Arithmétique

Les progressions géométriques

Multiplier toujours par le même nombre : de quoi faire exploser un échiquier, rattraper une tortue en un temps fini, calculer la mensualité d'un emprunt et dessiner un flocon au périmètre infini mais à l'aire finie.

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L'idée en une phrase

Une progression géométrique (ou suite géométrique) est une liste de nombres où l'on passe de chacun au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Ce multiplicateur fixe s'appelle la raison, notée q. C'est la jumelle multiplicative de la progression arithmétique, où l'on ajoutait toujours la même quantité.

u₀,  u₀·q,  u₀·q²,  u₀·q³, …    soit   uₙ₊₁ = uₙ × q

Une balle qui rebondit : chaque rebond atteint 70 % de la hauteur du précédent. Les hauteurs forment une progression géométrique de raison 0,7. La balle fait une infinité de rebonds, mais s'immobilise pourtant au bout d'un temps fini — la planche 3 explique ce paradoxe apparent.

Exemples de la vie courante : une population de bactéries qui double toutes les vingt minutes (raison 2), un capital placé à 3 % par an (raison 1,03), un médicament éliminé de moitié toutes les six heures (raison 0,5), les formats de papier A0, A1, A2… dont l'aire est divisée par 2 à chaque pliage, ou la gamme musicale tempérée, où chaque demi-ton multiplie la fréquence par le même nombre.

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Multiplier par la raison

Comment calculer directement le 20ᵉ terme, et comment reconnaître une progression géométrique sur un graphique ?

Partir de u₀ et multiplier n fois par q revient à multiplier d'un coup par qⁿ. D'où la formule explicite :

uₙ = u₀ × qⁿ

Ici, les marches de l'escalier ne sont plus égales : elles grandissent (ou rapetissent) proportionnellement à la hauteur déjà atteinte. Sur un graphique ordinaire, les points dessinent une courbe exponentielle. Mais sur une échelle logarithmique — où des distances égales représentent des multiplications égales — ils s'alignent sur une droite : le logarithme transforme une progression géométrique en progression arithmétique.

En bleu, les termes (en orange quand ils sont négatifs) ; en rouge, chaque marche ; en vert, le premier terme. En échelle logarithmique, l'axe vertical porte |uₙ| et les puissances de 10 sont régulièrement espacées.
uₙ par la formule u₀ × qⁿ
uₙ en multipliant par q à chaque marche
Écart relatif entre les deux calculs
Rapports uₖ₊₁ / uₖ (plus petit / plus grand)
Pente de la droite ajustée en échelle log (log₁₀|uₖ|) / attendue log₁₀|q|
Comportement

Le problème inverse : intercaler des moyens géométriques

Entre deux nombres positifs a et b, on veut placer k nombres pour former une progression géométrique. Il faut k + 1 multiplications identiques pour aller de a à b, donc q = (b / a)1/(k+1). Chaque terme est alors la moyenne géométrique de ses voisins : uₖ = √(uₖ₋₁ × uₖ₊₁). C'est ainsi que l'ingénieur Charles Renard a fixé en 1877 les nombres normalisés (1 ; 1,6 ; 2,5 ; 4 ; 6,3 ; 10), encore utilisés pour les calibres, les puissances et les sections de câbles : quatre moyens géométriques entre 1 et 10.

En haut, les termes sur une échelle ordinaire : ils se tassent vers le début. En bas, les mêmes termes sur une échelle logarithmique : ils sont parfaitement réguliers. En vert les extrémités a et b, en bleu les moyens insérés.
Raison (b/a)1/(k+1)
Dernier terme recalculé : a·qk+1 − b
Plus grand écart relatif entre un terme et √(voisin × voisin)
Les termes (quatre chiffres significatifs)
À retenir. Le signe et la taille de q décident de tout : si q > 1 la progression explose, si 0 < q < 1 elle s'éteint vers 0, si q est négatif les termes changent de signe à chaque pas. Contrairement aux progressions arithmétiques, la formule u₀·qⁿ et les multiplications successives ne donnent pas toujours exactement le même nombre en machine : chaque multiplication est arrondie (essayez q = 1,15 et n = 10), et l'écart relatif reste de l'ordre de 10⁻¹⁶ à 10⁻¹⁵ quand il n'est pas nul.
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La somme par décalage

Comment additionner u₀ + u₀q + … + u₀qⁿ⁻¹ sans tout additionner ?

L'astuce n'est plus de retourner la somme (comme chez Gauss), mais de la multiplier par q : chaque terme devient le suivant, et la somme qS est la somme S décalée d'un cran. En soustrayant, presque tout disparaît ; seuls survivent le premier terme de S et le dernier de qS :

S − qS = u₀ − u₀qⁿ   ⟹   S = u₀ × (1 − qⁿ) / (1 − q)   (si q ≠ 1)

En haut, les n termes de S ; en bas, ceux de qS. Pendant le glissement, chaque barre du bas vient se placer sous sa jumelle du haut : les paires identiques s'annulent (grisées). Restent u₀ en vert et u₀qⁿ en rouge.
Somme en additionnant un à un
u₀(1 − qⁿ)/(1 − q)
Écart relatif
S − qS calculé / u₀ − u₀qⁿ

La légende de l'échiquier

Selon une légende indienne rapportée au XIIIᵉ siècle par Ibn Khallikan, l'inventeur des échecs demanda pour récompense un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu'à la 64ᵉ. Le total est une somme géométrique de raison 2 : 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1. Ici, il est calculé en entiers exacts (aussi grands qu'il le faut) et comparé au calcul ordinaire de la machine, qui ne garde que 16 chiffres environ.

Chaque case est teintée selon le nombre de chiffres de son tas de grains. La case choisie est encadrée de rouge, les cases déjà remplies sont bleues.
Grains sur cette case (2 puissance case − 1)
Total exact jusqu'à cette case (entiers exacts)
Total par additions en nombres de machine, et son erreur
Masse totale, en années de production mondiale de blé (environ 800 millions de tonnes par an)
À retenir. Quand q > 1, la somme est dominée par son dernier terme : avec q = 2, la dernière case contient à elle seule un grain de plus que toutes les précédentes réunies. Et la machine, qui calcule avec environ 16 chiffres significatifs, se trompe d'un grain sur le total de 20 chiffres : 2⁶⁴ − 1 ne « tient » pas dans un nombre à virgule ordinaire.
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Une infinité de termes, une somme finie

Achille rattrapera-t-il la tortue ?

Le paradoxe de Zénon d'Élée (Vᵉ siècle av. J.-C.) : Achille court plus vite que la tortue, qui part avec une avance. Le temps qu'il atteigne le point de départ de la tortue, elle a avancé ; le temps qu'il atteigne ce nouveau point, elle a encore avancé… Il y a une infinité d'étapes. Mais leurs durées forment une progression géométrique de raison q = vtortue / vAchille < 1, et quand |q| < 1, le terme qⁿ de la formule de la planche 2 tend vers 0 :

u₀ + u₀q + u₀q² + … = u₀ / (1 − q)    (si |q| < 1)

Achille (rouge) et la tortue (vert). Chaque étape de Zénon est marquée par une couleur alternée ; elles rapetissent géométriquement jusqu'au point de rencontre (pointillé).
Les durées des étapes (barres) et leur cumul (points violets) qui se tassent sous la durée totale finie (pointillé rouge).
Raison q = vT / vA
Durée totale par la formule u₀ / (1 − q)
Somme des 60 premières étapes
Instant de rencontre cherché par dichotomie sur les positions
Étapes pour que l'écart passe sous 1 mm (comptées / par logarithme)
Point de rencontre

Les décimales périodiques sont des sommes géométriques

0,272727… = 27/100 + 27/10 000 + … : une progression géométrique de premier terme 27/100 et de raison 1/100. Sa somme vaut 27/99 = 3/11. En général, une période p de L chiffres donne p / (10L − 1). Et 0,999… vaut exactement 1, puisque 9/9 = 1.

Fraction obtenue par la somme géométrique (simplifiée)
Écart entre la fraction et la somme de 1, 2, 3 périodes
Contrôle : division posée de la fraction obtenue
À retenir. Une infinité de durées peut faire un temps fini, pourvu qu'elles diminuent assez vite — géométriquement, par exemple. Le reste après n étapes vaut u₀qⁿ/(1 − q) : il est divisé par 1/q à chaque étape, ce qui donne le nombre d'étapes nécessaire pour une précision voulue. La balle de l'introduction obéit au même calcul : une infinité de rebonds, un arrêt en temps fini.
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L'emprunt immobilier

D'où sort la formule de la mensualité, et pourquoi rembourse-t-on surtout des intérêts au début ?

On emprunte un capital K au taux mensuel t (le taux annuel divisé par 12, comme le font les banques françaises), sur n mois, avec une mensualité constante M. Chaque mois, les intérêts valent t × le capital restant dû, et le reste de la mensualité rembourse du capital. Comme le capital restant dû baisse, les intérêts baissent, et la part de capital remboursée augmente — géométriquement : elle est multipliée par 1 + t chaque mois. La somme de ces n parts devant redonner K, la formule de la planche 2 donne :

M = K × t / (1 − (1 + t)−n)

Chaque mensualité (hauteur constante) est partagée entre intérêts (orange) et capital remboursé (bleu). La ligne rouge marque le mois où le capital remboursé dépasse pour la première fois les intérêts. Assurance et frais non compris.
Le capital restant dû, calculé mois par mois : il baisse lentement au début, puis de plus en plus vite.
Mensualité par la formule
Coût total des intérêts
Capital restant dû après la dernière mensualité (simulation mois par mois)
Rapport de deux parts de capital successives (plus petit / plus grand) / 1 + t
Mois de bascule capital > intérêts (simulé / par la progression)
Somme des parts de capital − K
À retenir. Le tableau d'amortissement cache une progression géométrique : la première part de capital vaut M − tK, et chacune des suivantes est multipliée par 1 + t. C'est pourquoi, sur un long emprunt à taux élevé, on paie pendant des années surtout des intérêts : la part de capital, partie petite, met longtemps à grossir. Le mois de bascule se calcule directement par un logarithme, sans simulation.
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Fini et infini dans les fractales

Une figure peut-elle avoir un périmètre infini et une aire finie ?

Les fractales sont des figures construites en répétant indéfiniment la même transformation. À chaque étape, longueurs et aires sont multipliées par des facteurs fixes : ce sont des progressions géométriques. Selon que la raison est plus grande ou plus petite que 1, la quantité explose ou converge — et une même figure peut faire les deux à la fois. Les longueurs et les aires affichées sont mesurées sur les polygones réellement dessinés, puis comparées aux formules.

Helge von Koch (1904) part d'un triangle équilatéral et, sur chaque côté, remplace le tiers central par deux côtés d'un petit triangle extérieur. Chaque côté devient 4 côtés trois fois plus courts : le périmètre est multiplié par 4/3 à chaque étape (raison > 1, il tend vers l'infini). Mais l'aire ajoutée à l'étape k est multipliée par 4/9 d'une étape à l'autre (raison < 1) : la somme converge, et l'aire totale tend vers 8/5 de celle du triangle de départ.

Le triangle de départ est grisé ; les pointes poussent pendant l'animation. Le cercle pointillé contient toute la figure, à jamais.
Nombre de côtés 3 × 4ⁿ (comptés / formule)
Périmètre mesuré / 3 × (4/3)ⁿ (côté initial 1)
Aire mesurée ÷ aire du triangle / 1 + (3/5)(1 − (4/9)ⁿ)
Distance à la limite 8/5 = 1,6

Wacław Sierpiński (1915) fait l'inverse : il retire le triangle central de chaque triangle. Il en reste 3 deux fois plus petits, donc l'aire est multipliée par 3/4 à chaque étape et tend vers 0. Pourtant le nombre de triangles est multiplié par 3 et la somme de leurs périmètres par 3/2 : elle tend vers l'infini. À la limite, une figure d'aire nulle, mais de longueur de bords infinie.

Les triangles restants en bleu ; les trous retirés à la dernière étape en rouge pâle.
Triangles restants (comptés / 3ⁿ)
Aire restante mesurée / (3/4)ⁿ
Somme des périmètres mesurée / 3 × (3/2)ⁿ
Étapes pour que l'aire passe sous 1 % (comptées / par logarithme)

Comment mesurer une courbe dont la longueur est infinie ? On la recouvre d'un quadrillage de pas ε et l'on compte les cases touchées N(ε). Pour une courbe ordinaire, N double quand ε est divisé par 2 ; pour une surface, il est multiplié par 4. Pour la courbe de Koch, l'autosimilarité impose N(ε) ≈ C · ε−D avec D = log 4 / log 3 ≈ 1,2619 : une dimension fractale, entre la ligne et la surface. En échelle log-log, la pente des points mesure D.

À gauche, la courbe de Koch (étape 7, 16 384 segments) et les cases du quadrillage qu'elle touche. À droite, ln N(ε) contre ln(1/ε) pour ε = 1/4 à 1/256, droite des moindres carrés (bleu) et pente théorique (pointillé rouge).
Cases touchées N(ε)
Pente mesurée (moindres carrés) / log 4 / log 3
Rapport N(ε/2) / N(ε) (ligne : 2, surface : 4, Koch : 2D ≈ 2,40)
Ce qu'il faut voir. Une même construction fait naître deux progressions géométriques de raisons opposées : 4/3 pour le périmètre du flocon, qui explose, et 4/9 pour les aires ajoutées, dont la somme se referme sur 8/5. L'infini et le fini cohabitent dans une figure qui tient dans un cercle. La dimension fractale mesure précisément ce compromis : la courbe de Koch est « plus qu'une ligne, moins qu'une surface ».

Petite histoire des progressions géométriques

vᵉ s. av. J.-C.Zénon d'Élée formule ses paradoxes du mouvement, dont celui d'Achille et la tortue (planche 3).
v. 300 av. J.-C.Euclide, Éléments, livre IX, proposition 35 : la somme d'une progression géométrique, démontrée par une méthode équivalente au décalage (planche 2).
IIIᵉ s. av. J.-C.Archimède calcule l'aire d'un segment de parabole en sommant la progression 1 + 1/4 + 1/16 + … = 4/3.
XIIIᵉ siècleIbn Khallikan rapporte la légende des grains de blé sur l'échiquier.
1614John Napier publie ses logarithmes, nés de la mise en regard d'une progression géométrique et d'une progression arithmétique.
1647Grégoire de Saint-Vincent traite le paradoxe d'Achille comme une somme géométrique qui converge.
1877Charles Renard propose ses séries de nombres normalisés, en progression géométrique, pour standardiser les câbles des ballons militaires.
1904Helge von Koch publie sa courbe continue sans tangente, le futur « flocon ».
1915Wacław Sierpiński décrit son triangle.
1967–1975Benoît Mandelbrot interroge la longueur des côtes de Bretagne puis forge le mot « fractale ».

En résumé

Un facteur constant

Une progression géométrique multiplie toujours par la raison q : uₙ = u₀·qⁿ. En échelle logarithmique ses termes s'alignent, car le logarithme change les multiplications en additions.

Une somme par décalage

S = u₀(1 − qⁿ)/(1 − q). Si q > 1, le dernier terme domine (l'échiquier) ; si |q| < 1, la somme infinie vaut u₀/(1 − q) (Achille, les décimales périodiques).

Partout dans le réel

Elle règle la mensualité de tout emprunt, les nombres normalisés de l'industrie, la gamme musicale, et elle mesure l'infini des fractales : périmètre infini, aire finie, dimension non entière.
Pour aller plus loin

Formulaire. Raison q = uₙ₊₁ / uₙ ; terme général uₙ = uₚ·qn−p ; trois termes consécutifs positifs a, b, c vérifient b² = ac ; somme de termes consécutifs = premier terme × (1 − qnombre de termes) / (1 − q) ; si |q| < 1, somme infinie = premier terme / (1 − q).

Géométrique et exponentielle. Une progression géométrique de raison positive est une fonction exponentielle regardée aux seuls entiers : uₙ = u₀·en ln q. C'est le modèle de toute croissance (ou décroissance) proportionnelle à ce qui existe déjà : populations, intérêts composés, radioactivité, refroidissement.

Moyennes. Pour deux nombres positifs, la moyenne géométrique √(ab) est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique (a + b)/2, avec égalité seulement si a = b. C'est l'inégalité arithmético-géométrique, qui se démontre en une ligne : (√a − √b)² ≥ 0.

Suites arithmético-géométriques. Les suites uₙ₊₁ = a·uₙ + b (un placement avec versements réguliers, le capital restant dû d'un emprunt) se ramènent à une progression géométrique de raison a en soustrayant leur point fixe b/(1 − a).