Combien de temps une pièce va-t-elle durer ? À quelle charge une fibre va-t-elle rompre ? Combien d'énergie une éolienne va-t-elle produire ? La loi de Waloddi Weibull répond à ces trois questions avec deux paramètres seulement. Cinq planches pour voir d'où elle vient, comment on l'estime et comment on s'en sert pour décider.
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Définition en une phrase
La loi de Weibull décrit une durée de vie T dont la probabilité de survivre au-delà de t est R(t) = e−(t/η)β. Elle porte le nom de l'ingénieur suédois Waloddi Weibull, qui l'a popularisée en 1939 et 1951.
Deux paramètres : l'échelle η, appelée durée caractéristique (63,2 % des pièces ont lâché à l'âge η, quel que soit β), et la forme β, appelée pente ou module de Weibull. La notion clé est le taux de panne h(t) = f(t)/R(t) : la probabilité, par unité de temps, qu'une pièce encore en vie à l'âge t tombe en panne juste après. Pour Weibull, h(t) = (β/η)(t/η)β−1.
Planche
Question posée
Ce que l'on vérifie
1 · Le taux de panne
Une pièce vieillit-elle ?
Moyenne ηΓ(1 + 1/β), médiane, mode contre calcul numérique ; courbe en baignoire
2 · Le maillon faible
D'où vient cette loi ?
Résistance d'une chaîne de n maillons : effet d'échelle n−1/β
3 · Le diagramme de Weibull
Comment estimer β et η à partir d'un essai ?
Droite de régression contre maximum de vraisemblance, avec essai arrêté
4 · Le vent
Combien produira une éolienne ?
Facteur d'énergie Γ(1 + 3/k)/Γ(1 + 1/k)³ ; facteur de charge par intégrale et sur 8 760 heures
5 · Remplacer avant la panne ?
Faut-il changer une pièce qui marche encore ?
Vie résiduelle ; âge optimal de remplacement contre simulation
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Le taux de panne : une pièce vieillit-elle ?
Une pièce vieillit-elle ? Tout dépend de la forme β. Si β < 1, le taux de panne diminue avec l'âge : les pièces défectueuses lâchent tôt, les survivantes sont solides (mortalité infantile). Si β = 1, il est constant : la panne frappe au hasard, sans usure, c'est la loi exponentielle. Si β > 1, il augmente : la pièce s'use.
Densité f(t) (bleu) et proportion de survivants R(t) (violet). Trait rouge : la durée caractéristique η, où il reste 36,8 % de survivants.
Taux de panne h(t) : décroissant si β < 1, constant si β = 1, croissant si β > 1.
La « courbe en baignoire » d'un parc de machines : la somme de trois taux de Weibull, défauts de jeunesse (β = 0,5), pannes accidentelles (β = 1) et usure (β = 5). Le trait rouge suit l'âge choisi.
Durée de vie moyenne : ηΓ(1 + 1/β) · intégrale ∫R(t)dt—
Médiane : η(ln 2)1/β · dichotomie—
Mode : η((β − 1)/β)1/β · section dorée—
F(η) : toujours 1 − 1/e = 63,21 %—
Écart-type de la durée de vie—
Plus grand écart entre formules et calculs numériques—
Ce qu'il faut voir. Un seul nombre, β, raconte comment meurt une pièce. Pour β = 1, la pièce « ne vieillit pas » : son taux de panne est le même à tout âge, et sa durée moyenne égale η. Pour β = 3,5, la densité ressemble à une cloche de Gauss : la loi de Weibull imite alors la loi normale, mais reste positive. Pour β = 0,5, la densité est infinie en 0 : beaucoup de pannes immédiates, puis des survivants très durables, si bien que la moyenne (2η) dépasse largement la médiane. La courbe en baignoire, familière aux fiabilistes, n'est que la superposition des trois régimes.
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Le maillon le plus faible
D'où vient cette loi ? Une chaîne rompt dès que son maillon le plus faible cède : sa résistance est le minimum des résistances de ses n maillons. C'est l'idée de Weibull en 1939 pour expliquer la rupture des matériaux : une barre, une fibre, une plaque de verre est une chaîne de petits éléments, et elle casse là où se trouve le pire défaut. Or la loi de Weibull est exactement stable par minimum : le minimum de n résistances de Weibull (β, η) suit une loi de Weibull (β, η·n−1/β).
Une chaîne : la couleur de chaque maillon indique sa résistance (clair = fragile). On augmente la charge jusqu'à la rupture du plus faible (au plus 40 maillons dessinés).
Résistance de 3 000 chaînes de n maillons (violet) et loi de Weibull prévue (vert).
Effet d'échelle : résistance médiane selon n, axes logarithmiques. Points : simulation ; trait : η(ln 2)1/β n−1/β, une droite de pente −1/β.
Résistance médiane des chaînes : simulation · théorie—
Distance de Kolmogorov-Smirnov entre simulation et loi prévue—
Chaîne de n maillons / maillon seul (médianes)—
Pente mesurée sur le graphique d'échelle · −1/β—
Dernière chaîne tirée : rupture au maillon · à la charge—
Loi prévue pour la chaîne—
Ce qu'il faut voir. Plus une pièce est grande, plus elle a de chances de contenir un grave défaut : sa résistance baisse comme n−1/β. Avec β = 5, une chaîne de 20 maillons ne vaut que 55 % d'un maillon seul. Un β élevé, comme celui des métaux (plusieurs dizaines), signifie des défauts réguliers et un faible effet d'échelle ; un β faible, comme celui des céramiques et du verre (de l'ordre de 5 à 15), des défauts très variables et un fort effet d'échelle. Changez la loi des maillons : avec une loi uniforme ou normale, le minimum de n résistances finit encore par suivre une loi de Weibull pour n grand. C'est le théorème des valeurs extrêmes (Fréchet 1927, Fisher et Tippett 1928, Gnedenko 1943) : la loi de Weibull est la loi universelle des minimums de grandeurs bornées inférieurement.
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Le diagramme de Weibull : estimer β et η à partir d'un essai
Comment estimer β et η à partir d'un essai ? On met n roulements en marche et on note l'heure de chaque panne. Souvent, on arrête l'essai avant la fin, après r pannes : les n − r roulements qui tournent encore sont dits censurés ; on sait seulement qu'ils dépassent la durée de l'essai. Le papier de Weibull redresse la loi en droite : en portant ln t en abscisse et ln(−ln(1 − F)) en ordonnée, on obtient une droite de pente β.
vraie loi (η = 1 000 h)droite de régressionmaximum de vraisemblanceméthode naïve
Le banc d'essai : chaque ligne est un roulement ; croix rouge à la panne. L'essai s'arrête à la r-ième panne : les barres grises tournent encore.
Le papier de Weibull : chaque panne est placée à son rang médian (i − 0,3)/(n + 0,4). Les droites estimées se comparent à la vraie loi.
Sur 500 essais identiques : répartition des β estimés par la droite de régression (orange) et par le maximum de vraisemblance (vert). Trait gris : la vraie valeur.
β estimé par la droite de régression · η estimé—
β estimé par maximum de vraisemblance · η estimé—
Méthode naïve (oublier les censurés) : η estimé—
Durée B10 (10 % de pannes) : vraie · estimée par vraisemblance—
Contrôle : équation de vraisemblance au β trouvé—
Sur 500 essais : β médian (régression · vraisemblance) et dispersion—
Ce qu'il faut voir. Sur le papier de Weibull, les pannes s'alignent sur une droite dont la pente lit directement β : c'est la méthode graphique des ingénieurs, rapide et parlante. Le maximum de vraisemblance tient compte proprement des roulements encore en marche. Sur de petits essais, aucune méthode n'est infaillible : répétez 500 essais, et vous verrez la régression sous-estimer β et le maximum de vraisemblance le surestimer, avec des dispersions voisines. La méthode naïve, qui calcule comme si seules les pannes observées existaient, se trompe gravement : elle oublie que les survivants ont déjà prouvé qu'ils duraient plus longtemps, et sous-estime la durée de vie. Le chiffre retenu en pratique est souvent la durée B10, âge auquel 10 % des pièces ont lâché (la « durée L10 » des roulements).
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Le vent : combien produira une éolienne ?
Combien produira une éolienne ? Sur un site donné, la vitesse du vent heure par heure suit très souvent une loi de Weibull, de forme k voisine de 2 (le cas k = 2 s'appelle loi de Rayleigh). Or la puissance contenue dans le vent croît comme le cube de la vitesse : ½ρv³ par mètre carré. Les rares heures de vent fort comptent donc énormément.
Éolienne fictive de 3 MW : démarrage à 3 m/s, pleine puissance de 12 à 25 m/s, arrêt de sécurité au-delà de 25 m/s.
Loi de la vitesse du vent (bleu) et courbe de puissance de l'éolienne (orange, échelle de droite en MW). Trait rouge : la vitesse moyenne.
D'où vient l'énergie : contribution de chaque vitesse à l'énergie du vent f(v)·v³ (violet) et à la production de l'éolienne f(v)·P(v) (vert), chacune ramenée à son maximum.
Une année simulée : puissance produite heure par heure (une barre pour 24 heures en moyenne).
Puissance du vent ½ρE[v³] (W/m²) : formule · intégrale—
Calcul naïf ½ρ v̄³ avec la vitesse moyenne (W/m²)—
Heures sans production (vent trop faible ou trop fort)—
Ce qu'il faut voir. Calculer la puissance avec la vitesse moyenne est une erreur grossière : avec k = 2, la vraie puissance moyenne du vent est 1,91 fois plus grande, parce que la moyenne des cubes dépasse le cube de la moyenne. Plus k est petit (vent irrégulier), plus l'écart grandit. Mais l'éolienne ne récupère pas tout : elle plafonne à 12 m/s et s'arrête au-delà de 25 m/s, si bien que sa production vient surtout des vents moyens à forts. Avec un vent moyen de 7 m/s et k = 2, le facteur de charge (production réelle rapportée à la production à pleine puissance toute l'année) est voisin de 29 % ; l'année simulée heure par heure le confirme.
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Remplacer avant la panne ?
Faut-il changer une pièce qui marche encore ? Une panne en service coûte cher (arrêt de production, dégâts) ; un remplacement préventif coûte moins, mais jette une pièce encore bonne. La réponse dépend entièrement de β : on ne gagne à remplacer une pièce que si elle vieillit.
Combien de temps une pièce qui a déjà fonctionné t heures va-t-elle encore durer en moyenne ? C'est sa vie résiduelle moyenne m(t) = ∫t∞ R(u) du / R(t).
Vie résiduelle moyenne selon l'âge atteint, en unités de η : forme choisie (bleu), β = 1 (gris pointillé). Les points violets sont mesurés sur 200 000 pièces simulées.
Vie moyenne d'une pièce neuve m(0)—
Vie résiduelle à l'âge t : intégrale · simulation—
Rapport m(t)/m(0)—
Proportion de pièces encore en vie à l'âge t—
Politique de remplacement selon l'âge : on remplace la pièce à l'âge τ si elle n'est pas tombée en panne avant. Le coût moyen par unité de temps vaut C(τ) = [cp·R(τ) + cf·F(τ)] / ∫0τ R(u) du, où cp est le coût d'un remplacement préventif et cf celui d'une panne.
Coût par unité de temps selon l'âge de remplacement τ, rapporté au coût sans prévention (attendre la panne) ; point rouge : l'optimum.
Chronique de deux machines sur 12 η : en haut, on attend la panne ; en bas, on remplace à τ*. Croix rouges : pannes ; traits bleus : remplacements préventifs.
Âge optimal τ* (section dorée) · par balayage—
Coût relatif à l'optimum (sans prévention = 100 %)—
Coût par unité de temps : formule · simulation—
Pièces qui tombent quand même en panne avant τ*—
Ce qu'il faut voir. Pour β = 1, la vie résiduelle ne dépend pas de l'âge (absence de mémoire) : remplacer une pièce qui marche ne sert à rien. Pour β < 1, elle augmente avec l'âge : une pièce qui a passé le cap de la jeunesse a fait ses preuves, et la remplacer par une neuve serait une erreur, car on réintroduirait le risque de défaut de jeunesse ; c'est la raison d'être du rodage. Pour β > 1, la vie résiduelle diminue et le remplacement préventif devient rentable : avec β = 3 et une panne dix fois plus coûteuse qu'un remplacement prévu, remplacer à l'âge 0,38 η divise le coût par près de trois. Le calcul exact et la simulation de 50 000 remplacements concordent.
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Des maillons, des roulements et du vent
1927Maurice Fréchet étudie la loi limite du plus grand de n nombres ; Ronald Fisher et Leonard Tippett classent en 1928 les trois lois limites possibles des extrêmes, dont celle qui portera le nom de Weibull.
1933Paul Rosin et Erich Rammler décrivent par cette même loi la répartition des tailles des grains de charbon broyé.
1939Waloddi Weibull publie sa théorie statistique de la résistance des matériaux : une pièce rompt en son point le plus faible.
1943Boris Gnedenko démontre rigoureusement le théorème des valeurs extrêmes.
1951Weibull publie « Une fonction de répartition statistique d'application étendue », appliquée aux limites d'élasticité de l'acier, aux tailles de cendres, à la fatigue, aux longueurs de fibres : la loi devient l'outil standard des fiabilistes.
1960Richard Barlow et Larry Hunter formalisent le remplacement préventif selon l'âge et montrent qu'il n'est utile que si le taux de panne croît.
β raconte la mort d'une pièce
β < 1 : défauts de jeunesse ; β = 1 : pannes au hasard ; β > 1 : usure. η fixe l'échelle : 63,2 % des pièces ont lâché à l'âge η.
La loi du minimum
Une chaîne rompt au maillon le plus faible : la loi de Weibull est la loi limite des minimums, d'où l'effet d'échelle n−1/β.
Une loi pour décider
Estimer β et η sur un essai, même interrompu ; prévoir la production d'une éolienne ; décider quand remplacer une pièce.
Pour aller plus loin
Liens avec d'autres lois. β = 1 donne la loi exponentielle, β = 2 la loi de Rayleigh. Si T suit une loi de Weibull, alors ln T suit une loi de Gumbel (loi des extrêmes), et (T/η)β suit une loi exponentielle de moyenne 1 : c'est ce qui permet de simuler T = η(−ln U)1/β.
Moments. E[Tm] = ηmΓ(1 + m/β). La moyenne est ηΓ(1 + 1/β), toujours comprise entre 0,886η et η dès que β ≥ 1.
Weibull à trois paramètres. On ajoute parfois un seuil γ : aucune panne avant γ, puis R(t) = e−((t−γ)/η)β. Sur le papier de Weibull, les points dessinent alors une courbe et non une droite.
Pages voisines. Les lois uniforme et exponentielle (absence de mémoire), le maximum de vraisemblance (durées censurées), la loi log-normale (autre loi des durées de vie).