Théorie des jeux

La valeur de Shapley : partager selon ce que chacun apporte

Trois communes construisent ensemble une station d'épuration ; une compagnie aérienne et un club d'aviation utilisent la même piste ; vingt-sept pays votent ensemble au Conseil de l'Union européenne. Dans chaque cas, il faut décider ce que chacun paie, ou quel pouvoir il détient. En 1953, le mathématicien américain Lloyd Shapley propose une réponse : faire arriver les joueurs dans tous les ordres possibles et donner à chacun, en moyenne, ce que son arrivée ajoute. Il montre que c'est la seule règle qui respecte quatre exigences simples. Cette page partage une facture, calcule la redevance d'une piste d'aéroport, met à l'épreuve les quatre axiomes, mesure le pouvoir dans une assemblée, et finit par le Conseil de l'UE : le pouvoir de chaque pays est-il proportionnel à sa population ?

Vocabulaire

Les mots du partage

Mot	Sens
Jeu coopératif	Une liste qui donne, pour chaque groupe de joueurs (une coalition), ce qu'il peut obtenir ou ce qu'il doit payer s'il agit seul.
Contribution marginale	Ce qu'un joueur ajoute (ou coûte en plus) quand il rejoint un groupe déjà formé.
Valeur de Shapley	La contribution marginale moyenne d'un joueur, sur tous les ordres d'arrivée possibles, tous également probables.
Pivot	Dans un vote, le joueur dont l'arrivée fait passer la coalition de perdante à gagnante.
Indice de Shapley-Shubik	La valeur de Shapley d'un jeu de vote : la proportion des ordres d'arrivée où un joueur est pivot.

Planche 1

Partager une facture : tous les ordres d'arrivée

Trois communes, A, B et C, peuvent construire chacune leur station d'épuration, ou une station commune, moins chère. Le tableau des coûts donne le prix de chaque solution, en millions d'euros. Comment partager les 170 M€ de la station commune ? Shapley imagine que les communes rejoignent le projet l'une après l'autre : chacune paie le surcoût causé par son arrivée. Le résultat dépend de l'ordre ; on fait donc la moyenne sur les six ordres possibles.

Les six ordres d'arrivée. Dans chaque ligne, chaque commune paie le surcoût qu'elle provoque en arrivant ; la ligne totalise toujours le coût de la station commune.

Part de chaque commune : moyenne des surcoûts (valeur de Shapley), comparée au partage en trois parts égales (losange) et au partage proportionnel aux coûts individuels (trait). Le trait gris marque ce que la commune paierait seule.

Exemple

Coût de la solution commune (M€)

Parts de Shapley A / B / C

—

Économie de chacun par rapport à la solution seule

—

Aucune paire ne paie plus qu'en faisant seule

—

Contrôle : les parts totalisent le coût commun

—

Une moyenne de surcoûts. Arriver le premier coûte cher, arriver le dernier coûte peu : aucun ordre n'est juste en lui-même, mais leur moyenne l'est. Dans l'exemple de la station, A paie 36,7 M€ au lieu de 60, B 56,7 au lieu de 80, C 76,7 au lieu de 100 : les 70 M€ d'économie se partagent à égalité (23,3 M€ chacun), car chaque paire économise autant. Le partage égal, 56,7 M€ chacun, laisserait à A une économie de 3,3 M€ seulement et à C une économie de 43,3 M€ ; dans l'exemple du taxi, il ferait payer au passager qui descend le premier autant que s'il avait pris le taxi seul, soit trois fois sa part de Shapley.

Planche 2

La piste d'aéroport : partager par tronçons

Un aéroport doit construire une piste assez longue pour le plus gros avion qui l'utilise. Les petits avions n'ont besoin que du début de la piste, les gros porteurs de toute sa longueur. En 1973, Stephen Littlechild et Guillermo Owen montrent que la valeur de Shapley prend ici une forme très simple : le premier tronçon est partagé à égalité entre tous les atterrissages, le deuxième entre ceux qui en ont besoin, et ainsi de suite. Littlechild et Thompson (1977) l'appliqueront aux redevances de l'aéroport de Birmingham. Réglez le nombre d'atterrissages de chaque type.

La piste découpée en tronçons, avec leur coût en millions d'euros. Chaque tronçon est payé par les atterrissages qui en ont besoin, à parts égales.

Redevance par atterrissage, selon Shapley (barres), comparée au partage proportionnel à la longueur de piste utilisée (trait). Les points donnent la moyenne obtenue en tirant des ordres d'arrivée au hasard.

Petits avions (piste de 20 M€)

Avions régionaux (35 M€)

Moyen-courriers (50 M€)

Gros porteurs (80 M€)

Redevance d'un petit avion / d'un gros porteur

—

Coût total de la piste

—

Ordres tirés au hasard

—

Contrôle : écart maximal entre la formule et la simulation

—

Chacun paie les tronçons qu'il utilise. Dans un ordre d'arrivée, un avion ne paie que si la piste déjà construite est trop courte pour lui. Le premier tronçon est donc payé par le premier arrivé, quel qu'il soit : chacun a la même chance d'être ce premier. Le dernier tronçon n'est payé que par le premier gros porteur arrivé. Résultat : un gros porteur paie bien plus qu'au prorata de sa longueur, un petit avion bien moins, parce que les gros porteurs sont seuls à avoir besoin du bout de la piste.

Planche 3

Les quatre axiomes de Shapley

Shapley ne part pas des ordres d'arrivée : il part de quatre exigences. Efficacité : on partage exactement ce que tous ensemble obtiennent. Symétrie : deux joueurs qui apportent la même chose à toute coalition reçoivent autant. Joueur nul : celui qui n'apporte rien à aucune coalition ne reçoit rien. Additivité : si l'on joue deux jeux, la part dans leur somme est la somme des parts. Il démontre qu'une seule règle les respecte toutes. La preuve découpe chaque jeu en petits jeux où un groupe précis doit être réuni pour créer un gain (les « dividendes »), gain que la symétrie oblige à partager à égalité.

Le jeu choisi, découpé en dividendes : ce que chaque coalition crée en plus de ce que créent ses sous-groupes. Chaque dividende est partagé à égalité entre les membres de la coalition ; la somme donne la valeur de Shapley.

Quatre règles de partage mises à l'épreuve sur des jeux tirés au hasard. Une coche si l'axiome n'est jamais violé, une croix si un contre-exemple est trouvé.

Jeu

Valeur de Shapley A / B / C

—

Jeux tirés pour les tests

—

Règles qui respectent les quatre axiomes

—

Contrôle : somme des dividendes partagés = moyenne sur les six ordres

—

Une seule règle possible. Le partage égal donne quelque chose au joueur nul ; la règle « chacun reçoit ce qu'il ajoute en arrivant le dernier » ne partage pas exactement le total ; le partage proportionnel aux gains individuels n'est pas additif. Chaque règle concurrente abandonne un axiome, et la valeur de Shapley est la seule à les garder tous. Dans le jeu des gants, A obtient les deux tiers : les gants droits sont en surnombre, ce qui donne du pouvoir au seul possesseur d'un gant gauche.

Planche 4

Le pouvoir dans une assemblée : être pivot

En 1954, Shapley et l'économiste Martin Shubik appliquent la valeur au vote. Une coalition qui réunit assez de voix gagne (valeur 1), sinon elle perd (valeur 0). Les membres arrivent dans un ordre au hasard ; celui dont l'arrivée fait franchir le seuil est le pivot. Le pouvoir d'un membre est la part des ordres où il est pivot. Ce pouvoir n'est pas proportionnel au nombre de voix : dans la Communauté économique européenne de 1958, le Luxembourg avait une voix sur dix-sept… et aucun pouvoir.

Un ordre d'arrivée tiré au hasard : les voix s'empilent jusqu'au seuil. Le membre qui le franchit est le pivot. En dessous, le compte des pivots.

Pouvoir de chaque membre (indice de Shapley-Shubik, barres pleines) comparé à sa part des voix (barres claires).

Assemblée

Ordres tirés

—

Pouvoir exact du plus faible

—

Pouvoir exact du plus fort / sa part des voix

—

Contrôle : écart maximal entre fréquence des pivots et indice exact

—

Les voix ne sont pas le pouvoir. Dans la CEE de 1958, les voix des cinq autres pays donnaient toujours un total pair : jamais 11, et la voix luxembourgeoise ne pouvait donc jamais faire passer une coalition de 11 à 12. Dans un parlement à 50, 49 et 1 sièges, le petit parti a autant de pouvoir que le parti de 49 sièges : chacun des deux est indispensable au même titre pour une coalition avec le premier. Au Conseil de sécurité, le veto donne à chaque membre permanent plus de cent fois le pouvoir d'un membre élu.

Signature

Le Conseil de l'UE : pouvoir de vote contre poids démographique

Depuis le traité de Lisbonne, une décision du Conseil de l'Union européenne à la majorité qualifiée exige une double majorité : au moins 55 % des États (15 sur 27) représentant au moins 65 % de la population. Une minorité de blocage doit compter au moins quatre États, faute de quoi la décision passe. La page calcule l'indice de Shapley-Shubik exact des vingt-sept pays, avec les chiffres de population retenus par le Conseil pour 2026, et le compare à leur part de la population. Modifiez les seuils pour voir comment le pouvoir se déplace.

Pour chaque pays, de haut en bas par population décroissante : part de la population de l'UE (barre claire) et pouvoir de vote (barre pleine). Le chiffre à droite est le rapport entre les deux.

Un vote simulé : les pays arrivent dans un ordre au hasard ; les deux jauges (nombre d'États, population) se remplissent. Le pays qui fait franchir les deux seuils est le pivot. En bas, la fréquence des pivots converge vers l'indice exact.

Seuil de population (%)

Seuil d'États (%)

Minorité de blocage d'au moins quatre États

Allemagne : pouvoir / population

—

Malte : pouvoir / population

—

Pays dont le pouvoir dépasse la part de population

—

Contrôle : les pouvoirs totalisent 100 %

—

Les petits pays sont favorisés. Avec la règle en vigueur, les sept pays les plus peuplés ont un pouvoir inférieur à leur poids démographique : l'Allemagne pèse 18,5 % de la population mais n'est pivot que dans 17,5 % des ordres. Tous les autres sont au-dessus : Malte, avec 0,13 % des habitants, détient près de 0,9 % du pouvoir, presque sept fois son poids. La raison est le critère du nombre d'États, où chaque pays compte pour un. Pour qu'un habitant de chaque pays ait la même influence, le statisticien Lionel Penrose (1946) proposait plutôt un pouvoir proportionnel à la racine carrée de la population, une idée reprise en 2004 par des chercheurs polonais sous le nom de « compromis de Jagellon ».

Synthèse

Ce qu'il faut retenir

Une moyenne d'apports

La valeur de Shapley donne à chacun sa contribution marginale moyenne, sur tous les ordres d'arrivée possibles.

Quatre axiomes, une règle

Efficacité, symétrie, joueur nul, additivité : la valeur de Shapley est la seule règle qui les respecte tous.

Partage et pouvoir

La même formule partage des coûts (piste d'aéroport) et mesure le pouvoir de vote (Shapley-Shubik), souvent loin de la proportionnalité.

Pour aller plus loin

Les conventions de la page. Valeur de Shapley calculée exactement par la formule des sous-coalitions. Pour le Conseil de l'UE, populations de la décision du Conseil (UE, Euratom) 2025/2427, applicable au 1^er janvier 2026 (452 162 974 habitants) ; le calcul compte les coalitions par nombre d'États et par population, arrondie à 10 000 habitants près, ce qui modifie les indices de moins de 0,001 point (vérifié par l'énumération des 134 millions de coalitions). Une coalition est gagnante si elle réunit les deux seuils, ou si les pays restants sont trop peu nombreux pour bloquer.

Une autre mesure. L'indice de Banzhaf (1965) compte les coalitions où un pays est décisif, au lieu des ordres d'arrivée. Il donne des résultats voisins et sert souvent dans les débats européens.

Références. L. S. Shapley, « A value for n-person games » (1953) ; L. S. Shapley et M. Shubik, « A method for evaluating the distribution of power in a committee system » (1954) ; S. Littlechild et G. Owen, « A simple expression for the Shapley value in a special case » (1973) ; S. Littlechild et G. Thompson, « Aircraft landing fees: a game theory approach » (1977) ; L. Penrose, « The elementary statistics of majority voting » (1946). Shapley a reçu le prix Nobel d'économie en 2012, avec Alvin Roth.

Pages voisines. Le vote stratégique, les mariages stables (Shapley encore), la conception de mécanismes.