La loi uniforme et la loi exponentielle
Le hasard le plus plat, et le hasard sans mémoire.
Ce sont les deux lois continues les plus simples. La loi uniforme sur un intervalle [a ; b] ne favorise aucune valeur : sa densité est constante. Elle décrit un instant d’arrivée « quelconque », une erreur d’arrondi, la position d’un point jeté au hasard sur un segment ; c’est aussi la matière première de toute simulation, car les ordinateurs fabriquent d’abord des nombres uniformes. La loi exponentielle décrit une durée d’attente quand l’événement attendu peut survenir à tout instant avec la même intensité λ : désintégration d’un atome, arrivée d’un client, panne d’un composant électronique. C’est l’analogue continu de la loi géométrique, et comme elle, elle n’a pas de mémoire.
| Loi uniforme U[a ; b] | Loi exponentielle E(λ) | |
|---|---|---|
| Densité | f(x) = 1/(b − a) sur [a ; b] | f(t) = λ e^(−λt) pour t ≥ 0 |
| Fonction de répartition | F(x) = (x − a)/(b − a) | F(t) = 1 − e^(−λt) |
| Espérance | (a + b)/2 | 1/λ |
| Variance | (b − a)²/12 | 1/λ² |
| Propriété clé | P(c ≤ X ≤ d) = longueur de [c ; d] / longueur de [a ; b] | P(T > s + t | T > s) = P(T > t) : absence de mémoire |
La loi uniforme : la probabilité est une longueur
Si X est uniforme sur [a ; b], la probabilité qu’elle tombe dans un sous-intervalle [c ; d] est simplement la part de longueur qu’il occupe : (d − c)/(b − a). La densité est donc une constante, 1/(b − a), choisie pour que l’aire totale vaille 1. Son centre de gravité est le milieu de l’intervalle ; sa variance, (b − a)²/12, vient de l’intégrale de (x − m)² sur l’intervalle.
Une application : les erreurs d’arrondi
Quand on arrondit un montant au centime, l’erreur commise est, en pratique, uniforme sur [−½ ; ½] centime : écart-type 1/√12 ≈ 0,289. En additionnant n montants arrondis, les erreurs se compensent en partie : l’erreur totale a pour écart-type √(n/12), et non n/2.
Retrouver une borne inconnue : la moyenne ou le maximum ?
Des nombres sont tirés uniformément entre 0 et une borne b que l’on ne connaît pas. Avec n observations, comment estimer b ? Deux idées raisonnables : doubler la moyenne (puisque la moyenne théorique est b/2), ou partir du plus grand nombre observé, légèrement agrandi. Les n points découpent [0 ; b] en n + 1 morceaux de même longueur moyenne b/(n + 1) : le maximum est donc en moyenne à b·n/(n + 1), et l’estimateur (n + 1)/n × maximum vise juste. Lequel est le plus précis ? La question est célèbre : pendant la Seconde Guerre mondiale, les Alliés ont estimé la production de chars allemands à partir des numéros de série des chars capturés.
La loi exponentielle : la désintégration radioactive
Un atome radioactif n’a pas d’âge : à chaque instant, il a la même probabilité λ·dt de se désintégrer dans le petit intervalle dt qui suit, qu’il existe depuis une seconde ou depuis un milliard d’années. Sa durée de vie T suit alors la loi exponentielle de paramètre λ : P(T > t) = e^(−λt). Sur un grand nombre d’atomes, le nombre de survivants décroît comme N·e^(−λt), et la moitié a disparu au bout de la demi-vie ln 2/λ — un temps plus court que la vie moyenne 1/λ.
Des arrivées au hasard, et des pannes en concurrence
Deux applications majeures. Quand des événements surviennent au hasard avec une intensité constante λ par minute — clients, appels, particules —, les intervalles entre deux événements sont des exponentielles indépendantes, et le nombre d’événements dans une minute suit la loi de Poisson : c’est le processus de Poisson. Et quand plusieurs composants peuvent tomber en panne, la première panne arrive au bout d’une durée qui est encore exponentielle, d’intensité égale à la somme des intensités.
Chaque intervalle est fabriqué à partir d’un nombre uniforme U par la formule −ln(U)/λ : c’est la méthode d’inversion, qui transforme la loi uniforme en loi exponentielle.
Deux composants indépendants ont des durées de vie exponentielles d’intensités λ₁ et λ₂ (pannes par an). Montés en série, le système s’arrête à la première panne : min(T₁, T₂) suit la loi exponentielle d’intensité λ₁ + λ₂. Le composant 1 lâche le premier avec la probabilité λ₁/(λ₁ + λ₂). Montés en parallèle, le système tient jusqu’à la seconde panne.
Signature — le paradoxe de l’autobus
Les autobus d’une ligne passent en moyenne toutes les 10 minutes. Vous arrivez à l’arrêt à un instant quelconque. Combien attendez-vous en moyenne ? « Cinq minutes, la moitié de l’intervalle », dit l’intuition. C’est vrai si les bus sont parfaitement réguliers. Mais si leurs passages forment un processus de Poisson, l’attente moyenne est de 10 minutes — autant que si vous arriviez juste après un bus. Le paradoxe vient de ce que vous ne tombez pas dans un intervalle « moyen » : vous avez plus de chances de tomber dans un long intervalle que dans un court, simplement parce qu’il occupe plus de temps.
Repères historiques
- 1763Dans l’essai de Bayes, une boule roule au hasard sur une table : c’est la loi uniforme continue qui sert de point de départ.
- 1902Ernest Rutherford et Frederick Soddy découvrent que la radioactivité décroît exponentiellement et définissent la demi-vie.
- 1909Agner Krarup Erlang, ingénieur au central téléphonique de Copenhague, montre que les appels arrivent selon un processus de Poisson et fonde la théorie des files d’attente.
- 1943–1945Les statisticiens alliés estiment la production de chars allemands par les numéros de série : le « problème des chars allemands ».
- 1946Stanisław Ulam et John von Neumann lancent les méthodes de Monte-Carlo : tout part de nombres uniformes transformés.
- 1949Willard Libby met au point la datation au carbone 14, fondée sur la décroissance exponentielle (demi-vie d’environ 5 730 ans).
- 1966William Feller popularise le paradoxe de l’inspection (ou de l’autobus) dans le second volume de son traité.
Ce qu’il faut retenir
Uniforme : une longueur
P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a), moyenne au milieu, variance (b − a)²/12. Pour retrouver la borne, le maximum est bien plus informatif que la moyenne.Exponentielle : sans mémoire
P(T > t) = e^(−λt), moyenne 1/λ, médiane ln 2/λ. Ce qui a survécu n’a pas vieilli : la vie restante a la même loi que la vie entière.Arrivées, pannes, attentes
Intervalles exponentiels ↔ comptages de Poisson ; le minimum d’exponentielles est exponentiel ; et l’attente d’un voyageur dépend de la variabilité des intervalles, pas seulement de leur moyenne.Pour aller plus loin
De la géométrique à l’exponentielle. Si l’on découpe le temps en pas de durée h et qu’à chaque pas l’événement survient avec la probabilité λh, le nombre de pas suit une loi géométrique et P(T > t) = (1 − λh)^(t/h), qui tend vers e^(−λt) quand h tend vers 0.
Sommes d’exponentielles. La somme de k exponentielles indépendantes de paramètre λ suit la loi gamma (ou loi d’Erlang), de densité λᵏ tᵏ⁻¹ e^(−λt)/(k − 1)! : c’est l’instant de la k-ième arrivée d’un processus de Poisson.
Statistiques d’ordre uniformes. Le k-ième plus petit de n nombres uniformes sur [0 ; 1] suit la loi bêta (k ; n + 1 − k), d’espérance k/(n + 1) : les n points partagent en moyenne l’intervalle en n + 1 parts égales.