Lois jointes, lois marginales et changement de variable
Décrire plusieurs hasards à la fois, puis transformer un hasard en un autre.
Une expérience produit souvent plusieurs nombres à la fois : la taille et le poids d’une personne, le minimum et le maximum de deux dés, la position d’une fléchette sur une cible. Pour décrire un tel couple (X, Y), il ne suffit pas de connaître chaque variable séparément : il faut leur loi jointe, qui dit comment elles se répartissent ensemble. Les lois séparées s’en déduisent : ce sont les lois marginales, nommées ainsi parce qu’on les écrivait autrefois dans les marges du tableau. Enfin, quand on transforme une variable — on l’élève au carré, on passe en coordonnées polaires —, la loi se transforme selon une règle précise : le changement de variable.
| Notion | Cas discret | Cas à densité |
|---|---|---|
| Loi jointe | p(x, y) = P(X = x et Y = y) | f(x, y), avec P((X, Y) ∈ D) = ∬_D f(x, y) dx dy |
| Loi marginale de X | P(X = x) = Σ_y p(x, y) : somme d’une ligne | f_X(x) = ∫ f(x, y) dy : aire d’une tranche |
| Loi conditionnelle | P(Y = y | X = x) = p(x, y) / P(X = x) | f(y | x) = f(x, y) / f_X(x) |
| Indépendance | p(x, y) = P(X = x)·P(Y = y) partout | f(x, y) = f_X(x)·f_Y(y) partout |
| Changement de variable | on regroupe les valeurs qui ont la même image | f_Y(y) = f_X(x) / |g′(x)| en dimension 1, et f divisée par |jacobien| en dimension 2 |
Le tableau de la loi jointe et ses marges
On lance deux dés et l’on observe deux nombres à la fois, par exemple le plus petit et le plus grand. Le tableau de la loi jointe donne, pour chaque couple de valeurs, sa probabilité, comptée sur les 36 issues également probables. En additionnant une colonne, on obtient la probabilité de chaque valeur de X : c’est la loi marginale de X, inscrite dans la marge du haut. En additionnant une ligne, on obtient celle de Y, dans la marge de droite.
La densité jointe : une surface, et des tranches
Quand X et Y prennent des valeurs continues, la loi jointe est une densité f(x, y), qu’on peut imaginer comme un relief posé sur le plan : la probabilité qu’un point (X, Y) tombe dans une région est le volume sous ce relief. Pour obtenir la densité marginale de X en x, on coupe le relief par le plan vertical d’abscisse x et l’on mesure l’aire de la tranche : f_X(x) = ∫ f(x, y) dy.
Les mêmes marges, des lois jointes différentes
Deux couples peuvent avoir exactement les mêmes lois marginales et des comportements communs complètement différents. Dans les deux exemples ci-dessous, X et Y suivent chacune la loi normale centrée réduite — leurs histogrammes ne bougent pas — et pourtant la façon dont elles varient ensemble change du tout au tout.
Changer de variable : la densité suit l’étirement
Soit Y = g(X), avec g croissante. Chaque petit intervalle autour de x est envoyé sur un petit intervalle autour de y = g(x), et il emporte avec lui sa probabilité. Mais sa longueur est multipliée par g′(x). La probabilité étant conservée, la densité est divisée d’autant : f_Y(y) = f_X(x) / |g′(x)|. Là où g étire, la densité de Y s’aplatit ; là où g comprime, elle s’entasse. Si plusieurs x ont la même image, on additionne leurs contributions.
Signature — en dimension 2, le jacobien mesure la déformation des aires
En dimension 2, une transformation T envoie un petit carré sur un petit parallélogramme ; le rapport de leurs aires est la valeur absolue du jacobien, le déterminant de la matrice des dérivées partielles. La probabilité du petit carré est conservée, donc la densité est divisée par |jacobien|. Deux applications classiques : fabriquer des nombres normaux à partir de nombres uniformes, et trouver la loi d’une somme ou d’un rapport.
Partons de (U₁, U₂) uniforme sur le carré unité, posons R = √(−2 ln U₁), Θ = 2πU₂, puis X = R cos Θ et Y = R sin Θ. Le carré est découpé en cent cases de même probabilité 1/100 ; la transformation les déforme progressivement en anneaux et en secteurs. Les cases proches de U₁ = 1 se tassent au centre, celles proches de U₁ = 0 sont projetées très loin : leur aire grandit, leur densité baisse, et la densité de (X, Y) devient exactement la cloche normale à deux dimensions.
Pour la loi de U = X + Y, on change de variables (x, y) → (u = x + y, v = y), de jacobien 1, puis on intègre v : f_U(u) = ∫ f(u − v, v) dv. Géométriquement, f_U(u) est l’intégrale de la densité jointe le long de la droite x + y = u. Pour un rapport U = X/Y, la droite devient x = u·y et le jacobien vaut |v| : f_U(u) = ∫ |v| f(uv, v) dv.
Repères historiques
- 1809Carl Friedrich Gauss étudie la loi des erreurs de mesure ; les erreurs simultanées sur plusieurs grandeurs conduisent aux premières lois normales à plusieurs dimensions.
- 1841Carl Gustav Jacobi publie son mémoire sur les déterminants fonctionnels, qui portent depuis son nom et servent au changement de variables dans les intégrales multiples.
- 1886–1888Francis Galton étudie les tailles des parents et des enfants, découvre la régression vers la moyenne et la forme elliptique des nuages de points ; Karl Pearson formalise ensuite la corrélation (1895).
- 1933Andreï Kolmogorov définit les lois de vecteurs aléatoires dans le cadre de la théorie de la mesure.
- 1958George Box et Mervin Muller publient leur méthode pour engendrer des nombres normaux à partir de nombres uniformes.
- 1959Abe Sklar démontre que toute loi jointe se décompose en ses marges et une copule, qui décrit seule la dépendance.
Ce qu’il faut retenir
Des marges vers le centre, jamais l’inverse
Les marges se lisent sur la loi jointe, en sommant ou en intégrant ; mais des marges identiques peuvent cacher des lois jointes très différentes. Seule l’indépendance permet de reconstruire la jointe par produit.La probabilité se conserve
Dans un changement de variable, chaque morceau emporte sa probabilité. La densité se divise par le facteur d’étirement : |g′(x)| en dimension 1, |jacobien| en dimension 2.Sommes, rapports, simulation
La loi d’une somme est une intégrale le long des droites x + y = u (une convolution) ; celle d’un rapport, le long de droites passant par l’origine, avec un jacobien. Box–Muller fabrique la loi normale par un simple changement de variables.Pour aller plus loin
La formule générale. Si T est une bijection dérivable de l’ouvert A sur l’ouvert B et (X, Y) a la densité f sur A, alors T(X, Y) a la densité f(T⁻¹(u, v))·|det D(T⁻¹)(u, v)| sur B. On utilise souvent la forme équivalente : densité d’arrivée = densité de départ / |det DT|, évaluée au point de départ.
Lois conditionnelles et régression. Pour la loi normale bivariée de corrélation ρ, la loi de Y sachant X = x est normale de moyenne ρx et de variance 1 − ρ² : la droite y = ρx est la droite de régression de Galton, plus plate que la diagonale.
Convolution. La densité de X + Y pour X et Y indépendantes est le produit de convolution f_X ∗ f_Y. La somme de deux exponentielles de paramètre 1 suit la loi gamma de densité u·e⁻ᵘ ; la somme de deux normales centrées réduites est normale de variance 2.