Le vote stratégique : quand voter devient un jeu
Additionner des voix semble simple. Pourtant, dès qu'il y a trois candidats, le choix du mode de scrutin peut changer le vainqueur, et les électeurs ont parfois intérêt à ne pas voter pour leur préféré. Au XVIIIe siècle, deux académiciens français, Borda et Condorcet, s'opposent déjà sur la meilleure façon de compter. Au XXe siècle, Kenneth Arrow puis Allan Gibbard et Mark Satterthwaite démontrent qu'aucun mode de scrutin n'est parfait. Cette page part des duels de Condorcet, compare les méthodes, montre le vote utile, énonce les deux grands théorèmes d'impossibilité, et finit par une chasse : trouver, pour chaque mode de scrutin, un électorat où un électeur a intérêt à mentir.
Les mots du scrutin
| Mot | Sens |
|---|---|
| Profil | La liste des classements des électeurs : combien préfèrent A à B à C, combien B à C à A, etc. |
| Vainqueur de Condorcet | Le candidat qui bat chacun des autres en duel à la majorité. Il n'existe pas toujours. |
| Méthode de Borda | Avec m candidats, chaque électeur donne m − 1 points à son premier, m − 2 au deuxième… ; le total le plus élevé gagne. |
| Vote utile | Voter pour un candidat qui n'est pas son préféré mais qui a des chances, pour éviter un candidat qu'on rejette. |
| Manipulable | Un mode de scrutin est manipulable si, pour au moins un profil, un électeur obtient un meilleur résultat en mentant sur son classement. |
Les duels de Condorcet et le paradoxe
Pour Condorcet (1785), un candidat qui bat chacun des autres en duel à la majorité doit être élu. Mais ce vainqueur peut ne pas exister : avec trois électeurs classant A > B > C, B > C > A et C > A > B, A bat B, B bat C… et C bat A. La majorité tourne en rond : c'est le paradoxe de Condorcet. Composez votre électorat en réglant le nombre d'électeurs pour chacun des six classements possibles.
Borda et les autres : un même électorat, plusieurs vainqueurs
Borda (1770) proposait de compter des points : 2 pour le premier, 1 pour le deuxième, 0 pour le troisième. Condorcet lui reprochait de pouvoir élire un candidat battu en duel par un autre. Comparons, sur l'électorat de la planche 1, quatre modes de scrutin : l'uninominal à un tour (le plus de premières places), les deux tours (les deux premiers s'affrontent si personne n'a la majorité absolue), Borda, et Copeland (le plus de duels gagnés, qui élit le vainqueur de Condorcet s'il existe). En cas d'égalité, l'ordre alphabétique départage.
Le vote utile : abandonner son favori
Cent électeurs, trois candidats. 40 préfèrent A > B > C ; 35 préfèrent C > B > A ; 25 préfèrent B > C > A. B est le vainqueur de Condorcet : il bat A (60 contre 40) et C (65 contre 35). Pourtant, à l'uninominal, s'ils votent sincèrement, A l'emporte avec 40 voix. Les partisans de B, qui voient leur candidat troisième dans les sondages, ont intérêt à voter C pour faire battre A. L'animation enchaîne des sondages : à chaque fois, les électeurs dont le favori est troisième se reportent sur celui des deux premiers qu'ils préfèrent.
Le théorème d'Arrow : aucune règle n'est parfaite
En 1951, Kenneth Arrow se demande s'il existe une règle qui transforme les classements des électeurs en un classement collectif respectant quatre exigences de bon sens : le classement collectif est cohérent (transitif) ; si tous préfèrent A à B, la société aussi (unanimité) ; le classement entre A et B ne dépend que de la façon dont chacun classe A et B, et pas d'un troisième candidat (indépendance) ; aucun électeur n'impose toujours son avis (pas de dictateur). Sa réponse, avec trois candidats ou plus : c'est impossible. La page cherche, pour chaque règle, un électorat de trois électeurs qui la prend en défaut.
Gibbard-Satterthwaite : chasser l'électeur qui a intérêt à mentir
Allan Gibbard (1973) et Mark Satterthwaite (1975) prolongent Arrow au vote stratégique : avec au moins trois candidats, tout mode de scrutin qui désigne un vainqueur, où chaque candidat peut gagner et qui n'est pas une dictature, est manipulable. Il existe toujours un électorat où un électeur obtient un meilleur résultat en déposant un classement faux. La page part à la chasse : elle tire des électorats au hasard et essaie, pour chaque électeur, tous les bulletins possibles, jusqu'à trouver une manipulation. Puis elle mesure à quelle fréquence chaque mode de scrutin est manipulable.
Ce qu'il faut retenir
Compter n'est pas neutre
Sur un même électorat, l'uninominal, les deux tours, Borda et Condorcet peuvent désigner des vainqueurs différents. La majorité elle-même peut tourner en rond.
Voter est un jeu
Le vote utile, le report stratégique, la manipulation des classements : les électeurs réagissent aux règles et aux sondages.
Deux impossibilités
Arrow : pas de règle de classement parfaite. Gibbard-Satterthwaite : pas de mode de scrutin raisonnable à l'abri de la manipulation.
Pour aller plus loin
Les conventions de la page. Égalités départagées par l'ordre alphabétique ; électorats tirés au hasard selon la « culture impartiale » (chaque classement équiprobable) ; manipulation par un seul électeur qui dépose n'importe quel classement complet. Probabilité de cycle avec trois électeurs : 12 profils sur 216, soit 5,56 % ; limite pour un grand électorat : 8,77 %.
Références. J.-C. de Borda, « Mémoire sur les élections au scrutin » (1770, publié en 1784) ; Condorcet, Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (1785) ; K. Arrow, Social Choice and Individual Values (1951) ; G.-Th. Guilbaud, « Les théories de l'intérêt général et le problème logique de l'agrégation » (1952) ; M. Duverger, Les Partis politiques (1951) ; A. Gibbard, « Manipulation of voting schemes » (1973) ; M. Satterthwaite, « Strategy-proofness and Arrow's conditions » (1975) ; J. Bartholdi, C. Tovey et M. Trick (1989).
Pages voisines. La conception de mécanismes (faire dire la vérité), les mariages stables, l'histoire de la théorie des jeux.