La loi des grands nombres et ses applications
Pourquoi la fréquence finit par révéler la probabilité — et ce que la loi ne promet pas.
Lançons une pièce : la proportion de piles obtenue se rapproche de 1/2 à mesure que les lancers s’accumulent. Ce constat, que tout le monde pressent, est un théorème : la loi des grands nombres. Elle affirme que la moyenne de n réalisations indépendantes d’une même variable aléatoire se rapproche de son espérance quand n grandit. C’est elle qui donne un sens concret à une probabilité, qui justifie les sondages, les simulations, l’assurance et la rentabilité des casinos.
| Énoncé | Ce qu’il affirme | Auteur |
|---|---|---|
| Loi faible | pour tout écart ε > 0, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) tend vers 0 quand n tend vers l’infini | Jacques Bernoulli (1713) pour les fréquences ; Tchebychev (1867) en général |
| Loi forte | avec probabilité 1, la suite X̄ₙ tend vers μ : presque toutes les trajectoires convergent | Borel (1909) pour les fréquences ; Kolmogorov (1930) en général |
| Vitesse | l’écart typique est σ/√n : il faut 100 fois plus d’essais pour gagner un chiffre | De Moivre (1733), Laplace (1812) |
| Conditions | variables indépendantes, de même loi, d’espérance finie | la planche 5 montre ce qui arrive sans indépendance |
Mesurer la convergence : la probabilité de se tromper
Fixons une tolérance ε, par exemple 2 points de pourcentage. Après n lancers d’une pièce de probabilité p, quelle est la probabilité que la fréquence observée s’écarte de p de plus de ε ? La loi binomiale la donne exactement. La loi des grands nombres dit seulement qu’elle tend vers 0. Deux inégalités en donnent une majoration utilisable sans calcul : celle de Bienaymé-Tchebychev, pq/(nε²), et celle de Hoeffding, 2e^(−2nε²), bien plus fine pour les grands n.
Ce que la loi ne dit pas : les écarts ne se compensent pas
Un joueur a obtenu 60 piles et 40 faces. « Les faces vont rattraper leur retard », pense-t-il. C’est faux : la pièce n’a pas de mémoire. La fréquence se rapproche de 1/2 non pas parce que l’écart se comble, mais parce qu’il est noyé dans un nombre croissant de lancers. L’écart absolu entre le nombre de piles et n/2 grandit même, en moyenne comme √n ; seul l’écart relatif, divisé par n, se réduit.
Une application célèbre : calculer π avec des aiguilles
En 1777, Georges-Louis Leclerc de Buffon pose ce problème : on jette une aiguille de longueur L sur un parquet dont les lattes ont une largeur d ≥ L. Quelle est la probabilité qu’elle coupe une rainure ? La réponse, 2L/(πd), fait apparaître π. Par la loi des grands nombres, la fréquence des aiguilles qui coupent une rainure se rapproche de cette probabilité ; on peut donc mesurer π en jetant des aiguilles : π ≈ 2L·n / (d·k), où k est le nombre d’aiguilles qui coupent.
Assurance et casino : le risque qui disparaît avec le nombre
Un individu ne sait pas s’il aura un sinistre cette année ; un assureur qui couvre des milliers de clients sait presque exactement combien il en aura. La loi des grands nombres transforme une incertitude individuelle en quasi-certitude collective : c’est le principe de la mutualisation des risques. Le casino en tire le même bénéfice, avec un léger avantage à chaque mise.
Chaque client a la probabilité p d’un sinistre dans l’année, qui coûte 10 000 €. L’assureur fait payer la prime pure p × 10 000 €, augmentée d’un chargement de sécurité θ. Il est en perte si les sinistres dépassent les primes encaissées.
À la roulette, un joueur mise 1 € sur le rouge : il gagne 1 € avec la probabilité 18/37, perd 1 € sinon. Le casino gagne en moyenne 1/37 € par mise, soit 2,7 centimes. Sur une seule mise, le casino perd presque une fois sur deux ; sur des millions de mises, presque jamais.
Signature — quand les tirages ont une mémoire
La loi des grands nombres suppose des tirages indépendants. Que se passe-t-il quand chaque résultat influence les suivants ? Deux exemples aux conclusions opposées. Une chaîne de Markov, comme une météo où le temps de demain dépend de celui d’aujourd’hui, obéit encore à une loi des grands nombres, mais plus lentement. L’urne de Pólya, où chaque tirage renforce la couleur tirée, voit aussi sa fréquence converger… mais vers une limite aléatoire, différente pour chaque expérience.
S’il fait beau aujourd’hui, il pleut demain avec la probabilité a ; s’il pleut, il fait beau demain avec la probabilité b. Sur le long terme, la proportion de jours de beau temps tend vers b/(a + b), quel que soit le temps du premier jour. Mais les jours se ressemblent par séries, et la convergence est plus lente qu’avec des jours indépendants.
Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. On tire une boule, on la remet avec une boule supplémentaire de la même couleur, et l’on recommence. Les riches s’enrichissent : une couleur en avance a plus de chances d’être tirée. La proportion de rouges converge, mais sa limite suit la loi bêta (r ; v) : partant d’une boule de chaque couleur, toutes les limites entre 0 et 1 sont également probables.
Repères historiques
- 1713Publication posthume de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli : première démonstration que la fréquence converge vers la probabilité, son « théorème d’or ».
- 1777Buffon publie le problème de l’aiguille dans son Essai d’arithmétique morale.
- 1837Siméon Denis Poisson invente l’expression « loi des grands nombres ».
- 1867Pafnouti Tchebychev démontre la loi faible pour des variables quelconques de variance bornée, grâce à son inégalité.
- 1906Andreï Markov étend la loi des grands nombres à des variables dépendantes, en inventant les chaînes qui portent son nom, pour répondre à Nekrassov qui soutenait que l’indépendance était indispensable.
- 1909Émile Borel démontre la loi forte pour les fréquences ; Kolmogorov la généralise en 1930.
- 1923George Pólya et Florian Eggenberger étudient l’urne qui porte leur nom, pour modéliser la contagion.
- 1963Wassily Hoeffding publie son inégalité, qui donne une décroissance exponentielle des erreurs.
Ce qu’il faut retenir
La moyenne converge
La moyenne de n tirages indépendants se rapproche de l’espérance, avec une erreur typique σ/√n. La probabilité d’un écart donné décroît exponentiellement vite.Les écarts ne se rattrapent pas
La fréquence converge parce que l’écart absolu, qui grandit en √n, est divisé par n. Le hasard n’a pas de mémoire et ne « compense » jamais.L’indépendance compte
Avec une dépendance qui s’oublie (Markov), la loi tient encore, plus lentement. Avec une dépendance qui se renforce (Pólya), la fréquence converge vers une limite elle-même aléatoire.Pour aller plus loin
Démonstration de la loi faible. La moyenne X̄ₙ a pour variance σ²/n. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²), qui tend vers 0. C’est la démonstration de Tchebychev ; la loi forte demande des outils plus fins (lemme de Borel-Cantelli).
Et après ? Le théorème central limite précise la forme des fluctuations : √n(X̄ₙ − μ)/σ suit approximativement une loi normale. La loi du logarithme itéré donne la taille exacte des plus grands écarts : √(2n ln ln n).
Quand l’espérance n’existe pas. Pour la loi de Cauchy, la moyenne de n tirages a la même loi qu’un seul tirage : aucune convergence. La page sur la théorie des probabilités le montre en détail.