Les paradoxes classiques des probabilités
Monty Hall, les anniversaires, Bertrand : quand l’intuition se trompe, et pourquoi.
Un paradoxe, en probabilités, n’est presque jamais une contradiction de la théorie. C’est un résultat juste qui heurte l’intuition. Chacun des trois grands paradoxes de cette page a sa propre cause, et c’est cette cause qu’il faut apprendre à reconnaître.
| Paradoxe | Réponse intuitive | Bonne réponse | Ce que l’intuition oublie |
|---|---|---|---|
| Monty Hall (1975) | changer ne sert à rien : 1/2 | changer gagne 2/3 | l’animateur choisit la porte qu’il ouvre en sachant où est la voiture : son geste est une information |
| Les anniversaires (1939) | il faut 183 personnes | 23 suffisent | on compte les paires de personnes, et leur nombre croît comme le carré de l’effectif |
| Les coffrets de Bertrand (1889) | 1/2 | 2/3 | une pièce d’or tirée au hasard vient plus souvent du coffret qui en contient deux |
| Les cordes de Bertrand (1889) | une seule réponse | 1/3, 1/2 ou 1/4 | « au hasard » n’a pas de sens tant que le procédé de tirage n’est pas précisé |
Les trois premiers se règlent par le calcul de la probabilité conditionnelle et le dénombrement ; le dernier, choisi comme signature, oblige à se demander ce que veut dire « choisir au hasard ».
Monty Hall : jouez, puis comptez les neuf cas
Une voiture est cachée derrière l’une des trois portes, une chèvre derrière chacune des deux autres. Vous choisissez une porte. L’animateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une autre porte, toujours sur une chèvre, et vous demande : gardez-vous votre porte ou changez-vous pour la dernière ? Jouez une dizaine de parties de chaque façon, puis regardez le tableau des neuf situations possibles.
Et si l’animateur avait une porte préférée ?
Le calcul de la planche 1 donne la probabilité de gagner en moyenne sur toutes les parties. Mais vous, vous avez vu une porte précise s’ouvrir. Supposons que vous ayez choisi la porte 1. Quand la voiture est derrière la porte 1, l’animateur peut ouvrir la 2 ou la 3 ; disons qu’il ouvre la 3 avec la probabilité q (une manie, une habitude). Que vaut le changement sachant qu’il a ouvert la porte 3 ? C’est la question posée en 1991 par Morgan, Chaganty, Dahiya et Doviak.
Le paradoxe des anniversaires
Combien faut-il réunir de personnes pour avoir plus d’une chance sur deux que deux d’entre elles aient le même anniversaire ? On pense souvent à 183, la moitié de 365. La réponse est 23. L’intuition se trompe de question : elle pense à « quelqu’un a le même anniversaire que moi », alors qu’on demande « deux personnes quelconques ont le même anniversaire ». Avec 23 personnes, il y a 253 paires possibles, et chacune est une occasion de coïncidence.
Les trois coffrets de Bertrand
Joseph Bertrand propose cette énigme en 1889. Trois coffrets ont chacun deux tiroirs ; chaque tiroir contient une pièce. Le premier coffret contient deux pièces d’or, le deuxième deux pièces d’argent, le troisième une pièce d’or et une d’argent. On prend un coffret au hasard, on ouvre un tiroir au hasard : la pièce est en or. Quelle est la probabilité que l’autre tiroir de ce coffret contienne aussi de l’or ? « Il reste deux coffrets possibles, donc 1/2 », dit l’intuition. La bonne réponse est 2/3.
Signature — une corde « au hasard » : trois réponses justes
Dans le même livre, Bertrand pose une question d’apparence innocente : on trace une corde « au hasard » dans un cercle ; quelle est la probabilité qu’elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Il donne trois raisonnements, tous corrects, qui aboutissent à 1/3, 1/2 et 1/4. Il n’y a pas d’erreur de calcul : il y a trois façons différentes de « choisir une corde au hasard », donc trois lois différentes. La question, telle qu’elle est posée, n’a pas de réponse unique.
En 1973, le physicien Edwin Jaynes propose de trancher en exigeant que la réponse ne dépende ni de la taille du cercle, ni de sa position : jetez des pailles sur un plancher où sont dessinés des cercles, et regardez les cordes qu’elles y découpent. Une paille qui tombe « au hasard » sur le plancher ne sait rien des cercles. Les cordes obtenues suivent alors, dans chaque cercle, la loi du deuxième procédé : 1/2.
Repères historiques
- 1889Joseph Bertrand publie son Calcul des probabilités, avec le paradoxe des coffrets et celui des cordes, pour mettre en garde contre l’expression « au hasard » appliquée à une infinité de cas.
- 1939Richard von Mises étudie le problème des anniversaires ; la question circulait déjà entre mathématiciens, et l’on en attribue parfois l’idée à Harold Davenport.
- 1959Martin Gardner publie dans Scientific American le problème des trois prisonniers, qui a la structure exacte de Monty Hall.
- 1973Edwin Jaynes, dans « The Well-Posed Problem », résout le paradoxe des cordes par un argument d’invariance et le vérifie expérimentalement en lançant des pailles.
- 1975Steve Selvin pose le problème de Monty Hall, du nom de l’animateur du jeu télévisé Let’s Make a Deal, dans The American Statistician.
- 1990Marilyn vos Savant répond « il faut changer » dans le magazine Parade ; des milliers de lecteurs, dont des docteurs en mathématiques, lui écrivent qu’elle se trompe. On rapporte que Paul Erdős lui-même ne fut convaincu que par une simulation.
- 1991Morgan, Chaganty, Dahiya et Doviak montrent dans The American Statistician que la réponse conditionnelle dépend des préférences de l’animateur : 1/(1 + q).
Ce qu’il faut retenir
L’information a une origine
Monty Hall et les coffrets : on conditionne sur ce qu’on a observé, et sur la façon dont cette observation a été produite. Un geste fait en connaissance de cause n’est pas un tirage au hasard.Compter les bonnes choses
Les anniversaires : la coïncidence se joue entre paires, dont le nombre croît comme n². Les seuils de coïncidence varient comme la racine du nombre de possibilités.« Au hasard » ne suffit pas
Les cordes : sur une infinité de cas, il faut préciser la loi. Des procédés tous raisonnables donnent des réponses différentes, et toutes justes.Pour aller plus loin
Monty Hall par la formule de Bayes. Vous choisissez la porte 1, l’animateur ouvre la porte 3. Avec Vᵢ = « la voiture est derrière i » et O₃ = « il ouvre la 3 » : P(O₃ | V₁) = q, P(O₃ | V₂) = 1, P(O₃ | V₃) = 0. Donc P(V₂ | O₃) = (1/3·1) / (1/3·q + 1/3·1) = 1/(1 + q).
Anniversaires : l’approximation. La probabilité de n’avoir aucune coïncidence vaut Π(1 − k/d) pour k de 1 à n − 1. Comme ln(1 − x) ≈ −x pour x petit, ce produit vaut à peu près e^(−n(n−1)/2d), et il passe sous 1/2 quand n ≈ √(2 d ln 2) ≈ 1,177·√d. Les naissances réelles ne sont pas uniformes sur l’année, ce qui rend les coïncidences légèrement plus probables encore.
Les cordes et la longueur. Avec un rayon de 1, la corde à distance d du centre a pour longueur 2√(1 − d²). Les trois procédés donnent pour d trois lois : densité 2/(π√(1 − d²)) pour les extrémités au hasard (d est le cosinus de la moitié de l’angle au centre, uniforme), densité 1 (loi uniforme) pour le rayon, densité 2d pour le milieu. Les densités des longueurs affichées en planche 5 s’en déduisent par changement de variable.