La loi géométrique et la loi hypergéométrique
Attendre le premier succès ; tirer sans remettre.
La loi binomiale compte les succès dans un nombre fixé d’épreuves indépendantes. Deux lois voisines répondent à d’autres questions, tout aussi fréquentes. La loi géométrique renverse la question : on répète une épreuve de Bernoulli de probabilité p jusqu’au premier succès, et l’on compte le nombre d’épreuves nécessaires. La loi hypergéométrique change les conditions du tirage : on prélève n objets sans remise dans une population finie de N objets dont K sont « marqués », et l’on compte les objets marqués obtenus. Les tirages ne sont alors plus indépendants : chaque objet sorti modifie la composition de ce qui reste.
| Loi géométrique G(p) | Loi hypergéométrique H(N, K, n) | |
|---|---|---|
| Question | combien d’épreuves jusqu’au premier succès ? | combien d’objets marqués parmi n tirés sans remise ? |
| Valeurs | 1, 2, 3, … (sans limite) | de max(0, n − (N − K)) à min(n, K) |
| P(X = k) | (1 − p)ᵏ⁻¹ · p | C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n) |
| Espérance | 1 / p | n · K / N |
| Variance | (1 − p) / p² | n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n)/(N − 1) |
| Propriété clé | absence de mémoire | proche de la binomiale quand N est grand devant n |
Remarque de vocabulaire : certains auteurs appellent « loi géométrique » le nombre d’échecs avant le premier succès, qui commence à 0. Cette page compte les épreuves, succès compris : X commence à 1.
Attendre le premier succès
Pour que le premier succès arrive à la k-ième épreuve, il faut d’abord k − 1 échecs, puis un succès : par indépendance, P(X = k) = qᵏ⁻¹·p avec q = 1 − p. Ces probabilités forment une suite géométrique de raison q — d’où le nom. Elles décroissent toujours : la valeur la plus probable est 1, quelle que soit p. Pourtant l’attente moyenne est 1/p : six lancers en moyenne pour obtenir un 6.
Le hasard n’a pas de mémoire
Un joueur a lancé dix fois le dé sans voir de 6. Le 6 est-il « en retard », donc plus probable au prochain lancer ? Non : le dé ignore son passé. Mathématiquement, sachant que m échecs se sont déjà produits, l’attente restante suit exactement la même loi géométrique qu’au départ : P(X > m + n | X > m) = qᵐ⁺ⁿ / qᵐ = qⁿ = P(X > n). La loi géométrique est la seule loi à valeurs entières qui ait cette propriété. Comparez avec une situation sans remise : chercher l’as de pique en retournant les cartes d’un paquet de 52, où chaque carte retournée rapproche bel et bien du but.
Tirer sans remise : la loi hypergéométrique
Une urne contient N boules, dont K rouges. On en tire n d’un coup, ou l’une après l’autre sans les remettre. Toutes les poignées de n boules ont la même probabilité, et il y en a C(N, n). Celles qui contiennent exactement k rouges se forment en choisissant k rouges parmi K et n − k blanches parmi N − K : d’où P(X = k) = C(K, k)·C(N − K, n − k) / C(N, n). Si l’on remettait chaque boule, ce serait la loi binomiale B(n, K/N). Les deux lois ont la même moyenne, mais le tirage sans remise est moins dispersé : chaque rouge tirée rend la suivante un peu moins probable.
Trois applications : le Loto, les petits lots, la dame qui goûte le thé
La loi hypergéométrique s’impose chaque fois qu’on tire dans un ensemble fini sans remettre : les boules d’un jeu de loterie, les pièces d’un petit lot contrôlé en entier, les tasses d’une expérience. Dans chacun des trois cas, les probabilités sont des fractions exactes, calculées ici en nombres entiers.
Dans un loto à N numéros dont on en tire T, vous cochez T numéros. Le nombre de bons numéros de votre grille suit la loi H(N, T, T) : les numéros tirés sont les boules « rouges », votre grille est la poignée.
Un lot de N pièces en contient D défectueuses. On en prélève n sans remise et l’on accepte le lot si l’échantillon contient au plus c défauts. Pour un petit lot, l’échantillon représente une part importante du total et la loi binomiale, qui suppose un tirage avec remise, se trompe.
Vers 1920, à Rothamsted, la biologiste Muriel Bristol affirme reconnaître si le lait a été versé avant ou après le thé. Ronald Fisher lui présente 2m tasses, dont m « lait d’abord », dans un ordre aléatoire ; elle doit désigner les m tasses « lait d’abord ». Si elle n’a aucun talent, son choix est une poignée de m tasses tirée au hasard, et son nombre de bonnes réponses suit H(2m, m, m). C’est le premier test exact de l’histoire, décrit par Fisher en 1935.
Signature — compter les poissons d’un lac sans les pêcher tous
Combien y a-t-il de poissons dans ce lac ? On en pêche K, on les marque et on les relâche. Quelques jours plus tard, ils se sont mélangés aux autres ; on pêche à nouveau n poissons et l’on compte k poissons marqués. Si le lac contient N poissons, k suit la loi hypergéométrique H(N, K, n). L’idée est d’égaler les proportions : la part de marqués dans la seconde pêche, k/n, doit ressembler à la part de marqués dans le lac, K/N. D’où l’estimation de Lincoln-Petersen N̂ = K·n / k. La même méthode sert à estimer des populations d’oiseaux, de baleines, de sans-abri ou d’erreurs dans un texte.
Mais une estimation se juge sur de nombreuses répétitions. Répétons l’expérience des milliers de fois sur le même lac : la formule de Lincoln-Petersen surestime N en moyenne, et elle échoue complètement quand k = 0. En 1951, Douglas Chapman propose une correction presque sans biais : N̂ = (K + 1)(n + 1)/(k + 1) − 1.
Repères historiques
- 1657Christiaan Huygens pose, parmi les problèmes de son traité, celui de tirer des jetons d’une urne sans les remettre : un des premiers calculs hypergéométriques.
- 1713Jacques Bernoulli, dans l’Ars Conjectandi, étudie les tirages avec et sans remise ; Abraham de Moivre calcule en 1718 des temps d’attente qui relèvent de la loi géométrique.
- 1786Pierre-Simon Laplace estime la population de la France en rapportant le nombre de naissances de tout le pays à celui de communes recensées : l’ancêtre de la capture-recapture.
- 1896Le biologiste danois Carl Petersen marque des plies pour estimer les populations de poissons ; Frederick Lincoln applique l’idée aux canards en 1930.
- 1935Ronald Fisher décrit l’expérience de la dame qui goûte le thé dans The Design of Experiments et fonde le test exact sur la loi hypergéométrique.
- 1951Douglas Chapman propose l’estimateur corrigé qui porte son nom.
Ce qu’il faut retenir
Géométrique : attendre
P(X = k) = qᵏ⁻¹p, espérance 1/p, P(X > k) = qᵏ. La loi n’a pas de mémoire : un succès « en retard » n’est pas plus probable.Hypergéométrique : tirer sans remettre
P(X = k) = C(K, k)C(N − K, n − k)/C(N, n), espérance nK/N. Elle est moins dispersée que la binomiale, d’un facteur (N − n)/(N − 1).Des applications concrètes
Jeux de loterie, contrôle de petits lots, test exact de Fisher, capture-recapture : chaque fois qu’on tire dans un ensemble fini, la loi hypergéométrique donne les probabilités exactes.Pour aller plus loin
Le pendant continu. La loi exponentielle, densité λe^(−λt), est la seule loi continue sans mémoire : c’est la limite de la loi géométrique quand les épreuves deviennent très rapprochées et très peu probables. Elle décrit la durée de vie d’un atome radioactif ou l’attente entre deux appels.
Attendre r succès. Le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir r succès est une somme de r variables géométriques indépendantes : il suit la loi binomiale négative, d’espérance r/p. Sans remise, le même problème donne la loi hypergéométrique négative, celle de l’as de pique de la planche 2.
De l’hypergéométrique à la binomiale. Quand N et K tendent vers l’infini avec K/N = p fixé, H(N, K, n) tend vers B(n, p). L’écart en variation totale est de l’ordre de n/N, ce que mesure la planche 3.