Probabilités

Le mouvement brownien et ses applications

D’une poussière qui tremble sous le microscope à la preuve des atomes, au prix des options et à une courbe fractale dont la frontière a pour dimension 4/3.

L’idée en une phrase. En 1827, le botaniste Robert Brown observe au microscope que de minuscules particules issues de grains de pollen, en suspension dans l’eau, s’agitent sans fin et sans raison apparente. Ce tremblement est dû aux chocs incessants des molécules d’eau, trop petites pour être vues : chaque choc est minuscule, mais leur somme au hasard produit un mouvement visible.

Les mathématiciens en ont tiré un objet idéal, le mouvement brownien (ou processus de Wiener) B(t) : une courbe aléatoire continue, partant de 0, dont les accroissements sur des intervalles disjoints sont indépendants, et dont l’accroissement B(t + s) − B(t) suit la loi normale de moyenne 0 et de variance s. C’est la limite des marches aléatoires quand on raccourcit les pas.

Propriété	Ce qu’elle dit	Planche
Diffusion	Le carré moyen du déplacement croît comme le temps : ⟨r²⟩ = 2dDt en dimension d (Einstein, 1905).	1
Irrégularité	La courbe est continue mais n’a de tangente nulle part ; sa longueur est infinie, sa « variation quadratique » vaut exactement t.	2
Lois exactes	Le maximum, le dernier zéro, le temps passé au-dessus de 0 ont des lois connues exactement.	3
Applications	Mesure du nombre d’Avogadro, prix des options, équation de la chaleur.	4
Géométrie fractale	Dans le plan, la frontière de la trajectoire a pour dimension 4/3.	5

Le grain et les molécules : Einstein et Langevin

En haut, un gros grain (orange) au milieu de molécules beaucoup plus légères qui filent en ligne droite et rebondissent sur lui. Chaque choc le pousse un peu, au hasard : sa trajectoire (trait orange) devient brownienne. Einstein (1905) a montré que le carré moyen du déplacement croît alors proportionnellement au temps. Langevin (1908) a précisé ce qui se passe aux temps très courts : le grain a une inertie, il file d’abord en ligne droite pendant un temps τ = m/γ (masse divisée par le frottement), puis « oublie » sa vitesse et diffuse.

Simulation mécanique : 600 molécules et un grain 40 fois plus lourd ; les chocs sont élastiques.

Carré moyen du déplacement de 1 000 grains de Langevin, en échelles logarithmiques : mesuré (points orange) et formule exacte de Langevin (bleu). Pointillés : pente 2 (mouvement balistique, en ligne droite) et pente 1 (diffusion d’Einstein).

Temps d’oubli de la vitesse τ = m/γ

Coefficient de diffusion D = kT/γ—

Carré moyen du déplacement à t = 100 τ : mesuré et exact—

Pente aux temps courts (t ≪ τ)—

Pente aux temps longs (t ≫ τ)—

Aux temps courts, le grain se déplace en ligne droite : la distance parcourue est proportionnelle au temps, et son carré à t² (pente 2). Aux temps longs, les chocs ont effacé la mémoire de la vitesse : on retrouve la loi d’Einstein, ⟨r²⟩ = 4Dt en dimension 2 (pente 1). Pour un vrai grain de pollen dans l’eau, τ est de l’ordre de la microseconde : au microscope, on ne voit que la diffusion. C’est pourquoi la « vitesse » d’un grain brownien n’a pas de sens mesurable — plus on observe souvent, plus elle paraît grande.

Construire la courbe : la méthode de Paul Lévy

Comment dessiner un mouvement brownien sur [0 ; 1] ? On tire d’abord B(1) selon la loi normale. Puis, à chaque étape, on place le milieu de chaque segment : au milieu, plus un écart normal dont la variance est divisée par deux à chaque génération. Cette construction (Lévy, 1939) donne exactement la bonne loi à chaque étape, et la courbe limite est continue. Mais plus on raffine, plus elle se hérisse : sa longueur explose, alors que la somme des carrés de ses accroissements, la variation quadratique, se fixe sur 1.

La courbe à l’étape k, avec 2ᵏ segments (bleu) ; en gris, l’étape précédente. Les points orange sont les milieux qui viennent d’être ajoutés.

Selon le nombre de segments N (échelle logarithmique) : longueur verticale Σ|ΔB| (rouge, échelle de droite) et variation quadratique Σ(ΔB)² (bleu, échelle de gauche).

Étape k et nombre de segments—

Variation quadratique Σ(ΔB)²—

Longueur verticale Σ|ΔB| : mesurée et √(2N/π)—

Contrôle de la loi : écarts ajoutés à la dernière étape—

Un accroissement sur un intervalle de durée h est de l’ordre de √h, bien plus grand que h quand h est petit : le rapport ΔB/h, qui devrait donner la pente, explose comme 1/√h. La courbe n’a donc de tangente nulle part. En revanche, les carrés (ΔB)² sont de l’ordre de h, et leur somme sur [0 ; 1] tend vers 1 : c’est la règle « (dB)² = dt » sur laquelle repose tout le calcul stochastique d’Itô.

Trois lois exactes : le maximum, le dernier zéro, le temps passé en haut

Le mouvement brownien a beau être imprévisible, certaines de ses caractéristiques ont une loi connue exactement. Le principe de réflexion (comme pour les marches aléatoires) donne la loi du maximum M sur [0 ; 1] : P(M ≥ a) = 2·P(B(1) ≥ a). Paul Lévy a découvert que la date du dernier passage en 0 avant l’instant 1, et la proportion du temps passée au-dessus de 0, suivent toutes deux la loi de l’arc sinus : P(≤ x) = (2/π)·arcsin √x. La page simule 6 000 trajectoires de 1 000 pas et compare.

Quelques trajectoires : le maximum (point rouge) et le dernier zéro (trait vert) de chacune.

Histogrammes des trajectoires simulées (orange) et densités exactes (bleu) : à gauche le maximum, au milieu le dernier zéro, à droite la proportion du temps passée au-dessus de 0.

Niveau a

P(M ≥ a) : simulée et 2(1 − Φ(a))—

Maximum moyen : simulé, exact √(2/π), exact corrigé du pas—

Dernier zéro avant 0,1 : simulé et (2/π)·arcsin √0,1—

Moins de 10 % du temps au-dessus de 0—

La loi de l’arc sinus heurte l’intuition : on s’attendrait à ce qu’une partie équitable passe environ la moitié du temps de chaque côté. C’est au contraire le cas le moins probable : dans deux cas sur cinq (41 %), la courbe passe plus de 90 % du temps du même côté. La simulation montre aussi un détail fin : avec des pas de durée 1/1 000, le maximum observé est un peu trop petit, car le vrai maximum tombe souvent entre deux pas. La correction exacte vaut 0,5826·√(pas) (Asmussen, Glynn et Pitman, 1995), et elle referme l’écart.

Applications : compter les atomes, fixer le prix des options, propager la chaleur

Einstein relie le coefficient de diffusion D d’un grain sphérique de rayon a dans un liquide de viscosité η au nombre d’Avogadro Nₐ : D = RT/(6πηa·Nₐ). En mesurant au microscope les déplacements de grains toutes les 30 secondes, Jean Perrin (1908-1909) en déduisit Nₐ, et convainquit les derniers sceptiques de l’existence des atomes. Refaisons l’expérience : grains de rayon 0,5 µm dans l’eau à 20 °C (η = 1,002 mPa·s).

À gauche : positions pointées toutes les 30 s pour trois grains, reliées par des segments, comme sur les dessins de Perrin (quadrillage de 10 µm). À droite : histogramme des déplacements horizontaux pointés (orange) et loi normale de variance 2D·30 s prévue (bleu).

Nombre de déplacements mesurés

D mesuré par ⟨Δx² + Δy²⟩/(4·30 s)—

Nₐ déduit des mesures—

Précision relative attendue 1/√(nombre de mesures)—

Louis Bachelier (1900) modélise les cours de Bourse par un mouvement brownien. Black, Scholes et Merton (1973) utilisent sa version « géométrique » : S(t) = S₀·exp(σB(t) − σ²t/2), dont les rendements relatifs sont browniens. Le prix d’une option d’achat (le droit d’acheter l’action au prix K dans un an) est la moyenne de (S(1) − K)⁺ ; ici le taux d’intérêt est pris nul pour simplifier. La page compare la formule de Black-Scholes, la moyenne sur des trajectoires simulées et le modèle d’origine de Bachelier.

À gauche : 40 évolutions possibles du cours sur un an (S₀ = 100) et le prix d’exercice K (rouge). À droite : loi du cours dans un an, simulée (orange) et log-normale exacte (bleu).

Volatilité σ Prix d’exercice K

Prix de Black-Scholes—

Moyenne sur les trajectoires simulées—

Modèle de Bachelier (même volatilité au départ)—

Lâchons 4 000 particules browniennes réparties au départ uniformément sur [−1 ; 1]. Leur densité u(x, t) obéit à l’équation de la chaleur ∂u/∂t = ½·∂²u/∂x² : c’est l’autre découverte d’Einstein, qui relie le hasard microscopique à une équation déterministe. La page compare trois calculs indépendants : l’histogramme des particules, la solution exacte (avec la fonction Φ) et une résolution numérique de l’équation par différences finies.

Histogramme des particules (orange), solution exacte (bleu) et différences finies (pointillé vert) ; en gris, la densité de départ.

Temps t—

Écart maximal différences finies − exacte—

Variance des positions : mesurée et 1/3 + t—

Trois mondes, un même objet. Avec quelques dizaines de déplacements mesurés, on obtient déjà le nombre d’Avogadro à 20 % près, comme Perrin, à qui ces mesures valurent le prix Nobel de physique en 1926 ; la précision s’améliore comme 1/√n. En finance, Black-Scholes et Bachelier donnent des prix voisins pour une option proche du cours actuel, mais divergent loin de lui. Pour la chaleur, l’histogramme des particules, la formule exacte et le calcul numérique se superposent : le hasard des particules et la régularité de l’équation décrivent la même chose.

Signature — la frontière d’une trajectoire brownienne a pour dimension 4/3

Dans le plan, une trajectoire brownienne est si contournée qu’elle « remplit » des régions entières : sa trace a pour dimension 2. Mais regardons seulement sa frontière extérieure, ce qu’on verrait en la regardant de loin. En 1982, Benoît Mandelbrot conjecture, d’après des simulations, que cette frontière a pour dimension fractale 4/3. Il faudra près de vingt ans pour le démontrer : Gregory Lawler, Oded Schramm et Wendelin Werner y parviennent en 2001, et Werner reçoit la médaille Fields en 2006. Refaisons la mesure de Mandelbrot.

Une marche de 2 millions de pas, colorée selon le temps (du bleu au rouge), et sa frontière extérieure (noir). La loupe permet de vérifier que la courbe se ressemble à toutes les échelles.

Comptage par boîtes : nombre de boîtes de côté s qui touchent la frontière, en échelles logarithmiques ; la pente donne la dimension. Rouge pointillé : pente 4/3.

Loupe

Pas de la marche—

Dimension mesurée de la frontière—

Moyenne sur toutes les trajectoires tirées—

Une courbe ordinaire a pour dimension 1 : en divisant la taille des boîtes par 2, on en compte 2 fois plus. Pour la frontière brownienne, on en compte 2^(4/3) ≈ 2,52 fois plus : elle est plus qu’une ligne, moins qu’une surface. La mesure sur une seule trajectoire fluctue de quelques centièmes, parfois près d’un dixième, mais la moyenne de plusieurs trajectoires se rapproche de 4/3. La démonstration de Lawler, Schramm et Werner repose sur un outil inventé pour l’occasion, les courbes SLE (évolutions de Schramm-Loewner), qui décrivent aussi les frontières de la percolation et des modèles de physique statistique.

Repères historiques

1827Robert Brown observe l’agitation incessante de particules issues de grains de pollen, puis de poussières minérales : le phénomène n’est donc pas vivant.
1900Louis Bachelier soutient sa thèse Théorie de la spéculation, premier modèle mathématique du mouvement brownien, appliqué à la Bourse.
1905Albert Einstein explique le mouvement brownien par les chocs moléculaires et prédit ⟨r²⟩ proportionnel au temps ; Marian Smoluchowski parvient au même résultat en 1906.
1908Paul Langevin écrit la première équation différentielle stochastique.
1908-1909Jean Perrin mesure le nombre d’Avogadro au microscope ; prix Nobel de physique en 1926.
1923Norbert Wiener construit rigoureusement le mouvement brownien comme mesure sur l’espace des courbes continues.
1944Kiyosi Itô définit l’intégrale stochastique, base du calcul différentiel brownien.
1948Paul Lévy publie Processus stochastiques et mouvement brownien, qui rassemble ses découvertes : loi de l’arc sinus, construction par milieux, temps local.
1973Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton publient la formule de prix des options.
2001Lawler, Schramm et Werner démontrent la conjecture de Mandelbrot sur la frontière brownienne.

Ce qu’il faut retenir

La signature √t

Le déplacement typique pendant une durée t est proportionnel à √t : ⟨r²⟩ = 2dDt. C’est la marque de la diffusion, des molécules aux cours de Bourse.

Une courbe étrange

Continue mais sans tangente, de longueur infinie, de variation quadratique égale au temps, elle a pourtant des lois exactes : réflexion, arc sinus.

Un outil universel

Preuve de l’existence des atomes, prix des options, équation de la chaleur, géométrie fractale : le même objet relie la physique, la finance et les mathématiques pures.

Pour aller plus loin

La formule d’Einstein. Une particule soumise au frottement γ et aux chocs thermiques reçoit des impulsions aléatoires dont l’intensité est fixée par la température (relation de fluctuation-dissipation). On en tire D = kT/γ, et pour une sphère de rayon a, le frottement de Stokes γ = 6πηa donne D = kT/(6πηa), avec k = R/Nₐ.

Le calcul d’Itô. Puisque (dB)² = dt, la formule de Taylor gagne un terme : df(B) = f′(B)dB + ½f″(B)dt. C’est ce terme ½f″ qui fait apparaître l’équation de la chaleur et la correction −σ²t/2 du mouvement brownien géométrique.

Pourquoi 4/3 ? Les exposants d’intersection des trajectoires browniennes, calculés par Lawler, Schramm et Werner grâce aux SLE, donnent la dimension de la frontière, 4/3, celle des points de coupure, 3/4, et celle des points pionniers, 7/4.