La statistique descriptive : indicateurs et graphiques
Résumer une série de nombres par quelques indicateurs et la montrer par un graphique — sans trahir les données.
L’idée en une phrase. Face à une longue liste de nombres — des salaires, des notes, des tailles —, la statistique descriptive cherche à dire l’essentiel en peu de mots : où se situe le centre, à quel point les valeurs sont dispersées, quelle forme a leur répartition. Elle le fait par des indicateurs (des nombres calculés) et par des graphiques (des dessins). Les deux se complètent : les indicateurs sont précis mais aveugles, les graphiques montrent la forme mais peuvent tromper.
| Famille | Indicateurs | Graphiques | Planche |
|---|---|---|---|
| Position (le centre) | moyenne, médiane, mode | points sur un axe | 1 |
| Dispersion (l’étalement) | étendue, quartiles et écart interquartile, écart-type, écart absolu médian | boîte à moustaches | 2 |
| Forme (la répartition) | asymétrie, nombre de pics | histogramme, courbe des fréquences cumulées | 3 et 4 |
| Variables qualitatives | effectifs, fréquences | diagramme en barres, diagramme circulaire | 4 |
Toutes les séries de cette page sont fictives, fabriquées pour l’exemple ; tous les indicateurs sont recalculés en direct quand on les modifie.
Le centre : moyenne, médiane, mode
Voici les salaires mensuels d’une petite entreprise de 21 personnes. La moyenne est le point d’équilibre : si chaque salaire était un poids posé sur une règle, la règle tiendrait en équilibre sur la moyenne. La médiane coupe la série en deux moitiés de même effectif. Le mode est la valeur (ou la classe) la plus fréquente. Faites glisser le salaire du directeur, à droite, et observez qui bouge.
La dispersion : quartiles, écart-type et boîte à moustaches
Deux classes peuvent avoir la même moyenne et des notes très différentes : il faut mesurer l’étalement. Les quartiles Q₁, Q₂ (la médiane) et Q₃ découpent la série rangée en quatre parts de même effectif ; l’écart interquartile Q₃ − Q₁ contient la moitié centrale. L’écart-type σ est la racine de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. La boîte à moustaches de Tukey (1977) résume tout cela en un dessin : la boîte va de Q₁ à Q₃, les moustaches s’arrêtent à la dernière valeur située à moins de 1,5 écart interquartile de la boîte, et les points au-delà sont signalés comme atypiques.
L’histogramme : la forme d’une distribution, et le piège des classes
Pour voir la forme d’une grande série, on la regroupe en classes et on dessine un rectangle par classe : c’est l’histogramme. Règle d’or : c’est l’aire du rectangle, et non sa hauteur, qui représente l’effectif. Le choix de la largeur des classes change l’allure du dessin : trop larges, elles écrasent les détails ; trop étroites, elles font apparaître du bruit. Ici, 600 tailles d’adultes tirées d’une population fictive dont on connaît la vraie répartition (courbe rouge), avec deux bosses : on peut donc mesurer l’erreur de chaque histogramme.
Bien choisir son graphique
La courbe des fréquences cumulées croissantes indique, pour chaque valeur x, la part des individus dont la valeur est inférieure ou égale à x. On y lit directement la médiane (là où la courbe atteint 50 %) et les quartiles (25 % et 75 %). Quand on ne dispose que des données regroupées en classes, on trace le polygone des fréquences cumulées, et l’on estime la médiane par interpolation linéaire dans sa classe.
Pour une variable qualitative (un parti politique, une couleur préférée), on compare des parts. Le diagramme circulaire les code par des angles, le diagramme en barres par des longueurs alignées sur une même base. Les expériences de Cleveland et McGill (1984) ont montré que l’œil compare beaucoup mieux des longueurs que des angles. Essayez : cliquez sur le secteur qui vous semble le plus grand.
Le chiffre d’affaires d’une entreprise passe de 100 à 105 en un an : +5 %. Selon l’endroit où commence l’axe vertical, la seconde barre peut paraître deux, cinq ou cinquante fois plus haute que la première. Edward Tufte (1983) a défini le facteur de mensonge : la variation montrée par le graphique divisée par la variation réelle des données. Un graphique honnête a un facteur de 1.
Signature — mêmes indicateurs, formes différentes
Un nuage de 142 points, avec ses cinq indicateurs : moyenne et écart-type des abscisses, moyenne et écart-type des ordonnées, coefficient de corrélation. Un algorithme déplace les points un par un, au hasard, pour les rapprocher d’une forme cible, mais refuse tout déplacement qui changerait un seul de ces cinq nombres arrondis au centième. Le nuage devient un cercle, une croix, des lignes, une cible… sans que les indicateurs bougent. C’est l’expérience de Justin Matejka et George Fitzmaurice (2017), héritière du quartet d’Anscombe (1973).
Repères historiques
- 1786William Playfair invente le diagramme en barres et le graphique en courbes ; en 1801, le diagramme circulaire.
- 1835Adolphe Quetelet décrit l’« homme moyen » et popularise la moyenne en sciences sociales.
- 1869Charles Joseph Minard dessine la carte de la campagne de Russie de Napoléon, souvent citée comme le plus beau graphique statistique.
- 1891Karl Pearson introduit le mot « histogramme » ; en 1894, il nomme l’écart-type (standard deviation).
- 1926Herbert Sturges propose sa règle pour le nombre de classes d’un histogramme.
- 1973Francis Anscombe publie quatre séries de mêmes indicateurs et de dessins très différents.
- 1977John Tukey publie Exploratory Data Analysis, avec la boîte à moustaches.
- 1981David Freedman et Persi Diaconis établissent la règle de largeur des classes en n^(−1/3).
- 1983Edward Tufte publie The Visual Display of Quantitative Information et définit le facteur de mensonge.
- 2017Justin Matejka et George Fitzmaurice généralisent l’idée d’Anscombe avec le « Datasaurus ».
Ce qu’il faut retenir
Le centre
La moyenne minimise les écarts au carré et se laisse entraîner par les valeurs extrêmes ; la médiane minimise les écarts absolus et leur résiste.L’étalement
Quartiles et écart interquartile sont robustes ; étendue et écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes. La boîte à moustaches résume en un dessin.La forme
Dans un histogramme, l’aire représente l’effectif ; la largeur des classes se choisit (règle de Freedman-Diaconis). Et toujours : regarder les données avant de les résumer.Pour aller plus loin
Pourquoi la moyenne et la médiane ? La fonction c ↦ Σ(xᵢ − c)² est une parabole de sommet x̄, car sa dérivée −2Σ(xᵢ − c) s’annule pour c = x̄. La fonction c ↦ Σ|xᵢ − c| est affine par morceaux, de pente (nombre de valeurs à gauche de c) − (nombre à droite) : elle est minimale quand ces deux nombres s’équilibrent, c’est-à-dire à la médiane.
La formule de König-Huygens. σ² = (moyenne des carrés) − (carré de la moyenne). Pratique pour le calcul à la main, elle peut perdre beaucoup de précision sur ordinateur quand la moyenne est grande devant l’écart-type ; on lui préfère alors le calcul direct des écarts.
Les règles de largeur des classes. Sturges : 1 + log₂ n classes. Scott : largeur 3,49·σ·n^(−1/3). Freedman-Diaconis : largeur 2·IQ·n^(−1/3), plus robuste car fondée sur l’écart interquartile.