Elle ressemble à une cloche de Gauss, mais elle n'a ni moyenne ni variance. Un phare qui tourne, une raie spectrale, le rapport de deux mesures bruitées : cinq planches pour comprendre la loi qui met en défaut les règles les plus familières de la statistique.
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Définition en une phrase
La loi de Cauchy est la loi du point où un rayon, lancé dans une direction tirée au hasard, vient frapper une droite. Sa densité, centrée en x₀ et de largeur h, est
f(x) = 1π h · 11 + ((x − x₀)/h)²
Elle est symétrique autour de x₀, qui en est la médiane ; la moitié des valeurs tombe entre x₀ − h et x₀ + h. Sa fonction de répartition est simple : F(x) = 1/2 + arctan((x − x₀)/h)/π. Mais sa queue décroît seulement comme 1/x², si lentement que l'intégrale ∫ x f(x) dx ne converge pas : la loi de Cauchy n'a pas d'espérance, et donc pas de variance. Le physicien la connaît sous le nom de profil de Lorentz.
Planche
Question posée
Ce que l'on vérifie
1 · Le phare
D'où vient cette loi ?
Impacts d'un phare tournant contre la densité ; 50 % entre ± h
2 · Retrouver le phare
Comment estimer x₀ quand la moyenne ne marche pas ?
Moyenne, médiane et maximum de vraisemblance sur 400 séries
3 · La raie spectrale
Pourquoi la physique en est-elle pleine ?
Résonance et spectre d'une oscillation amortie contre le profil de Lorentz
4 · Le quotient
Que vaut le rapport de deux mesures bruitées ?
Quotient de deux normales : simulation contre intégrale exacte
5 · L'espérance introuvable
Pourquoi n'y a-t-il pas de moyenne ?
Intégrales tronquées tendant vers ln k / π ; un seul géant fait la somme
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Le phare : une direction au hasard, un impact sur la côte
D'où vient cette loi ? Un phare est en mer, à la distance h d'une côte rectiligne, en face du point x₀. Il tourne et lance des éclats brefs dans des directions au hasard ; chaque éclat qui part vers la côte la frappe en un point x. Si l'angle θ du rayon (compté depuis la perpendiculaire) est uniforme entre −90° et 90°, alors x = x₀ + h·tan θ suit la loi de Cauchy.
Le phare et ses éclats. Les traits sur la côte marquent les impacts ; la fenêtre ne montre que la portion de côte entre −10 et 10, beaucoup d'éclats tombent plus loin.
Répartition des impacts (violet) et densité de Cauchy (vert). Entre les deux traits rouges, x₀ ± h : la moitié des impacts.
Nombre d'éclats—
Part des impacts entre x₀ − h et x₀ + h · théorie 50 %—
Part des impacts à plus de 10h de x₀ · théorie 1 − (2/π) arctan 10—
Médiane des impacts · x₀—
Quartiles des impacts · x₀ ± h—
Moyenne des impacts (elle ne se stabilise pas)—
Ce qu'il faut voir. Les rayons partent avec la même probabilité dans toutes les directions, mais leurs impacts se concentrent en face du phare : un petit changement d'angle y déplace peu le point d'arrivée. Près de l'horizontale, au contraire, la tangente explose et l'éclat file au loin. Six impacts sur cent environ tombent à plus de dix fois la distance h. La médiane et les quartiles des impacts se stabilisent sur x₀ et x₀ ± h ; la moyenne, elle, fait de brusques sauts chaque fois qu'un éclat rasant arrive de très loin, et ne se fixe jamais.
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Retrouver le phare : la moyenne n'apprend rien
Comment estimer x₀ à partir de n impacts ? Le réflexe est d'en faire la moyenne. Pour la loi de Cauchy, c'est une catastrophe : la moyenne de n impacts suit exactement la même loi qu'un seul impact. On compare ici trois estimateurs sur 400 séries de n impacts (vrai x₀ = 0, h = 1) : la moyenne, la médiane et le maximum de vraisemblance, qui choisit le x₀ rendant les impacts observés les plus plausibles.
Répartition des 400 estimations : moyenne (orange), médiane (bleu), maximum de vraisemblance (vert). La courbe grise est la loi de Cauchy d'un seul impact.
Dispersion des estimateurs (écart interquartile) selon n, axes logarithmiques. Points : mesures ; traits : théorie. La moyenne reste à 2 quelle que soit n.
Écart interquartile de la moyenne · théorie 2h (comme un seul impact)—
Écart interquartile de la médiane · théorie 1,349·πh/(2√n)—
Écart interquartile du maximum de vraisemblance · théorie 1,349·h√(2/n)—
Rapport des variances médiane / vraisemblance · limite π²/8—
Contrôle de la vraisemblance : dérivée au maximum trouvé—
Séries où la moyenne est à plus de 10 du vrai x₀—
Ce qu'il faut voir. L'histogramme orange ne se resserre jamais : faire la moyenne de mille impacts est exactement aussi imprécis qu'en garder un seul, car la loi de Cauchy est stable par moyenne. C'est le contre-exemple au théorème central limite que Poisson signalait dès 1824. La médiane, elle, converge normalement, en 1/√n. Le maximum de vraisemblance fait encore mieux : sa variance est 2h²/n contre π²h²/(4n) pour la médiane, soit un gain de π²/8 ≈ 1,23, environ 19 % d'impacts économisés. Sa recherche est délicate, car la vraisemblance de Cauchy peut avoir plusieurs sommets ; on part de la médiane et on vérifie que la dérivée s'annule au point trouvé.
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La raie spectrale : la loi de Cauchy en physique
Pourquoi la physique en est-elle pleine ? Parce que tout ce qui oscille en s'amortissant produit un spectre de Cauchy. Un oscillateur de pulsation propre ω₀, amorti au taux γ, répond à une excitation de pulsation ω avec une puissance qui, près de la résonance, suit le profil de Lorentz : (γ/2)² / ((ω − ω₀)² + (γ/2)²). C'est la forme des raies spectrales des atomes, de la résonance d'un circuit électrique, et des particules instables (formule de Breit et Wigner).
calcul exactprofil de Lorentz (Cauchy)pulsation choisielargeur à mi-hauteur
Le signal émis après une impulsion : une oscillation e−γt/2 cos(ω₀t) qui s'éteint. Plus γ est grand, plus elle meurt vite.
Son spectre de puissance (calculé par une intégrale de Fourier), ramené à 1 au sommet, comparé au profil de Lorentz. La largeur à mi-hauteur vaut γ.
Spectre en ω : intégrale numérique · formule exacte—
écart—
Largeur à mi-hauteur mesurée (dichotomie) · γ—
Écart maximal entre spectre exact et profil de Lorentz—
Facteur de qualité Q = ω₀/γ—
Durée de vie 1/γ · largeur × durée de vie—
Ce qu'il faut voir. Une oscillation qui s'éteint comme e−γt/2 a un spectre de Cauchy de largeur γ : plus la vie est brève, plus la raie est large, et le produit largeur × durée de vie vaut 1. C'est la version probabiliste d'un fait profond : la transformée de Fourier d'une exponentielle e−|t| est une densité de Cauchy, et inversement la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est e−|t|. Pour un amortissement faible (Q grand), le profil de Lorentz épouse presque parfaitement le spectre exact ; quand l'amortissement grandit, la raie devient asymétrique et l'écart se voit.
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Le quotient de deux mesures bruitées
Que vaut le rapport de deux mesures bruitées ? On mesure X et Y, chacune avec une erreur normale d'écart-type 1, autour de leurs vraies valeurs μX et μY, et l'on calcule R = X/Y : un rendement, un rapport coût-efficacité, une vitesse obtenue comme distance sur durée. Quand μX = μY = 0, R suit exactement la loi de Cauchy. Quand le dénominateur n'est pas loin de 0, le quotient en garde la queue épaisse.
Les couples (Y, X) tirés au hasard. Le quotient X/Y est la pente de la droite qui joint l'origine au point : un point proche de l'axe vertical donne une pente énorme. En rouge, la bande |Y| < 0,1.
Répartition de 20 000 quotients sur [−10 ; 10] (violet), loi exacte calculée par intégration (vert), et approximation normale habituelle (orange pointillé).
P(|R| > 10) : simulation · calcul exact—
Médiane de R : simulation · calcul exact—
Écart interquartile : simulation · calcul exact—
Contrôle Cauchy (μ = 0) : F(1) exact − 3/4—
P(|R| > 10) selon l'approximation normale—
Part des dénominateurs |Y| < 0,1—
Ce qu'il faut voir. Le quotient ne se comporte bien que si le dénominateur est loin de 0, en écarts-types. Avec deux mesures centrées, la pente d'un point tiré au hasard dans un nuage rond est la tangente d'un angle uniforme : c'est le phare de la planche 1, et R est exactement de Cauchy (F(1) = 3/4). Avec un dénominateur à 1,5 écart-type de 0, il arrive encore assez souvent que Y tombe près de zéro par malchance et fasse exploser le rapport : près de 8 % des quotients dépassent 10 en valeur absolue, quand l'approximation normale habituelle en annonce 4·10⁻⁸. À 5 écarts-types, le quotient redevient presque normal. Morale pratique : avant de calculer un rapport, regardez à combien d'écarts-types de zéro se trouve le dénominateur.
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L'espérance introuvable
Pourquoi la loi de Cauchy n'a-t-elle pas de moyenne ? Elle est symétrique : on s'attend à ce que sa moyenne soit 0. Mais l'intégrale ∫ x f(x) dx ne converge pas, ce qui a deux conséquences visibles.
Calculons l'aire signée de x f(x) entre −A et k·A, puis faisons grandir A. Si l'on tronque symétriquement (k = 1), les deux côtés se compensent et on trouve 0. Mais si l'on va k fois plus loin à droite qu'à gauche, la limite vaut ln k / π, et l'on peut obtenir n'importe quel nombre en choisissant k.
La fonction x f(x) : aire positive (bleu) à droite, négative (orange) à gauche, entre −A et kA. L'axe horizontal est déformé (échelle arcsinus hyperbolique) pour montrer des bornes immenses.
L'aire signée selon la borne A (axe logarithmique) : elle se fixe sur ln k / π (trait rouge), et non sur 0.
Pour une loi normale, la somme de n valeurs est l'œuvre de tout le monde : la plus grande ne pèse qu'une part infime du total. Pour la loi de Cauchy, la plus grande valeur, prise seule, représente une part considérable de la somme des valeurs absolues, et cette part ne diminue que comme 1/ln n.
Un échantillon de taille n : valeurs absolues triées de la plus grande à la plus petite, en part cumulée de la somme. Cauchy (violet) contre loi normale (bleu).
Part médiane de la plus grande valeur dans la somme des |X|, sur 15 à 200 échantillons selon n. Traits : ordre de grandeur théorique, π/(2 ln n) pour Cauchy.
Cauchy : part de la plus grande valeur (médiane sur plusieurs échantillons)—
Normale : part de la plus grande valeur—
Cauchy : part des 1 % plus grandes valeurs—
Normale : part des 1 % plus grandes valeurs—
Cauchy : Σ|X| / (n · (2/π) ln n), proche de 1 pour n grand—
Normale : Σ|X| / (n·√(2/π)) · attendu 1—
Ce qu'il faut voir. Une espérance doit être la même quelle que soit la manière de découper l'intégrale ; ici, chaque côté contient une aire infinie, et la différence de deux infinis vaut ce que l'on veut : 0 en tronquant symétriquement, ln 2/π ≈ 0,22 en allant deux fois plus loin à droite, 1 avec k = eπ ≈ 23,1. Dans un échantillon, cela se traduit par la tyrannie des géants : la somme de n valeurs absolues croît comme n ln n au lieu de n, et la plus grande valeur en représente encore une part notable même sur cent mille tirages. C'est pourquoi la moyenne d'un échantillon de Cauchy ne se stabilise jamais : chaque nouveau géant la déplace autant que tous les autres réunis.
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Une courbe aux nombreux noms
XVIIᵉ s.Pierre de Fermat étudie la courbe y = a³/(x² + a²) ; Guido Grandi la décrit à son tour en 1703.
1748Maria Gaetana Agnesi la présente dans ses Instituzioni analitiche ; une mauvaise traduction anglaise de son nom italien (versiera) la baptise « sorcière d'Agnesi ».
1824Siméon Denis Poisson remarque que pour cette loi la moyenne de nombreuses observations n'est pas plus précise qu'une seule : un contre-exemple à la méthode de Laplace.
1853Augustin Cauchy, dans une polémique avec Irénée-Jules Bienaymé sur les moindres carrés, l'utilise pour montrer qu'une méthode d'estimation peut échouer : la loi prend son nom.
1906Hendrik Lorentz décrit la forme des raies spectrales élargies par les collisions : le profil de Lorentz est une densité de Cauchy.
1925Paul Lévy range la loi de Cauchy parmi les lois stables : la moyenne de variables de Cauchy est encore de Cauchy, de même largeur.
1936Gregory Breit et Eugene Wigner donnent la forme de la résonance d'une particule instable, encore une lorentzienne.
1988Stephen Gull popularise le « problème du phare » comme exercice d'inférence bayésienne : retrouver la position du phare à partir des seuls impacts.
Un angle au hasard
La loi de Cauchy est la loi de la tangente d'un angle uniforme : phare, pente d'un point gaussien, quotient de deux normales centrées.
Pas de moyenne, une médiane
La médiane et les quartiles existent et s'estiment bien ; l'espérance et la variance n'existent pas, et la moyenne d'échantillon n'apprend rien.
La raie des physiciens
Toute oscillation amortie a un spectre de Lorentz : la largeur de la raie est l'inverse de la durée de vie.
Pour aller plus loin
Stabilité. Si X₁, …, Xₙ sont indépendantes de Cauchy de largeurs h₁, …, hₙ, leur somme est de Cauchy de largeur h₁ + … + hₙ : les largeurs s'ajoutent, alors que pour la loi normale ce sont les variances. La moyenne a donc la largeur (h₁ + … + hₙ)/n.
Inverse. Si X est de Cauchy centrée de largeur 1, alors 1/X l'est aussi : le phare vu de la côte et la côte vue du phare.
Loi de Student. La loi de Cauchy est la loi de Student à un degré de liberté ; quand le nombre de degrés augmente, la queue s'amincit jusqu'à la loi normale.
Inégalités. Bienaymé-Tchebychev ne s'applique pas (pas de variance) et la loi des grands nombres non plus (pas d'espérance). Seules les méthodes fondées sur les rangs et les quantiles restent sûres.
Pages voisines. La loi normale (la course des moyennes contre Cauchy), les estimateurs, la loi de Laplace-Gauss et ses queues, la loi log-normale.