Marches aléatoires et ruine du joueur
Un pas à droite, un pas à gauche, au hasard : de ce jeu minuscule sortent la ruine des joueurs, la stratégie au casino, le risque des assureurs, la diffusion des molécules — et une surprise en trois dimensions.
L’idée en une phrase. Une marche aléatoire est la position d’un marcheur qui, à chaque instant, fait un pas tiré au hasard, indépendamment des pas précédents. Dans la version la plus simple, il avance d’un pas (+1) avec la probabilité p et recule d’un pas (−1) avec la probabilité q = 1 − p ; après n pas, sa position est Sₙ = X₁ + X₂ + … + Xₙ.
Remplacez « position » par « fortune d’un joueur qui mise 1 € à chaque coup » : on obtient le problème de la ruine du joueur, posé par Pascal à Fermat en 1656. Remplacez-la par « capital d’un assureur », « cours d’une action », « abscisse d’une molécule » : c’est toujours la même mathématique.
| Question | Réponse pour la marche équilibrée (p = 1/2) | Planche |
|---|---|---|
| Où est le marcheur après n pas ? | En moyenne au départ, mais typiquement à une distance √n : il s’éloigne sans direction privilégiée. | 1 |
| A-t-il franchi un niveau a ? | Probabilité double de celle d’être au-delà de a à la fin, à un terme près : c’est le principe de réflexion. | 2 |
| Partant de k €, atteint-il N € avant la ruine ? | Avec probabilité k/N exactement, après k(N − k) coups en moyenne. | 3 |
| Revient-il un jour à son point de départ ? | Oui, avec certitude, sur une droite et dans le plan ; seulement dans 34 % des cas dans l’espace. | 5 |
Où est le marcheur après n pas ?
Lâchons 2 000 marcheurs en même temps, tous partis de 0. À gauche, quarante de leurs trajectoires ; à droite, la répartition de tous les marcheurs à l’instant présent, comparée à la loi exacte (le nombre de pas en avant suit une loi binomiale). La foule s’étale comme √n : l’écart-type de la position vaut 2√(npq). Si p ≠ 1/2, elle dérive en plus à la vitesse p − q par pas.
Le principe de réflexion et le problème du scrutin
Combien de chemins de n pas atteignent au moins une fois le niveau a ? Désiré André (1887) a trouvé une astuce : dès qu’un chemin touche a, on retourne en miroir tout ce qui suit. Ce retournement associe un à un les chemins qui touchent a et finissent sous a à ceux qui finissent au-dessus de a. D’où, pour la marche équilibrée : P(max ≥ a) = P(Sₙ ≥ a) + P(Sₙ > a). La page vérifie cette égalité en comptant les chemins un par un, en nombres entiers exacts.
Le problème du scrutin (Bertrand, 1887). Lors d’une élection, le candidat A obtient a voix et B en obtient b < a. On dépouille les bulletins dans un ordre au hasard. Quelle est la probabilité que A soit strictement en tête pendant tout le dépouillement ? La réflexion donne une réponse d’une simplicité étonnante : (a − b)/(a + b).
La ruine du joueur
Un joueur possède k €, son adversaire N − k €. À chaque coup, le joueur gagne 1 € avec la probabilité p et en perd 1 avec la probabilité q. La partie s’arrête quand l’un des deux est ruiné. Notons r(k) la probabilité de ruine en partant de k : en regardant le premier coup, r(k) = p·r(k + 1) + q·r(k − 1), avec r(0) = 1 et r(N) = 0. Cette équation se résout exactement (Huygens, De Moivre) ; la page la résout aussi comme un système linéaire, pour contrôle.
Applications : le casino, l’assureur, la molécule
Vous avez 100 € et voulez repartir avec une somme plus grande en jouant au rouge à la roulette. Faut-il miser 1 € à la fois (jeu timide) ou tout ce qu’il faut d’un coup (jeu audacieux : on mise tout, ou juste ce qui manque pour atteindre l’objectif) ? Dubins et Savage ont démontré en 1965 que, dans un jeu défavorable, le jeu audacieux est optimal. Chaque barre est calculée exactement (formule de la ruine, ou équation résolue par itération pour le jeu audacieux) ; les points sont des parties simulées.
Chaque jour, un assureur encaisse 1 unité de primes ; le nombre de sinistres du jour suit une loi de Poisson de moyenne λ, et chacun coûte 1 unité. Le chargement de sécurité θ est l’excédent des primes sur les sinistres moyens : λ = 1/(1 + θ). Le capital monte en moyenne, et pourtant la ruine reste toujours possible. Lundberg (1903) a montré qu’elle décroît exponentiellement avec le capital initial u : ψ(u) ≤ e^(−Ru), où R est la solution de λ(e^R − 1) = R.
Une molécule dans un liquide reçoit sans cesse des chocs au hasard : sa position fait une marche aléatoire. Einstein (1905) en a déduit la loi de la diffusion : le carré moyen du déplacement croît proportionnellement au temps. Ici, 2 000 particules font des pas unité dans les quatre directions ; le carré moyen de leur distance au départ doit valoir exactement t après t pas.
Signature — un ivrogne rentre toujours chez lui, un oiseau ivre peut se perdre
Un marcheur fait des pas au hasard sur un réseau, le long d’une droite (dimension 1), dans le plan (dimension 2) ou dans l’espace (dimension 3). Reviendra-t-il un jour à son point de départ ? George Pólya a démontré en 1921 que la réponse dépend de la dimension : oui avec certitude en dimension 1 et 2, mais seulement avec probabilité 0,3405 en dimension 3. Le mathématicien Shizuo Kakutani le résumait ainsi : « un homme ivre finit par rentrer chez lui, un oiseau ivre peut se perdre à jamais ».
Repères historiques
- 1656Pascal soumet à Fermat, par l’intermédiaire de Carcavi, le problème de la ruine du joueur ; Huygens le publie l’année suivante dans son traité De ratiociniis in ludo aleae.
- 1711Abraham de Moivre donne la solution générale pour des joueurs d’habileté inégale, dans De mensura sortis.
- 1887Joseph Bertrand pose le problème du scrutin ; Désiré André le résout la même année par le principe de réflexion.
- 1900Louis Bachelier modélise les cours de la Bourse de Paris par une marche aléatoire, dans sa thèse Théorie de la spéculation.
- 1903Filip Lundberg fonde la théorie mathématique du risque des assureurs ; Harald Cramér la complète dans les années 1930.
- 1905Karl Pearson invente l’expression « random walk » dans une lettre à Nature ; la même année, Einstein explique le mouvement brownien.
- 1921George Pólya démontre que la marche revient sûrement à l’origine en dimension 1 et 2, mais pas en dimension 3.
- 1939George Neville Watson calcule les intégrales qui donnent la constante 0,3405 de la marche en dimension 3.
- 1965Lester Dubins et Leonard Savage publient How to Gamble If You Must et démontrent l’optimalité du jeu audacieux.
Ce qu’il faut retenir
√n, pas n
Une marche équilibrée s’éloigne de son départ d’environ √n en n pas. Une dérive, même faible, l’emporte toujours à la longue, car elle croît comme n.La ruine
Dans un jeu équitable on gagne avec probabilité k/N. Un léger désavantage rend la ruine presque certaine sur la durée ; contre un adversaire infini, elle est certaine dès que le jeu n’est pas favorable.La dimension compte
Le retour au départ est sûr sur une droite et dans le plan, mais pas dans l’espace : la marche y a « trop de place ». Tout dépend de la convergence de la somme des u₂ₙ.Pour aller plus loin
Résolution de la ruine. L’équation r(k) = p·r(k + 1) + q·r(k − 1) a pour solutions A + B(q/p)^k si p ≠ q, et A + Bk si p = q. Les conditions r(0) = 1, r(N) = 0 donnent r(k) = ((q/p)^k − (q/p)^N)/(1 − (q/p)^N), ou 1 − k/N dans le jeu équitable. La durée moyenne D(k) vérifie D(k) = 1 + p·D(k + 1) + q·D(k − 1), d’où D(k) = k(N − k) dans le jeu équitable.
Martingales. Dans un jeu équitable, la fortune est une martingale : son espérance ne change pas. Le théorème d’arrêt de Doob donne alors directement k = N·P(gagner), donc P(gagner) = k/N, sans résoudre d’équation. Aucune stratégie de mise ne peut transformer un jeu équitable en jeu favorable.
Du discret au continu. Quand on accélère le temps et qu’on rétrécit les pas dans le rapport √n, la marche aléatoire converge vers le mouvement brownien (théorème de Donsker, 1951), outil de base de la finance mathématique et de la physique statistique.