Théorie des jeux

Le marchandage : de la solution de Nash aux offres alternées de Rubinstein

Deux personnes doivent se partager un gâteau ; si elles ne s'entendent pas, personne n'a rien. Quel partage est « raisonnable » ? John Nash répond en 1950 par des axiomes, sans décrire la négociation. Ariel Rubinstein répond en 1982 en décrivant la négociation elle-même : des offres et des contre-offres, et le temps qui passe. Les deux réponses, si différentes en apparence, se rejoignent quand les offres s'enchaînent sans délai.

Planche 1

La solution de Nash : maximiser le produit des gains

Le joueur 1 reçoit la part x du gâteau, le joueur 2 la part 1 − x. Ce qui compte pour chacun n'est pas la part mais sa satisfaction, son utilité : ici u₁ = x^α et u₂ = (1 − x)^β. Un exposant inférieur à 1 décrit quelqu'un de prudent (averse au risque), pour qui la première moitié du gâteau compte plus que la seconde. En cas d'échec, chacun obtient son point de désaccord d₁, d₂ (ce qu'il aurait ailleurs). Nash propose de choisir le partage qui rend maximal le produit des gains au-delà du désaccord : (u₁ − d₁) × (u₂ − d₂).

Le plan des utilités : la frontière regroupe tous les partages possibles, le point violet est le désaccord. Les courbes orange sont celles où le produit de Nash est constant ; la solution est le point où l'une d'elles touche la frontière.

Le produit de Nash selon la part x du joueur 1 : son sommet donne le partage. Le gâteau dessiné au-dessus montre ce partage.

Exposant α du joueur 1 (prudence)

Exposant β du joueur 2

Désaccord d₁ du joueur 1

Désaccord d₂ du joueur 2

Part du joueur 1 (section dorée sur le produit)

—

Contrôle : dérivée logarithmique annulée par dichotomie

—

Utilités obtenues u₁ / u₂

—

Formule (cas simples) : α/(α + β) si d = 0 ; (1 + d₁ − d₂)/2 si α = β = 1

—

Ce qui fait la force dans une négociation. Avec des utilités linéaires et sans option extérieure, on partage en deux. Si le joueur 1 dispose d'une meilleure solution de repli (d₁ grand), il obtient davantage : chacun reçoit son désaccord, puis on partage le surplus à égalité. Plus surprenant : le joueur le plus prudent obtient moins. Avec α = 0,5 et β = 1, il ne reçoit qu'un tiers du gâteau. Celui qui craint davantage l'échec est prêt à céder plus — et la règle de Nash le traduit sans qu'aucun mot sur la négociation n'ait été écrit.

Planche 2

Quatre axiomes, une seule règle

Nash ne dit pas comment on négocie : il énonce quatre exigences qu'un partage raisonnable devrait respecter, et montre qu'une seule règle les satisfait toutes. Efficacité : on ne laisse rien sur la table. Symétrie : deux joueurs identiques reçoivent la même chose. Invariance d'échelle : mesurer l'utilité de l'un en euros ou en centimes ne change pas le partage. Indépendance des options non retenues : si l'on retire des possibilités qui n'étaient pas choisies, le choix ne change pas. Comparons trois règles : celle de Nash, la règle égalitaire (mêmes utilités pour les deux) et celle de Kalai et Smorodinsky (1975 : chacun reçoit la même fraction de son gain maximal possible).

L'ensemble des utilités possibles (en blanc ; la zone grisée est retirée par la coupe) et les points choisis par les trois règles : ● Nash, ● égalitaire, ● Kalai-Smorodinsky ; les petits cercles montrent les choix avant transformation.

Exposant α du joueur 1

Échelle k de l'utilité du joueur 1

Coupe : le joueur 2 ne peut obtenir plus de

Le prix de chaque axiome. Changez l'échelle k : la règle égalitaire modifie le partage du gâteau, alors qu'on n'a fait que changer d'unité de mesure — elle viole l'invariance d'échelle. Coupez l'ensemble : tant que la coupe laisse en place le point choisi, Nash ne bouge pas ; Kalai-Smorodinsky, si, car elle dépend du gain maximal du joueur 2 — elle viole l'indépendance. Kalai et Smorodinsky répondaient qu'il est juste qu'un joueur dont les ambitions possibles diminuent reçoive moins : chaque axiome est un choix moral autant que mathématique. Seule la règle de Nash passe les quatre tests, comme Nash l'a démontré.

Planche 3

Les offres alternées : raisonner depuis la fin

Rubinstein décrit la négociation. Le joueur 1 fait une offre ; le joueur 2 accepte ou refuse et fait une contre-offre au tour suivant, et ainsi de suite. Mais attendre coûte : un gâteau obtenu un tour plus tard ne vaut plus que δ fois sa valeur (δ, le facteur d'escompte, mesure la patience : proche de 1, on est patient). Imaginons d'abord que la négociation s'arrête au bout de T tours, le dernier proposant prenant tout. On remonte : au tour précédent, le proposant offre à l'autre exactement ce que celui-ci obtiendrait en attendant, escompté — et garde le reste.

Part du proposant à chaque tour, calculée du dernier tour vers le premier : barres bleues quand le joueur 1 propose, violettes quand c'est le joueur 2.

Part du joueur 1 au premier tour selon le nombre total de tours T. Elle oscille — selon qui a le dernier mot — puis se fixe sur la valeur de Rubinstein (trait rouge).

Nombre de tours T

Patience δ₁ du joueur 1

Patience δ₂ du joueur 2

Part du joueur 1 au premier tour, horizon T

—

Horizon infini (Rubinstein) : (1 − δ₂)/(1 − δ₁δ₂)

—

Écart avec T = 200 tours / avec T = 201 tours

—

Un accord immédiat. Dans l'équilibre parfait en sous-jeux, la première offre est acceptée : personne ne perd de temps, puisque chacun sait exactement ce qu'il obtiendrait en refusant. Quand l'horizon s'allonge, peu importe qui aurait le dernier mot : la part du premier proposant se fixe sur (1 − δ₂)/(1 − δ₁δ₂). Rubinstein a démontré en 1982 que, même sans limite de temps, c'est le seul équilibre parfait — un résultat d'autant plus frappant que ce jeu possède une infinité d'équilibres de Nash ordinaires, soutenus par des menaces non crédibles.

Planche 4

L'impatience fixe le partage — négociez vous-même

Dans le modèle de Rubinstein, le pouvoir de négociation n'a rien de mystérieux : il vient de la patience. Celui qui peut attendre sans perdre beaucoup obtient davantage, et celui qui propose en premier a un léger avantage, qui disparaît quand les deux sont très patients. Vous êtes le joueur 1 face à une machine qui applique la stratégie d'équilibre. Proposez une part pour la machine ; si elle refuse, elle fera une contre-offre au tour suivant, et le gâteau aura perdu de sa valeur.

La négociation : le gâteau rétrécit à chaque tour pour chacun selon sa patience (taille relative pour le joueur 1). Les offres s'affichent au fur et à mesure.

Part du joueur 1 à l'équilibre selon les deux patiences (plus c'est bleu, plus le joueur 1 obtient). Le point blanc est votre réglage.

Votre patience δ₁

Patience de la machine δ₂

Part que vous offrez à la machine

Équilibre : votre part si vous proposez / si la machine propose

—

Seuil d'acceptation de la machine : δ₂ × sa part quand elle propose

—

Avantage du premier proposant (δ₁ = δ₂ = δ) : 1/(1 + δ) − 1/2

—

Votre résultat, en valeur d'aujourd'hui

—

Le temps est un argument. Avec la même patience δ, le premier proposant obtient 1/(1 + δ) : 0,526 pour δ = 0,9, mais 0,503 pour δ = 0,99. Si vous offrez moins que le seuil, la machine refuse : elle préfère attendre le tour suivant, où elle proposera elle-même ; si vous offrez plus, vous lui faites un cadeau. Proposer exactement le seuil est la meilleure offre — c'est ce que fait l'équilibre. Et si vous refusez sa contre-offre, vous découvrirez que la vôtre au tour suivant, une fois escomptée, ne vaut pas mieux : refuser ne fait que brûler du gâteau.

Planche 5 — signature

Quand les offres s'enchaînent sans délai, Rubinstein retrouve Nash

Notons Δ le délai entre deux offres et r₁, r₂ les « taux d'impatience » : attendre Δ multiplie la valeur par δᵢ = e^−rᵢΔ. Avec des utilités x^α et (1 − x)^β, le partage de Rubinstein se calcule exactement. Faisons tendre Δ vers 0, comme dans une négociation où l'on peut répondre aussitôt : l'avantage de proposer en premier disparaît, les deux offres d'équilibre se rejoignent… et le point de rencontre est exactement la solution de Nash — la version « pondérée » où chaque joueur compte d'autant plus qu'il est patient. Ken Binmore, Ariel Rubinstein et Asher Wolinsky l'ont démontré en 1986.

La frontière des utilités : offre du joueur 1 et offre du joueur 2 à l'équilibre de Rubinstein pour le délai Δ choisi, et la solution de Nash (pondérée par 1/rᵢ), avec sa courbe tangente.

Écart entre le partage de Rubinstein et celui de Nash selon Δ, en échelles logarithmiques. Une droite de pente 1 signifie que l'écart est proportionnel au délai.

Délai entre deux offres Δ (échelle logarithmique)

Impatience r₁ du joueur 1

Impatience r₂ du joueur 2

Prudence α du joueur 1 (β = 1)

Rubinstein : part du joueur 1 quand il propose / quand l'autre propose

—

Solution de Nash pondérée (maximum de u₁^(1/r₁) u₂^(1/r₂), section dorée)

—

Limite exacte (α/r₁)/(α/r₁ + β/r₂) et écart actuel

—

Pente mesurée entre Δ = 10⁻³ et 10⁻⁴

—

Contrôle : formule contre induction à rebours (nombre de tours indiqué)

—

Deux théories, une réponse. La solution de Nash semblait arbitraire : pourquoi le produit des gains, plutôt que leur somme ou leur minimum ? Rubinstein en donne la raison : c'est le partage auquel aboutissent des négociateurs rationnels quand chaque offre peut être aussitôt suivie d'une contre-offre. Le poids de chacun est l'inverse de son impatience : à impatiences égales, on retrouve exactement la solution symétrique de Nash, où le joueur prudent (α = 0,5) n'obtient qu'un tiers. Le désaccord, dans ce modèle, c'est l'attente indéfinie, qui ne rapporte rien — d'où d = 0. L'écart diminue proportionnellement à Δ (pente mesurée 1,000) : diviser le délai par dix divise l'avantage du premier proposant par dix.

Synthèse

Ce qu'il faut retenir

Nash : des axiomes

Maximiser le produit des gains au-delà du désaccord est la seule règle efficace, symétrique, indépendante des unités et des options non retenues. Une bonne solution de repli et le goût du risque font la force.

Rubinstein : un jeu

Offres et contre-offres, avec un coût d'attente : l'unique équilibre parfait donne un accord immédiat, d'autant plus favorable qu'on est patient et qu'on propose en premier.

Le pont

Quand le délai entre offres tend vers zéro, le partage de Rubinstein converge vers la solution de Nash pondérée par les patiences. Les axiomes de Nash reçoivent ainsi un fondement stratégique — le « programme de Nash ».

Pour aller plus loin

Les formules. Avec les utilités x^α et (1 − x)^β et les escomptes δ₁, δ₂, posons a = δ₁^1/α et b = δ₂^1/β : le joueur 1 obtient x = (1 − b)/(1 − ab) quand il propose, y = ax quand l'autre propose. Avec δᵢ = e^−rᵢΔ, x et y tendent vers (α/r₁)/(α/r₁ + β/r₂), qui maximise u₁^1/r₁ u₂^1/r₂.

Références. J. Nash, « The bargaining problem », Econometrica (1950) ; I. Ståhl, Bargaining Theory (1972), pour l'horizon fini ; A. Rubinstein, « Perfect equilibrium in a bargaining model », Econometrica (1982) ; E. Kalai et M. Smorodinsky, Econometrica (1975) ; K. Binmore, A. Rubinstein et A. Wolinsky, « The Nash bargaining solution in economic modelling », RAND Journal of Economics (1986) ; M. Osborne et A. Rubinstein, Bargaining and Markets (1990).

Pages voisines. Le jeu de l'ultimatum (le marchandage en un seul tour), Stackelberg et l'engagement, les notions fondamentales, l'histoire de la théorie des jeux.