Théorie des jeux

La bataille des couples

Alice et Bruno veulent passer la soirée ensemble. Alice préfère l'opéra, Bruno le football. Chacun choisit sans pouvoir communiquer avec l'autre. Le problème n'est pas la tentation de trahir : c'est un jeu de coordination — le pire des cas est de se retrouver chacun de son côté.

1.La matrice des gains

Chaque case donne le gain d'Alice / le gain de Bruno. Être ensemble à l'opéra vaut 2 pour Alice et 1 pour Bruno ; ensemble au football, c'est l'inverse ; séparés, personne ne gagne rien. Cliquez sur une case pour l'examiner.

	Bruno : opéra	Bruno : football
Alice : opéra	2 / 1	0 / 0
Alice : football	0 / 0	1 / 2

bleu : Alice · rouge : Bruno

2.Les stratégies mixtes

Avec deux équilibres purs, lequel choisir ? Il existe un troisième équilibre, où chacun tire sa décision au hasard. Notons p la probabilité qu'Alice aille à l'opéra, et q celle de Bruno. À l'équilibre mixte, chacun rend l'autre indifférent entre ses deux options :

pour Alice, l'opéra rapporte en moyenne 2q et le football 1 − q ; ces deux gains sont égaux lorsque q = 1⁄3. Pour Bruno, l'opéra rapporte p et le football 2(1 − p) ; ils sont égaux lorsque p = 2⁄3.

p* = 2⁄3 · q* = 1⁄3 · gain espéré = 2⁄3 chacun

Déplacez les curseurs et observez les gains espérés, puis regardez le diagramme des meilleures réponses : les trois équilibres de Nash sont les points où les deux courbes se croisent.

Alice — probabilité d'aller à l'opéra p = 0,50

Bruno — probabilité d'aller à l'opéra q = 0,50

Gain espéré d'Alice

—

Gain espéré de Bruno

—

Probabilité d'être ensemble

—

Paradoxe. À l'équilibre mixte, chacun n'espère que 2⁄3 de point — moins que le gain minimal (1) de n'importe quel équilibre pur. Ils ne se retrouvent ensemble qu'avec une probabilité de 4⁄9. Se coordonner, même sur sa soirée la moins préférée, vaut mieux que jouer au hasard.

3.Simulez mille soirées

Avec les probabilités p et q réglées ci-dessus, simulons 1 000 soirées indépendantes et comptons les issues.