La rationalité limitée : jouer en pensant à moitié aux autres

En 1936, John Maynard Keynes compare la Bourse à un concours de journal où il faut désigner, parmi cent photographies, les visages que les autres trouveront les plus jolis. Le jeu moderne est plus simple : chacun écrit un nombre entre 0 et 100 ; gagne celui qui est le plus proche des 2/3 de la moyenne. Si tous sont rationnels, et le savent, le seul équilibre est que tout le monde écrive 0. Mais en 1995, Rosemarie Nagel trouve une moyenne de 36,73 au premier tour, avec des pics à 33 et à 22. La page simule 67 joueurs, comme dans son expérience, et rejoue quatre tours où chacun prend pour repère la moyenne du tour précédent.

Un joueur de niveau 0 écrit n'importe quoi, en moyenne 50. Un joueur de niveau 1 pense que les autres sont de niveau 0 et écrit 2/3 × 50 ≈ 33. Un joueur de niveau 2 pense que les autres sont de niveau 1 et écrit ≈ 22, et ainsi de suite. Le raisonnement complet élimine d'abord les nombres au-dessus de 66,7 (jamais gagnants), puis ceux au-dessus de 44,4, puis de 29,6… jusqu'à 0. La hiérarchie cognitive de Camerer, Ho et Chong suppose que les niveaux suivent une loi de Poisson de moyenne τ et que chacun croit les autres répartis comme les niveaux inférieurs au sien. Une seule valeur de τ permet alors de prédire la moyenne observée.

Dans le jeu du mille-pattes de Robert Rosenthal (1981), deux joueurs, Rouge et Bleu, se passent tour à tour deux tas d'argent qui doublent à chaque passe. Celui qui « prend » garde le gros tas, l'autre le petit, et le jeu s'arrête. Le raisonnement à rebours est implacable : au dernier coup, Bleu prend ; donc juste avant, Rouge prend ; … donc Rouge prend dès le premier coup, et touche 0,40 $ au lieu des 6,40 $ possibles. En 1992, McKelvey et Palfrey font jouer ce jeu à des étudiants de Caltech et de Pasadena : seuls 7 % des parties s'arrêtent au premier coup.

Un joueur qui hésite entre prendre et passer ne choisit pas toujours la meilleure action, mais il la choisit d'autant plus souvent que l'écart de gain est grand. La réponse logit traduit cela : la probabilité de prendre vaut 1 / (1 + exp(−λ × écart)). Avec λ = 0, on joue à pile ou face ; quand λ grandit, on choisit presque toujours le meilleur. Dans le mille-pattes, chaque joueur sait que les suivants se trompent aussi : on calcule les probabilités en partant de la fin. Ajustons λ aux données de McKelvey et Palfrey.

McKelvey et Palfrey (1995) demandent que les erreurs soient cohérentes : chacun répond de façon logit aux probabilités des autres, qui répondent de façon logit aux siennes. Pour chaque λ, il existe un tel équilibre ; à λ = 0, tout le monde joue au hasard ; quand λ tend vers l'infini, on retrouve un équilibre de Nash. Le jeu de pile ou face de Goeree et Holt (2001) le montre bien : quand on multiplie par quatre le gain du joueur ligne dans une case, Nash prédit qu'il ne change rien à sa propre stratégie (seul l'autre s'adapte). Au laboratoire, il joue « haut » 96 % du temps. L'équilibre quantal suit ce mouvement : il passe par un grand détour avant de rejoindre Nash.