Le poker de Kuhn : bluffer juste, au tiers près
En 1950, le mathématicien Harold Kuhn réduit le poker à l'os : trois cartes, deux joueurs, une seule mise possible. Le jeu reste assez riche pour exiger le bluff, et assez petit pour être résolu exactement. On y voit comment bluffer « juste ce qu'il faut », pourquoi il faut parfois cacher une main forte, et comment une machine découvre seule ces règles en ruminant ses regrets.
Les règles en quatre lignes
Le paquet contient trois cartes : Valet < Dame < Roi. Chaque joueur met 1 jeton au pot et reçoit une carte qu'il est seul à voir ; la troisième reste cachée.
| Situation | Choix possibles | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| Le joueur 1 parle | Parole (ne pas miser) ou Miser 1 jeton | — |
| Après « Parole » | Le joueur 2 dit Parole ou Mise 1 jeton | Parole – parole : on compare les cartes, la plus haute gagne le pot (gain ±1). |
| Après une mise | L'autre Suit (met 1 jeton) ou Se couche | Suivre : on compare, gain ±2. Se coucher : celui qui a misé gagne 1 sans montrer sa carte. |
Notations de la page : pour le joueur 1, la probabilité de miser d'emblée avec chaque carte, puis celle de suivre si le joueur 2 mise après sa parole ; pour le joueur 2, la probabilité de miser après une parole, puis celle de suivre une mise. Au total, chaque joueur a six décisions — trois cartes et deux situations — appelées ses ensembles d'information : ce qu'il sait au moment de choisir.
Jouer contre une machine qui joue parfaitement
La machine applique une stratégie d'équilibre, calculée aux planches suivantes. Elle ne cherche pas à lire votre jeu : elle se contente d'être impossible à exploiter. Choisissez votre place et jouez quelques dizaines de donnes. Le joueur 1, qui doit parler le premier, est désavantagé : même en jouant parfaitement, il perd en moyenne 1/18 de jeton par donne.
L'arbre du jeu, et sa solution exacte
Le hasard distribue d'abord l'une des six donnes possibles (Valet-Dame, Valet-Roi, …), puis les joueurs parlent tour à tour. Chaque joueur ne voit que sa carte : le joueur 1 qui tient le Valet ne sait pas s'il est dans la donne Valet-Dame ou Valet-Roi. Ces nœuds qu'il ne peut pas distinguer forment un ensemble d'information, relié par un pointillé : il doit y jouer de la même façon. Une stratégie pure fixe un choix dans chacun de ses 6 ensembles : 2⁶ = 64 stratégies pures par joueur. Le jeu devient alors un tableau 64 × 64, que l'on résout par programmation linéaire (méthode du simplexe).
Le bluff et la sous-enchère : pourquoi « un tiers » et « trois fois plus »
Deux comportements surprennent dans la solution. Le bluff : miser avec le Valet, la plus mauvaise carte, pour faire coucher la Dame adverse. La sous-enchère (ou « jouer lentement ») : ne pas miser avec le Roi, la meilleure carte, pour laisser l'adversaire bluffer et le punir ensuite. La carte ci-dessous montre, pour chaque couple (fréquence de bluff au Valet, fréquence de mise au Roi), ce que le joueur 1 est sûr de gagner face à un adversaire qui connaîtrait sa stratégie et y répondrait au mieux. Déplacez le point.
Exploiter un adversaire, ou se protéger de tous
Face à un adversaire réel, qui a ses manies, on peut faire mieux que l'équilibre : calculer la meilleure réponse à ses manies. Mais une meilleure réponse est une stratégie pure, prévisible, qu'un adversaire attentif pourrait à son tour exploiter. Ici vous êtes le joueur 1, contre un joueur 2 au profil choisi. Deux joueurs 1 s'affrontent sur les mêmes donnes : l'un joue l'équilibre (α = 1/6), l'autre la meilleure réponse au profil.
Une machine qui apprend seule à bluffer : la minimisation du regret
Personne n'explique les règles du bluff à cette machine. Elle joue contre elle-même et, après chaque partie, se pose une seule question dans chacune de ses 12 situations : « combien aurais-je gagné de plus si j'avais toujours pris l'autre décision ? » Cette différence s'appelle le regret. La règle d'apprentissage est simple : jouer chaque action proportionnellement à son regret positif accumulé. C'est l'algorithme CFR (minimisation du regret contrefactuel) de Zinkevich, Johanson, Bowling et Piccione (2007). La stratégie du moment oscille sans cesse ; mais sa moyenne au fil des parties converge vers un équilibre de Nash.
Ce qu'il faut retenir
Le bluff est mathématique
Avec le Valet, miser une fois sur trois quand on mise le Roi à coup sûr : ni plus ni moins. L'adversaire devient incapable de savoir s'il doit suivre — et c'est précisément le but.
Cacher sa force
Le Roi ne mise pas toujours : en parlant, il laisse l'adversaire bluffer et le punit. Être imprévisible avec ses bonnes mains protège aussi ses mauvaises.
Apprendre par le regret
Sans rien savoir du poker, une machine qui compte ses regrets converge vers l'équilibre. C'est la méthode qui a fait battre les meilleurs joueurs humains.
Pour aller plus loin
Les valeurs exactes. La valeur du jeu est −1/18 pour le joueur 1. Pour α entre 0 et 1/3, la stratégie (Valet : miser α, suivre 0 ; Dame : miser 0, suivre α + 1/3 ; Roi : miser 3α, suivre 1) est optimale pour le joueur 1 ; pour le joueur 2, la stratégie (Valet : miser 1/3 après parole, se coucher sur mise ; Dame : parole, suivre 1/3 ; Roi : toujours miser et suivre) est l'unique optimale. La page vérifie ces résultats de trois façons indépendantes : par le calcul exact des meilleures réponses (planches 2 à 4), par le simplexe sur la forme normale 64 × 64 (planche 2) et par l'apprentissage (planche 5).
Références. H. W. Kuhn, « A simplified two-person poker », Contributions to the Theory of Games I (1950) ; J. von Neumann et O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (1944), chapitre sur le poker ; M. Zinkevich, M. Johanson, M. Bowling, C. Piccione, « Regret minimization in games with incomplete information » (2007) ; M. Bowling et coll., « Heads-up limit hold'em poker is solved », Science (2015) ; N. Brown et T. Sandholm, Science (2018 et 2019).
Pages voisines. Calculer les équilibres de Nash d'un jeu 3 × 3 ; pierre-papier-ciseaux et le minimax ; le jeu de bridge et les ensembles d'information ; l'histoire de la théorie des jeux (le bluff chez von Neumann).