Les nombres complexes font tourner le plan : multiplier par cos θ + i sin θ, c’est tourner de l’angle θ. William Rowan Hamilton chercha pendant des années des « nombres à trois composantes » qui feraient de même dans l’espace. Il n’y en a pas. Le 16 octobre 1843, en longeant un canal de Dublin, il comprit qu’il en fallait quatre, et grava sur la pierre du pont de Broom la règle qui les définit :
i² = j² = k² = ijk = −1
Un quaternion s’écrit q = a + b i + c j + d k avec quatre nombres réels. On les additionne composante par composante, et on les multiplie en développant grâce à la règle de Hamilton. Le prix à payer est de taille : l’ordre des facteurs compte, ij n’est pas égal à ji. Les quaternions sont les plus célèbres des nombres dits hypercomplexes ; leurs voisins, les octonions de dimension 8, perdent en plus l’associativité. Frobenius a démontré en 1878 que ℝ, ℂ et ℍ (la lettre des quaternions, en l’honneur de Hamilton) sont les seuls systèmes de nombres réels, associatifs, où l’on peut toujours diviser.
Toute la multiplication tient dans cette table de seize cases : ligne fois colonne. Cliquez sur une case. Les cases teintées sont celles où l’échange des facteurs change le signe. Le cercle de droite résume la règle : en suivant la flèche, i·j = k, j·k = i, k·i = j ; à contre-sens, on obtient l’opposé.
Le produit de deux quaternions se calcule en développant les seize produits de termes, chacun lu dans la table. Les contrôles ci-dessous comparent ce calcul à une seconde écriture du produit et vérifient les grandes propriétés.
À retenir. La multiplication des quaternions est associative — les parenthèses ne comptent pas — mais pas commutative. Elle respecte les longueurs : la norme d’un produit est le produit des normes, exactement comme pour les complexes. C’est ce qui permet de diviser : tout quaternion non nul a un inverse q⁻¹ = q̄ / |q|², où q̄ est le conjugué, obtenu en changeant le signe de i, j, k.
On range un quaternion en deux parties : un scalaire s et un vecteur u = (b, c, d) de l’espace, porté par i, j, k. Le produit s’écrit alors avec les deux produits de la géométrie de l’espace :
(s₁ + u)(s₂ + v) = (s₁s₂ − u·v) + (s₁v + s₂u + u ∧ v)
Pour deux vecteurs purs, il ne reste que uv = −u·v + u ∧ v : le produit scalaire et le produit vectoriel, que l’on sépare d’ordinaire, sont les deux moitiés d’un même produit. C’est même historiquement de là qu’ils viennent. Faites varier l’angle φ entre u et v : l’un grandit quand l’autre diminue.
Faites glisser la figure pour la tourner.
À retenir. Un vecteur pur de longueur 1 a pour carré −1 : dans ℍ, il n’y a pas deux racines carrées de −1 mais une sphère entière. Chaque direction n de l’espace fournit ainsi sa propre copie des complexes, avec sa formule d’Euler enθ = cos θ + n sin θ. C’est cette formule qui va produire les rotations.
Pour tourner d’un angle θ autour d’un axe unitaire n, on prend q = cos(θ/2) + n sin(θ/2), puis on « prend en sandwich » chaque vecteur : v′ = q v q̄. Le résultat est encore un vecteur pur, tourné exactement comme il faut. Remarquez le demi-angle : il est indispensable, car q agit deux fois, une fois de chaque côté.
Faites glisser la figure pour la tourner.
À retenir. Après un tour complet (θ = 360°), le pavé est revenu à sa place, mais le quaternion vaut −1 : il n’est revenu à +1 qu’après deux tours. Les quaternions q et −q donnent donc la même rotation : c’est la double couverture des rotations par la sphère des quaternions unitaires. Ce détail, loin d’être un défaut, est le même qui décrit le spin de l’électron en physique quantique.
Faire la rotation q₁ puis la rotation q₂, c’est appliquer le seul quaternion q₂q₁. Comme le produit n’est pas commutatif, l’ordre compte — et c’est heureux, car l’ordre compte aussi pour les rotations réelles. Les deux pavés reçoivent les deux mêmes quarts de tour, dans l’ordre inverse.
Faites glisser la figure pour la tourner.
Les pilotes décrivent une orientation par trois angles : lacet ψ (cap), tangage θ (assiette) et roulis φ (inclinaison), réalisés par trois anneaux emboîtés. Quand le tangage atteint ±90°, l’anneau du tangage (vert) vient se coucher dans le plan de l’anneau du lacet (bleu) et l’axe du roulis se confond avec celui du lacet : les deux angles font alors la même chose, et une direction de rotation est perdue. Les trois flèches montrent les axes autour desquels chaque angle fait tourner ; elles deviennent coplanaires.
Faites glisser la figure pour la tourner.
À retenir. Aucune description par trois angles ne peut éviter partout ce blocage : c’est une propriété de l’ensemble des rotations lui-même, pas d’un mauvais choix d’axes. Le quaternion unitaire, avec ses quatre nombres liés par |q| = 1, n’a aucun point singulier. C’est pourquoi les systèmes de navigation des engins spatiaux et les moteurs de jeux vidéo calculent en quaternions et ne convertissent en angles que pour l’affichage.
Une caméra ou un personnage doit aller de l’orientation A à l’orientation B. Trois méthodes sont comparées. Interpoler les trois angles séparément (en bleu) donne un trajet tordu et une vitesse irrégulière. Faire la moyenne des quaternions puis la ramener à la longueur 1 (en vert) suit le bon chemin, mais accélère au milieu. L’interpolation sphérique SLERP (en rouge), introduite par Ken Shoemake en 1985, glisse sur le grand cercle de la sphère des quaternions à vitesse constante : c’est la rotation la plus directe possible. Les traces montrent le trajet du nez du pavé.
Faites glisser la figure pour la tourner.
À retenir. Comme q et −q décrivent la même orientation, il existe toujours deux arcs possibles ; on choisit celui dont le produit scalaire avec A est positif. Décochez la case pour voir le pavé faire le grand tour. La SLERP est aujourd’hui dans tous les moteurs d’animation : elle fournit le mouvement le plus naturel avec un calcul de quelques lignes.
Images de synthèse et jeux vidéo. Chaque os d’un personnage animé porte son orientation sous forme de quaternion ; les images intermédiaires sont calculées par SLERP.
Engins spatiaux et drones. L’attitude d’un satellite ou d’un drone est suivie en quaternions : quatre nombres, aucun blocage de cardan, et une renormalisation simple quand les erreurs s’accumulent.
Téléphones et capteurs. Les centrales inertielles fusionnent gyroscope, accéléromètre et boussole ; le résultat est fourni aux applications sous forme de vecteur de rotation, c’est-à-dire de quaternion.
Robotique. La position d’une pince au bout d’un bras articulé combine translations et rotations ; les quaternions (et leurs cousins, les quaternions duaux) les enchaînent sans singularité.
Biologie structurale. Pour superposer deux molécules, on cherche la meilleure rotation ; la méthode de Horn (1987) la ramène au plus grand vecteur propre d’une matrice 4 × 4, qui est un quaternion.
Physique. Les quaternions unitaires forment le groupe SU(2), celui du spin des particules ; la double couverture de la planche 3 explique pourquoi un électron doit « tourner deux fois » pour revenir à son état.