La loi normale naît des petites causes qui s'additionnent ; la loi log-normale naît de celles qui se multiplient. Tailles des grains, revenus, placements financiers : cinq planches pour voir pourquoi cette courbe penchée est partout, et pourquoi sa moyenne est si difficile à estimer.
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Définition en une phrase
Une grandeur X positive suit une loi log-normale quand son logarithme ln X suit une loi normale. Autrement dit, X = eY avec Y ∼ N(μ ; σ²).
f(x) = 1x σ √(2π) · e−(ln x − μ)² / (2σ²), x > 0
Attention à un piège de vocabulaire : μ et σ ne sont pas la moyenne et l'écart-type de X, mais ceux de ln X. La loi n'admet que des valeurs positives, elle penche vers la droite et possède une longue queue de grandes valeurs. On note X ∼ LN(μ ; σ²). On y retrouve les outils de la loi normale : la fonction de répartition s'écrit P(X ≤ x) = Φ((ln x − μ)/σ), où Φ est celle de la loi normale centrée réduite.
Planche
Question posée
Ce que l'on vérifie
1 · Multiplier le hasard
D'où vient cette loi ?
Produit de facteurs aléatoires : moyenne, médiane, asymétrie mesurées contre la théorie
2 · Trois centres
Que valent le mode, la médiane et la moyenne ?
Formules contre recherche numérique ; passage à l'échelle logarithmique
3 · Grains et revenus
Où la rencontre-t-on ?
Broyage de Kolmogorov ; courbe de Lorenz et indice de Gini
4 · Placements
Un placement peut-il monter en moyenne et baisser presque toujours ?
Moyenne eμT, médiane e(μ − σ²/2)T contre 2 000 trajectoires
5 · Les rares géants
Pourquoi la moyenne est-elle si difficile à estimer ?
La moitié de la moyenne portée par une fraction Φ(−σ) de la population
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Multiplier le hasard : la loi de l'effet proportionnel
D'où vient cette loi ? Imaginons 4 000 petites entreprises de même taille 1. Chaque année, chacune voit sa taille multipliée par un facteur 1 + a·ε, où ε est tiré au hasard entre −1 et 1 : une croissance ou une décroissance proportionnelle à la taille. C'est la « loi de l'effet proportionnel » de Robert Gibrat (1931). Le logarithme transforme le produit en somme : ln X = Σ ln(1 + a·ε), et une somme de nombreux termes indépendants est presque normale.
Trente des 4 000 trajectoires (taille au fil des années, échelle ordinaire). Trait orange : la moyenne exacte, qui reste égale à 1 ; trait rouge : la médiane théorique, qui baisse.
Répartition des tailles X : très penchée, avec une longue queue à droite.
Répartition de ln X : une cloche presque symétrique. En vert pointillé, la loi normale prévue par la théorie.
Années écoulées—
Moyenne des tailles · théorie (exactement 1)—
Médiane des tailles · théorie ek·m—
Moyenne de ln X · théorie k·E[ln(1 + aε)]—
Variance de ln X · théorie k·Var[ln(1 + aε)]—
Asymétrie : de X · de ln X—
Ce qu'il faut voir. Le facteur moyen vaut exactement 1, donc la taille moyenne reste 1 année après année. Pourtant la médiane baisse : le logarithme est concave, si bien que E[ln(1 + aε)] est négatif (c'est l'inégalité de Jensen). Une baisse de 30 % suivie d'une hausse de 30 % ne ramène pas au point de départ, mais à 0,91. La plupart des entreprises rapetissent pendant que quelques-unes, très chanceuses, deviennent énormes et maintiennent la moyenne. L'histogramme des tailles s'étire vers la droite (asymétrie forte), celui des logarithmes devient une cloche symétrique (asymétrie proche de 0, qui fond comme 1/√k).
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Trois centres qui ne coïncident pas
Que valent le mode, la médiane et la moyenne ? Pour une loi symétrique, ces trois « centres » se confondent. Pour la log-normale, ils s'échelonnent toujours dans le même ordre : mode < médiane < moyenne. Le bouton d'échelle déforme progressivement l'axe horizontal, de l'échelle ordinaire à l'échelle logarithmique : la courbe penchée se redresse en cloche de Gauss.
La densité de X, dessinée de façon que l'aire reste égale à 1 pendant la déformation de l'axe. Zone bleue : un « écart-type multiplicatif » de part et d'autre de la médiane.
Mode : formule · maximum cherché par section dorée—
Médiane : formule · dichotomie sur F(x) = 1/2—
Moyenne : formule · intégrale ∫ x f(x) dx—
Écart-type de X : formule · intégrale—
P(m/eσ < X < m·eσ) par intégration · attendu 68,27 %—
Plus grand écart entre les trois contrôles et les formules—
Ce qu'il faut voir. La médiane eμ est la moyenne géométrique : une valeur sur deux est en dessous. La moyenne est tirée vers le haut par la longue queue, d'un facteur eσ²/2 ; le mode, valeur la plus fréquente, est tiré vers le bas d'un facteur eσ². Les écarts se comptent en facteurs et non en différences : à la place de « m ± σ », on dit « m multiplié ou divisé par eσ », et cet intervalle contient 68,27 % des valeurs, exactement comme pour la loi normale. En échelle logarithmique, les trois centres restent distincts, mais la courbe devient une cloche parfaitement symétrique autour de la médiane.
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Deux applications : broyer des grains, partager des revenus
Où rencontre-t-on la loi log-normale ? Partout où une grandeur subit une suite de transformations proportionnelles : la taille des grains après broyage, des gouttes après pulvérisation, les revenus, les tailles des villes, les durées d'incubation des maladies, les concentrations de polluants.
En 1941, Andreï Kolmogorov modélise le broyage d'une roche. Ici, 256 blocs de longueur 1 sont broyés en parallèle : à chaque étape, chaque fragment se brise en deux morceaux, l'un de fraction U de sa longueur, l'autre de fraction 1 − U, où U est tirée au hasard entre 0 et 1. La longueur d'un fragment est un produit de fractions aléatoires, donc son logarithme est une somme.
Le premier des 256 blocs et ses fragments, en couleurs alternées : la longueur totale ne change pas.
Répartition des logarithmes des longueurs de tous les fragments des 256 blocs. Vert : la loi exacte (−ln de longueur suit une loi gamma) ; gris pointillé : la loi normale de même moyenne et même variance.
Étapes · nombre de fragments—
Moyenne de ln(longueur) · théorie −k—
Variance de ln(longueur) · théorie k—
Asymétrie de ln(longueur) · théorie −2/√k—
Somme des longueurs − 1 (conservation de la matière)—
Longueur moyenne / longueur médiane—
Ce qu'il faut voir. Chaque brisure multiplie la longueur par une fraction U ou 1 − U, et −ln U suit une loi exponentielle de moyenne 1 et de variance 1 : après k étapes, ln(longueur) a pour moyenne −k et pour variance k. Ce n'est pas exactement une loi normale (c'est une loi gamma retournée, d'asymétrie −2/√k), mais l'écart s'efface à mesure que les brisures s'accumulent : c'est le théorème central limite appliqué aux logarithmes. Les quelques gros fragments survivants pèsent lourd : la longueur moyenne dépasse largement la longueur médiane.
Les revenus d'une population sont souvent bien décrits, hors des plus hauts revenus, par une loi log-normale. La courbe de Lorenz indique, pour chaque proportion p des plus pauvres, la part L(p) du revenu total qu'ils reçoivent. L'indice de Gini mesure l'aire entre cette courbe et la diagonale de l'égalité parfaite, multipliée par 2 : 0 pour l'égalité, 1 pour l'inégalité extrême. Pour une loi log-normale, tout ne dépend que de σ.
Courbe de Lorenz L(p) = Φ(Φ⁻¹(p) − σ) (bleu), points d'un échantillon de 5 000 revenus simulés (violet), diagonale de l'égalité (gris). L'aire hachurée vaut Gini / 2.
Les 5 000 revenus simulés (médiane fixée à 1). Traits verticaux : médiane (rouge) et moyenne (orange).
Indice de Gini : formule 2Φ(σ/√2) − 1—
Gini par intégration de la courbe de Lorenz · écart—
Gini de l'échantillon de 5 000 revenus—
Part du revenu des 10 % les plus aisés—
Part du revenu des 1 % les plus aisés—
Revenu moyen / revenu médian = eσ²/2—
Ce qu'il faut voir. Un seul nombre, σ, fixe toute l'inégalité : la courbe de Lorenz, l'indice de Gini et la part des plus aisés. Avec σ = 1, le Gini vaut 0,52 et les 10 % les plus aisés reçoivent 39 % du revenu total. La moyenne dépasse toujours la médiane : dire que « le revenu moyen augmente » ne dit pas que le revenu de la personne du milieu augmente. Pour les très hauts revenus, les économistes préfèrent une loi de Pareto, dont la queue est encore plus épaisse que celle de la log-normale.
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Placements : la moyenne monte, la plupart des trajectoires baissent
Un placement peut-il monter en moyenne et baisser presque toujours ? Le modèle de base de la finance (Black et Scholes, 1973) suppose que le prix d'un actif subit à chaque instant de petites variations proportionnelles, de rendement moyen μ et de volatilité σ. Le prix au bout de T années suit alors une loi log-normale : moyenne S₀eμT, mais médiane S₀e(μ − σ²/2)T.
moyenne S₀eμtmédiane S₀e(μ − σ²/2)t5 % et 95 % des trajectoires
Quarante trajectoires parmi 2 000, d'un capital initial de 100, en échelle logarithmique. La ligne horizontale grise marque le capital de départ.
Répartition des 2 000 capitaux finaux, en échelle logarithmique : une cloche, signe d'une loi log-normale. Vert : la loi théorique.
Capital moyen final : formule · simulation—
Capital médian final : formule · simulation—
Probabilité de finir sous le capital de départ : formule · simulation—
Part des trajectoires sous la moyenne : Φ(σ√T/2) · simulation—
Rendement « typique » μ − σ²/2 (par an)—
Écart de la moyenne simulée, en erreurs-types—
Ce qu'il faut voir. La volatilité coûte σ²/2 de rendement par an à la trajectoire typique. Avec μ = 5 % et σ = 40 %, la moyenne grimpe de 5 % par an, mais la médiane baisse de 3 % par an : sur 20 ans, le capital moyen passe de 100 à 272, tandis que plus de six trajectoires sur dix finissent sous 100. La moyenne est portée par quelques trajectoires exceptionnelles, de plus en plus rares quand l'horizon s'allonge. Avec une action prudente (σ = 15 %), le coût de la volatilité n'est que de 1,1 % par an et la médiane monte franchement. C'est pourquoi la diversification, qui réduit σ, augmente le rendement typique même quand elle ne change pas le rendement moyen.
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Les rares géants : la moyenne qu'on ne voit pas
Pourquoi la moyenne d'une loi log-normale est-elle si difficile à estimer ? Parce qu'elle est portée par des valeurs rarissimes. On peut le calculer exactement : la moitié de la moyenne provient des valeurs supérieures à eμ + σ², qui ne représentent qu'une proportion Φ(−σ) de la population. Avec σ = 3, c'est 0,13 % des valeurs : il faut en moyenne 741 tirages pour en voir une seule.
Moyenne courante de trente échantillons au fil des tirages, divisée par la vraie moyenne (1 = estimation juste), axes logarithmiques. Les sauts brusques sont les géants : un seul tirage relève toute la moyenne.
Sur 400 échantillons de taille n : répartition de x̄/E[X] (violet) et de l'estimateur du maximum de vraisemblance em̂ + s²/2/E[X] (vert), en échelle logarithmique.
Part de la moyenne portée par la fraction q de la population la plus élevée (axe horizontal logarithmique). Le point rouge : la moitié de la moyenne, portée par Φ(−σ).
Vraie moyenne eσ²/2 (avec μ = 0) · médiane 1—
Proportion des 400 échantillons dont la moyenne sous-estime la vraie—
Maximum de vraisemblance : valeur médiane · erreur quadratique relative—
Fraction portant la moitié de la moyenne : Φ(−σ) · tirages pour en voir une—
Contrôle par intégration : part de la moyenne au-delà de eσ²—
Ce qu'il faut voir. La moyenne de l'échantillon est un estimateur sans biais : en moyenne sur une infinité d'échantillons, elle tombe juste. Mais cette moyenne-là est elle aussi portée par de rares échantillons chanceux qui contiennent un géant ; l'échantillon typique n'en contient aucun et sous-estime la vraie moyenne, souvent de beaucoup. Tant que n reste petit devant 1/Φ(−σ), la plupart des échantillons se trompent par défaut. Quand on sait que la loi est log-normale, mieux vaut passer par les logarithmes : l'estimateur em̂ + s²/2, où m̂ et s² sont la moyenne et la variance de ln X, se trompe beaucoup moins. C'est le même phénomène que la planche 4 : la moyenne d'une loi log-normale décrit un monde où presque personne ne vit.
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Une loi née d'une question de Galton
1879Francis Galton remarque que de nombreux phénomènes croissent par effets multiplicatifs ; à sa demande, Donald McAlister publie « La loi de la moyenne géométrique », première étude mathématique de la loi log-normale.
1903Jacobus Kapteyn construit une machine à billes qui produit des répartitions penchées et montre qu'elles deviennent normales après transformation logarithmique.
1931Robert Gibrat publie Les Inégalités économiques et énonce la loi de l'effet proportionnel : la croissance d'une entreprise est indépendante de sa taille, d'où des tailles log-normales.
1941Andreï Kolmogorov démontre que les tailles des fragments d'un broyage répété tendent vers une loi log-normale.
1950Philip Sartwell observe que les durées d'incubation de nombreuses maladies infectieuses suivent une loi log-normale.
1957John Aitchison et James Brown consacrent un livre entier à la loi log-normale et à ses usages en économie.
1973Fischer Black et Myron Scholes fondent la valorisation des options sur un prix d'actif log-normal.
Produits, pas sommes
La loi normale vient des causes qui s'ajoutent, la log-normale de celles qui se multiplient. Le logarithme passe de l'une à l'autre.
Trois centres
Mode eμ − σ² < médiane eμ < moyenne eμ + σ²/2. Les écarts se comptent en facteurs multiplicatifs eσ.
La moyenne trompe
Portée par de rares géants, elle s'éloigne de la valeur typique quand σ grandit : placements, revenus, tailles de fragments.
Pour aller plus loin
Moments. E[Xk] = ekμ + k²σ²/2 : tous les moments existent, mais ils grandissent si vite qu'ils ne suffisent pas à déterminer la loi (Heyde, 1963, a construit d'autres lois ayant exactement les mêmes moments).
Produit de log-normales. Le produit de deux log-normales indépendantes est log-normal (les logarithmes s'ajoutent), mais leur somme ne l'est pas : c'est une difficulté classique en assurance et en télécommunications.
Moyenne géométrique. La moyenne géométrique d'un échantillon, (x₁x₂…xₙ)1/n, estime la médiane eμ ; c'est la bonne mesure du rendement typique d'un placement sur plusieurs années.
Log-normale ou Pareto ? Les deux lois produisent de longues queues ; sur un graphique log-log de la queue, la Pareto donne une droite, la log-normale une courbe qui finit par plonger.
Pages voisines. La loi de Laplace-Gauss et ses applications ; le théorème central limite ; le mouvement brownien (Bachelier et Black-Scholes).