Arithmétique

Les progressions arithmétiques

Ajouter toujours la même quantité : l'idée la plus simple qui soit, et pourtant elle mène de l'escalier à la somme de Gauss, des nombres figurés à la chute des corps, et jusqu'à l'une des grandes découvertes du XXIᵉ siècle sur les nombres premiers.

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L'idée en une phrase

Une progression arithmétique (on dit aussi suite arithmétique) est une liste de nombres où l'on passe de chacun au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre fixe s'appelle la raison, notée r. Le premier terme se note u₀ (ou u₁ si l'on préfère compter à partir de 1).

u₀,  u₀ + r,  u₀ + 2r,  u₀ + 3r, …    soit   uₙ₊₁ = uₙ + r

Un sauteur qui fait des bonds tous de même longueur sur une droite graduée : ses points d'arrivée forment une progression arithmétique. La raison peut être positive (il avance), négative (il recule) ou décimale.

Exemples de la vie courante : les numéros pairs d'un côté de la rue (2, 4, 6, 8… raison 2), les années bissextiles (2024, 2028, 2032… raison 4), un compte qui reçoit chaque mois le même versement, un loyer qui augmente chaque année du même montant, une bougie qui raccourcit de la même longueur chaque heure.

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L'escalier à pas constant

Comment calculer directement le 30ᵉ terme, sans calculer les 29 premiers ?

Partir de u₀ et ajouter n fois la raison revient à ajouter d'un coup n × r. D'où la formule explicite, qui donne n'importe quel terme directement à partir de son rang :

uₙ = u₀ + n · r

Sur un graphique, les points (n ; uₙ) forment un escalier dont toutes les marches ont la même hauteur r : ils sont alignés sur la droite d'équation y = u₀ + r·x. Une progression arithmétique, c'est une fonction affine que l'on ne regarde qu'aux nombres entiers.

En bleu, les termes ; en rouge, chaque marche de hauteur r ; en vert, le point de départ u₀ ; en gris pointillé, la droite qui porte tous les points. La flèche rouge épaisse montre les n marches franchies d'un coup : n · r.
uₙ par la formule u₀ + n·r
uₙ en ajoutant r une fois par marche
Écart entre les deux calculs
Hauteurs des marches uₖ₊₁ − uₖ (plus petite / plus grande)
Pente de la droite ajustée aux points (moindres carrés)
Sens de variation

Le problème inverse : intercaler des termes

On connaît deux nombres a et b et l'on veut placer entre eux k nombres de sorte que l'ensemble forme une progression arithmétique (on dit « insérer k moyens arithmétiques »). Il y a k + 1 intervalles égaux à couvrir, donc la raison vaut r = (b − a) / (k + 1). Chaque terme est alors exactement la moyenne de ses deux voisins — d'où le nom de suite « arithmétique », la moyenne ordinaire s'appelant moyenne arithmétique.

Les extrémités a et b en vert, les moyens insérés en bleu, chaque bond de longueur r en rouge.
Raison (b − a) / (k + 1)
Dernier terme recalculé a + (k + 1)·r − b
Plus grand écart entre un terme et la moyenne de ses voisins
À retenir. Deux informations suffisent à tout connaître : un terme et la raison. Les termes avancent d'un pas fixe, comme les marches d'un escalier régulier, et le sens de variation se lit sur le seul signe de r. Quand la raison n'est pas « ronde » (une division par k + 1 qui ne tombe pas juste), l'ordinateur arrondit chaque terme et les écarts affichés peuvent ne plus être tout à fait nuls (essayez a = −5, b = 0, k = 5 : 8,9·10⁻¹⁶) : ils restent alors de l'ordre de 10⁻¹⁶, la précision de la machine.
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La somme de Gauss

Comment additionner cent termes sans faire cent additions ?

On écrit la somme deux fois : une fois dans l'ordre, une fois à l'envers. Les termes qui se font face s'additionnent toujours au même total, u₁ + uₙ, car quand l'un monte de r, l'autre descend de r. Deux fois la somme valent donc n fois ce total :

S = u₁ + u₂ + … + uₙ = n × (u₁ + uₙ) / 2

Autrement dit : nombre de termes × moyenne du premier et du dernier. L'animation le montre avec des bâtons : l'escalier bleu, une copie orange rangée à l'envers, retournée puis posée dessus — les deux s'emboîtent en un rectangle parfait.

Bleu : les n termes. Orange : les mêmes termes dans l'ordre inverse. Une fois retournée et glissée, la copie orange comble exactement l'escalier : le rectangle a pour aire n × (u₁ + uₙ), et la somme cherchée en est la moitié.
Somme en additionnant un à un
n × (u₁ + uₙ) / 2
Écart
Total de chaque paire face à face (plus petit / plus grand)
Dernier terme uₙ = u₁ + (n − 1)·r

Il y a 3 600 ans : les cent pains du papyrus Rhind

Le problème 40 du papyrus Rhind (Égypte, vers 1650 av. J.-C.) demande de partager 100 pains entre 5 hommes, les parts formant une progression arithmétique, de sorte que les trois plus grosses parts réunies valent 7 fois les deux plus petites. Avec nos formules : la somme vaut 5 fois le terme du milieu, donc celui-ci fait 20 ; la condition donne ensuite la raison. Changez le facteur 7 pour voir le partage se déformer ; le calcul est mené en fractions exactes.

Les cinq parts (en vert les deux plus petites, en bleu les trois plus grosses), avec leur valeur en fraction exacte.
Plus petite part / raison
Total des 5 parts (en fractions)
3 grosses ÷ 2 petites (en fractions)
À retenir. Dans une progression arithmétique, les termes situés à égale distance des deux bouts ont toujours la même somme. Toute la somme se ramène donc à une seule moyenne : celle des extrêmes, qui est aussi la moyenne de tous les termes. Le papyrus Rhind répond 1⅔, 10⅚, 20, 29⅙, 38⅓ : c'est exactement ce que donne le facteur 7.
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Les nombres figurés

Que dessine la somme d'une progression qui commence par 1 ?

Les pythagoriciens comptaient avec des cailloux. Disposez-les en triangles de plus en plus grands : chaque nouveau bord ajoute 2, puis 3, puis 4 cailloux — la progression 1, 2, 3, 4… de raison 1. En carrés, chaque « équerre » ajoutée (un gnomon) compte 1, 3, 5, 7… cailloux : raison 2. En pentagones, raison 3. Règle générale : pour un polygone à s côtés, les gnomons forment la progression de premier terme 1 et de raison s − 2, et le nombre total de cailloux est la somme de cette progression :

P(s, n) = 1 + (s − 1) + (2s − 3) + … = n · [ (s − 2)·n − (s − 4) ] / 2

Les polygones emboîtés partagent un sommet (en bas). En bleu les cailloux déjà posés, en rouge le dernier gnomon. Les points sont calculés géométriquement puis comptés un par un, les doublons fusionnés.
Cailloux comptés sur la figure
Somme 1 + (s−1) + (2s−3) + …
Formule n[(s−2)n − (s−4)]/2
Dernier gnomon 1 + (s−2)(n−1)
Nombres
À retenir. Additionner une progression arithmétique qui part de 1, c'est fabriquer un nombre polygonal. Avec la raison 2, on obtient la plus célèbre des égalités : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² — la somme des n premiers nombres impairs est un carré. Vérifiez-le avec s = 4 : chaque équerre rouge borde le carré précédent. Cette égalité va réapparaître, de façon inattendue, dans la planche suivante.
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La loi des nombres impairs de Galilée

Une progression arithmétique peut-elle être une loi de la nature ?

Galilée fait rouler une bille sur un plan incliné et mesure les distances parcourues pendant des durées égales. Il découvre (Discours, 1638) qu'elles sont entre elles comme 1, 3, 5, 7… : les nombres impairs, une progression arithmétique de raison 2. La raison profonde : la vitesse augmente de la même quantité à chaque battement (elle forme elle-même une progression arithmétique), donc chaque intervalle est parcouru un peu plus vite que le précédent, d'un supplément constant.

distance pendant le k-ième intervalle : dₖ = (2k − 1) · d₁    distance totale : xₖ = k² · d₁

Et voici la planche 3 qui revient : la somme des premiers impairs est un carré. Les distances cumulées sont donc proportionnelles aux carrés des temps — c'est la loi de la chute des corps. Galilée plaçait sur sa rampe de petites clochettes ; réglées pour sonner à intervalles réguliers, elles se trouvent à des distances proportionnelles à 1, 4, 9, 16…

La rampe et ses clochettes (elles s'allument quand la bille passe). Les distances sont calculées par une intégration pas à pas du mouvement, indépendante de la formule.
À gauche, la distance de chaque intervalle divisée par la première : les impairs. À droite, la distance totale divisée par la première, avec la courbe k² en pointillé.
Accélération le long du plan
Distance du 1ᵉʳ intervalle d₁
Rapports dₖ / d₁ mesurés
Raison des distances dₖ₊₁ − dₖ (mesurée / attendue aτ²)
Vitesses aux battements : raison mesurée / attendue aτ
Plus grand écart entre xₖ / d₁ et k²
À retenir. L'inclinaison, la nature de l'objet et la durée du battement changent d₁, mais jamais les rapports 1 : 3 : 5 : 7… Deux progressions arithmétiques sont emboîtées : les vitesses (raison aτ) et les distances par intervalle (raison aτ²). En les additionnant, on obtient les carrés. C'est en ralentissant la chute grâce au plan incliné que Galilée a pu chronométrer ce que l'œil ne suit pas en chute libre.
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Des nombres premiers alignés

Peut-on trouver des nombres premiers régulièrement espacés, aussi nombreux qu'on veut ?

Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…). Les nombres 3, 5, 7 forment une progression arithmétique de trois premiers ; 5, 11, 17, 23, 29 en forment une de cinq. Jusqu'où peut-on aller ? En 2004, Ben Green et Terence Tao ont démontré qu'il existe des progressions arithmétiques de nombres premiers de n'importe quelle longueur — sans savoir les exhiber. Cette planche les fait chercher, explique pourquoi leur raison est toujours un multiple de 2, 3, 5, 7…, et montre comment les premiers se répartissent dans les progressions infinies.

Choisissez un premier terme a et une raison d. Les cases vertes sont premières ; une case grise est composée et affiche son plus petit diviseur. La chaîne s'arrête au premier terme composé.

Les seize premiers termes a, a + d, a + 2d… La bordure rouge marque la fin de la chaîne de premiers commencée en a.
Longueur de la chaîne de premiers
Premier terme composé
La raison est divisible par…

Les records, cherchés en direct

Pour chaque longueur k, la page cherche la progression de k premiers dont le dernier terme est le plus petit possible (crible d'Ératosthène, puis chaque terme revérifié par divisions successives, méthode indépendante).

Longueur kProgressionRaisonDernier termeRaison ÷ (produit des premiers ≤ k)Revérifié
Appuyez sur le bouton.

Pourquoi 199 + 210k et pas une raison quelconque ? Regardons les termes modulo un premier q, c'est-à-dire leurs restes dans la division par q. À chaque pas, le reste avance de d mod q sur une roue à q positions. Si q ne divise pas d, le reste visite toutes les positions en q pas, donc tombe forcément sur 0 : un terme est divisible par q, donc composé (sauf s'il vaut q lui-même).

À gauche, la roue des restes modulo q (le 0, en rouge, en haut) et les sauts successifs. À droite, les termes et leurs restes ; le premier terme multiple de q est encadré en rouge.
d mod q
Restes distincts visités en q pas (comptés / prévus)
Premier terme divisible par q
Conséquence. Pour aligner k premiers tous plus grands que k, la raison doit être divisible par chaque premier jusqu'à k. Pour k = 10 : 2 × 3 × 5 × 7 = 210 — exactement la raison de 199 + 210k. Les rares exceptions de la table des records (3, 5, 7 ; 5 + 6k ; 7 + 150k) commencent justement par le premier q qui aurait dû diviser la raison : le terme multiple de q, c'est q lui-même, qui est premier.

Une progression infinie a, a + m, a + 2m… contient-elle une infinité de premiers ? Si a et m ont un diviseur commun, non (au plus un). Sinon, oui : c'est le théorème de Dirichlet (1837). Mieux, les premiers se partagent équitablement entre toutes les classes possibles. Les barres comptent les premiers jusqu'à N selon leur reste modulo m.

En bleu, les classes a premières avec m ; en gris, les autres (0 ou 1 premier). Le pointillé rouge marque la part équitable : le nombre de premiers des classes bleues divisé par φ(m), le nombre de ces classes.
π(N) : premiers jusqu'à N / total des barres
φ(m) : classes comptées / formule d'Euler
Plus grand écart relatif à la part équitable
Classe en tête
À observer. En faisant grandir N, l'écart relatif fond : chaque classe autorisée reçoit sa part, 1/φ(m) des premiers. Mais la course n'est pas parfaitement neutre : pour m = 4, la classe 3 reste presque toujours devant la classe 1 — c'est le biais de Tchebychev.

Petite histoire des progressions arithmétiques

v. 1650 av. J.-C.Papyrus Rhind : le scribe Ahmès partage cent pains en progression arithmétique (planche 2).
vᵉ s. av. J.-C.Les pythagoriciens disposent des cailloux en triangles et en carrés : les nombres figurés (planche 3).
499Aryabhata donne, dans l'Aryabhatiya, les règles pour la somme d'une progression arithmétique et pour retrouver le nombre de termes.
1638Galilée publie les Discours sur deux sciences nouvelles : les distances de chute en temps égaux suivent les nombres impairs (planche 4).
vers 1786Selon une anecdote rapportée par son biographe Sartorius von Waltershausen, le jeune Gauss additionne en un instant les nombres de 1 à 100.
1837Dirichlet démontre que toute progression a + m·k avec a et m premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers.
1927Van der Waerden : si l'on colorie les entiers avec un nombre fini de couleurs, une couleur contient des progressions arithmétiques aussi longues qu'on veut.
1975Szemerédi : il suffit même d'une partie « de densité positive » des entiers.
2004Green et Tao : les nombres premiers, pourtant de densité nulle, contiennent des progressions arithmétiques de toute longueur.
2019Record de calcul : une progression de 27 nombres premiers, trouvée par le projet de calcul partagé PrimeGrid.

En résumé

Un pas constant

Une progression arithmétique ajoute toujours la même raison r. Ses termes s'alignent sur une droite, et uₙ = u₀ + n·r donne directement n'importe quel terme.

Une somme qui se replie

En écrivant la somme à l'endroit et à l'envers, on obtient S = n × (premier + dernier) / 2. Partant de 1, ces sommes fabriquent les nombres figurés, et les impairs donnent les carrés — la loi de Galilée.

Un pont vers les grands problèmes

Les nombres premiers se répartissent équitablement dans les progressions (Dirichlet) et contiennent des progressions de toute longueur (Green et Tao), dont la raison est forcément un multiple des petits premiers.
Pour aller plus loin

Formulaire. Raison r = uₙ₊₁ − uₙ ; terme général uₙ = uₚ + (n − p)·r ; trois termes consécutifs a, b, c vérifient 2b = a + c ; somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier + dernier) / 2 ; en particulier 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 et 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².

Progressions arithmétiques et géométriques. Une progression géométrique multiplie toujours par le même nombre au lieu d'ajouter. Le logarithme transforme l'une en l'autre : si les uₙ sont en progression géométrique, les ln uₙ sont en progression arithmétique. C'est le principe des tables de logarithmes de Napier (1614), qui mettaient en regard les deux sortes de progressions.

Progressions d'ordre supérieur. Si les écarts successifs ne sont pas constants mais forment eux-mêmes une progression arithmétique, la suite est un polynôme du second degré en n (les nombres figurés et les distances de Galilée en sont des exemples) : c'est la méthode des différences, utilisée pour calculer les tables numériques jusqu'à la machine de Babbage.

Une conjecture ouverte. Erdős a conjecturé que tout ensemble d'entiers dont la somme des inverses diverge contient des progressions arithmétiques de toute longueur. Les nombres premiers en sont un cas particulier (c'est le théorème de Green et Tao), mais l'énoncé général reste à démontrer ; seul le cas des progressions de longueur 3 a été établi en 2020 par Bloom et Sisask.