par P, de la forme c₀ + c₁X quand P est de degré 2. On multiplie deux restes, puis on remplace X² grâce à P = 0. Le résultat ne dépend pas des représentants, parce qu'un multiple de P, multiplié par n'importe quoi, reste un multiple de P.
Espaces quotients et théorème du rang
Que reste-t-il de ℝ² si l'on décide qu'une droite F « vaut 0 » ?
Dans un espace vectoriel E, on regroupe x et y quand x − y ∈ F. La classe de x est la droite x + F, parallèle à F. L'ensemble des classes E/F est encore un espace vectoriel, et ici une droite : on peut repérer chaque classe par un seul nombre. On a dim E/F = dim E − dim F. Pour une application linéaire f, on quotiente par son noyau ker f : les classes sont les fibres de f, chacune envoyée sur un seul point de l'image. D'où E/ker f ≅ Im f, et le théorème du rang :
dim E = dim ker f + rg f avec rg f = dim Im f
Compter au lieu de mesurer : sur 𝔽₂
Sur le corps 𝔽₂ = {0, 1}, un espace de dimension n a exactement 2ⁿ vecteurs, et l'on peut tout énumérer. Le théorème du rang devient un comptage : |ker f| × |Im f| = 2ⁿ, car chacune des |Im f| fibres contient exactement |ker f| vecteurs.
Signature : le tore ℝ²/ℤ², et un théorème pour trois structures
Un quotient peut avoir une forme. Et un seul théorème, le premier théorème d'isomorphisme, gouverne tous les quotients.
Dans le plan ℝ², on identifie deux points dont la différence est à coordonnées entières : c'est le quotient du groupe ℝ² par le sous-groupe ℤ². Chaque classe a un représentant dans le carré [0 ; 1[², et sortir par un bord revient à rentrer par le bord opposé. En recollant ces bords, le carré devient un tore, une chambre à air. Une droite de pente α tracée dans le plan devient sur le tore une courbe qui s'enroule.
Le premier théorème d'isomorphisme dit la même chose dans les trois cadres : si f est un morphisme (de groupes, d'anneaux ou d'espaces vectoriels), alors la structure de départ quotientée par ker f est isomorphe à Im f. Les classes de ker f sont exactement les fibres de f, et chaque fibre a la taille de ker f.
Une brève histoire
En résumé
Une condition
On calcule sur les classes si le résultat ne dépend pas des représentants. Pour un groupe, cela exige un sous-groupe distingué ; pour un anneau, un idéal ; pour un espace vectoriel, n'importe quel sous-espace convient.
Un théorème
E/ker f ≅ Im f. Les fibres de f sont les classes de son noyau, toutes de même taille. En dimension finie, cela donne dim E = dim ker f + rg f.
Des objets nouveaux
ℤ/nℤ, ℂ = ℝ[X]/(X² + 1), les corps finis, le cercle ℝ/ℤ et le tore ℝ²/ℤ² : beaucoup d'objets fondamentaux sont des quotients.
Pour aller plus loin
Propriété universelle. Tout morphisme f qui s'annule sur H (distingué) se factorise de façon unique par G/H. C'est la vraie définition du quotient.
Deuxième et troisième théorèmes d'isomorphisme. HK/K ≅ H/(H ∩ K), et (G/K)/(H/K) ≅ G/H : on peut quotienter en plusieurs étapes. C'est l'outil des suites de composition, et donc de la résolubilité en théorie de Galois.
Idéaux maximaux. A/I est un corps exactement quand I est maximal. Dans K[X], les idéaux maximaux sont ceux engendrés par les polynômes irréductibles.
Géométrie. L'espace projectif, la bouteille de Klein et le ruban de Möbius sont des quotients d'espaces plus simples par des groupes ou des relations d'équivalence.