La courbe en cloche est née pour décrire les erreurs de mesure des astronomes. On la retrouve aujourd'hui dans les usines, dans la surveillance des machines, dans la gestion des risques financiers et dans la conception des postes de pilotage. Cinq planches pour voir où elle sert, et où elle trompe.
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Ce qu'il faut savoir avant de commencer
La loi de Laplace-Gauss (ou loi normale) décrit une grandeur qui résulte de nombreuses petites causes indépendantes qui s'ajoutent : elle se concentre autour d'une moyenne μ, et s'en écarte d'autant plus rarement que l'écart est grand.
f(x) = 1σ √(2π) · e−(x − μ)² / (2σ²)
Deux réglages suffisent : la moyenne μ place le sommet, l'écart-type σ mesure la dispersion. On note X ∼ N(μ ; σ²). La fonction de répartition Φ(z) donne la probabilité qu'une variable N(0 ; 1) soit inférieure à z ; pour toute loi normale, P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), et le nombre z = (x − μ)/σ se lit « à combien d'écarts-types de la moyenne ». Repères : 68,27 % des valeurs à moins d'un σ, 95,45 % à moins de deux, 99,73 % à moins de trois.
La forme de la courbe, ses aires et la standardisation sont détaillées dans la page « La loi normale ». Celle-ci part des usages : à chaque planche, une question concrète, une décision à prendre, et des chiffres que la page recalcule par deux méthodes indépendantes.
Planche
Question posée
Ce que l'on vérifie
1 · Deux lois des erreurs
Faut-il faire la moyenne de ses mesures ?
Maximum de vraisemblance contre moyenne et médiane ; efficacité π/2
2 · Tolérances et rebuts
Combien de pièces une machine va-t-elle rater ?
Taux de rebut par Φ contre intégration et contre une chaîne simulée ; Six Sigma
3 · Carte de contrôle
Comment savoir qu'une machine s'est déréglée ?
Durée moyenne avant alarme : formule 1/p contre simulation
4 · Les queues
Un krach boursier était-il « impossible » ?
Probabilités de queue normale et de Student, jusqu'à 10⁻¹¹³
5 · L'homme moyen
Peut-on dessiner un cockpit pour le pilote moyen ?
Deux lois des erreurs : Laplace (1774) et Gauss (1809)
Un astronome mesure plusieurs fois la position d'une étoile ; chaque mesure est entachée d'une erreur. Quelle valeur retenir ? Tout dépend de la loi supposée pour les erreurs. Laplace proposa d'abord une loi en pointe, f(x) ∝ e−|x|/b ; Gauss montra que si l'on veut que la moyenne soit la meilleure réponse, la loi des erreurs doit être la loi normale.
L'outil de comparaison est la vraisemblance : pour chaque position θ envisagée, elle mesure à quel point les mesures observées sont plausibles si la vraie position est θ. On retient le θ qui la rend maximale.
loi de Gauss, moyenneloi de Laplace, médianemesures (vraie position : 0)
Les deux lois des erreurs, de même variance 1 : la cloche de Gauss et la pointe de Laplace. Les traits noirs sont les mesures ; triangles : moyenne (bleu) et médiane (orange).
Logarithme de la vraisemblance selon la position θ supposée, chaque courbe ramenée à 0 en son maximum : une parabole pour Gauss, une ligne brisée pour Laplace.
3 000 séries de n mesures : répartition de la moyenne (bleu) et de la médiane (orange). En vert pointillé, la loi exacte N(0 ; 1/n) de la moyenne quand les erreurs sont gaussiennes.
Moyenne des mesures—
Maximum de la vraisemblance de Gauss (section dorée) · écart—
Médiane des mesures—
Maximum de la vraisemblance de Laplace · écart—
Var(médiane) / Var(moyenne) sur 3 000 séries—
n · Var(moyenne), attendu 1 (variance des erreurs)—
Ce qu'il faut voir. La vraisemblance de Gauss est une parabole dont le sommet tombe exactement sur la moyenne ; celle de Laplace est une ligne brisée dont le sommet tombe sur la médiane, la valeur du milieu. Chaque loi des erreurs désigne donc son estimateur. Avec des erreurs gaussiennes, la médiane est plus dispersée que la moyenne : le rapport des variances tend vers π/2 ≈ 1,571 quand n grandit, ce qui revient à gaspiller une mesure sur trois. Avec des erreurs de Laplace, c'est l'inverse : la moyenne est deux fois plus dispersée que la médiane (rapport → 1/2). La moyenne a ceci de remarquable que n · Var(moyenne) vaut 1 dans les deux cas : elle ne dépend que de la variance des erreurs, pas de leur forme.
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Tolérances et rebuts : combien de pièces seront ratées ?
Une machine tourne des axes de 10 mm de diamètre ; le client accepte une tolérance de ± t autour de 10 mm. Les diamètres produits suivent une loi normale de moyenne μ (le réglage) et d'écart-type σ (la précision de la machine). La part de pièces hors tolérance se lit directement sur la cloche.
La chaîne : chaque pièce est mesurée au calibre ; celles qui sortent de la tolérance (rouge) tombent au rebut. La taille des disques exagère l'écart au diamètre nominal.
Loi des diamètres produits. Entre les traits rouges : la tolérance ; en rouge, les deux queues qui partent au rebut.
Capabilité Cp = 2t / 6σ (précision seule)—
Capabilité Cpk (précision et centrage)—
Rebut prévu par Φ—
Contrôle par intégration de la densité (écart relatif)—
Rebut observé sur la chaîne · écart à la prévision—
Distance aux limites, en écarts-types—
Ce qu'il faut voir. Le rebut ne dépend que de deux nombres : la distance de chaque limite au réglage, comptée en écarts-types. Décentrer la machine coûte cher, car la queue qui se rapproche d'une limite grossit bien plus vite que l'autre ne maigrit. Le programme « Six Sigma » demande que les limites soient à six écarts-types du réglage : centré, le rebut tombe à 0,002 pièce par million. Mais les industriels admettent qu'une machine dérive avec le temps d'environ 1,5 σ ; il reste alors 4,5 σ jusqu'à la limite la plus proche, d'où le chiffre célèbre de 3,4 pièces défectueuses par million. Laissez tourner la chaîne : le taux observé rejoint la prévision, avec un écart qui fond comme 1/√n.
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La carte de contrôle : repérer la machine qui se dérègle
Comment savoir si une machine s'est déréglée sans attendre les réclamations ? En 1924, Walter Shewhart propose de prélever régulièrement n pièces, d'en calculer la moyenne x̄ et de la reporter sur un graphique. Tant que la machine est bien réglée, x̄ suit une loi normale d'écart-type σ/√n ; on donne l'alarme dès qu'un point sort des limites ± 3σ/√n.
La machine est bien réglée. Les points qui sortent des limites sont de fausses alarmes.
Chaque point est la moyenne d'un prélèvement. Traits rouges pointillés : limites de contrôle ± 3σ/√n. Zone orange : période où la machine a dérivé de δ·σ.
Probabilité d'une fausse alarme par point, 2Φ(−3)—
Durée moyenne avant fausse alarme : 1/p (formule) · simulée—
Probabilité d'alarme par point après la dérive—
Durée moyenne de détection : 1/p (formule) · simulée—
Sur le graphique : points tracés · alarmes—
Dernière dérive détectée après—
Ce qu'il faut voir. Les limites à trois écarts-types sont un compromis. Une machine bien réglée produit tout de même une fausse alarme tous les 370 points en moyenne (1/0,0027) : assez rare pour qu'on ne les arrête pas pour rien. Une dérive d'un écart-type avec des prélèvements de 4 pièces fait sortir un point sur six environ : elle est repérée en 6,3 points en moyenne. Agrandir n resserre les limites comme 1/√n et accélère la détection, au prix de mesures plus nombreuses. Les durées mesurées par simulation retrouvent la formule 1/p, car chaque point est un tirage indépendant : la durée avant alarme suit une loi géométrique.
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Les queues : ce que la cloche sous-estime
Un krach boursier était-il « impossible » ? Beaucoup de modèles financiers supposent que les variations quotidiennes des cours sont normales. Comparons avec une loi de Student à ν degrés de liberté, ramenée à la même variance : au centre, les deux courbes se ressemblent ; loin du centre, dans les queues, elles diffèrent de dizaines d'ordres de grandeur.
loi normaleloi de Student de même variancebaisse étudiée
Les deux densités à l'échelle ordinaire, en écarts-types. Elles semblent presque identiques.
Les mêmes densités sur une échelle logarithmique : la normale plonge en parabole, la Student décroît bien plus lentement.
Baisse exprimée en écarts-types z—
Probabilité d'une telle baisse un jour donné : loi normale—
… avec la loi de Student—
Attente moyenne (252 séances par an) : normale · Student—
Contrôle normale : intégration contre fraction continue (écart relatif)—
Contrôle Student : intégration contre fonction bêta (écart relatif)—
Ce qu'il faut voir. Une baisse de 5 σ est déjà rarissime pour la loi normale (une séance sur 3,5 millions, soit une fois tous les 14 000 ans), mais banale pour une Student à 3 degrés (une fois tous les deux ans et demi). Le 19 octobre 1987, l'indice Dow Jones a perdu 22,6 % en une séance. Avec un écart-type quotidien de 1 %, la loi normale attribue à cet événement une probabilité d'environ 2·10⁻¹¹³ : il faudrait attendre en moyenne 10¹¹⁰ ans, quand l'Univers n'en a que 1,4·10¹⁰. La Student à 3 degrés, elle, en fait un événement d'une fois tous les deux siècles environ. Ce n'est pas la chance qui a manqué, c'est le modèle : la cloche est faite pour les sommes de petites causes indépendantes, pas pour les paniques où tout le monde vend en même temps. Les calculs de queue utilisent une fraction continue (normale) et la fonction bêta incomplète (Student) ; une intégration numérique indépendante les confirme, même à 10⁻¹¹³, en travaillant sur les logarithmes.
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L'homme moyen n'existe pas
Peut-on dessiner un poste de pilotage pour le pilote moyen ? En 1952, l'armée de l'air américaine fait mesurer 4 063 pilotes sur dix dimensions du corps. Gilbert Daniels appelle « moyen » sur une dimension un pilote situé dans le tiers central (30 % de la population autour de la moyenne). Combien sont moyens sur les dix dimensions à la fois ? Aucun. Chaque dimension suit pourtant une belle loi normale.
Ici, 4 063 pilotes virtuels reçoivent dix mesures suivant chacune la loi de Laplace-Gauss, liées entre elles par une corrélation ρ (un pilote grand a souvent de longs bras). La proportion de pilotes « moyens partout » se calcule aussi exactement, par une intégrale.
Les pilotes selon les deux premières mesures, en écarts-types. Le carré est la zone « moyenne » sur ces deux dimensions. En bleu : moyens sur les deux premières ; en rouge (gros points) : moyens sur les k dimensions exigées.
Proportion de pilotes moyens sur 1, 2, … 10 dimensions, en échelle logarithmique : calcul exact (vert), dimensions indépendantes (gris pointillé), échantillon de 4 063 pilotes (violet).
Bande « moyenne » sur chaque dimension—
Proportion exacte de pilotes moyens sur les k dimensions—
Nombre attendu parmi 4 063 · nombre dans l'échantillon simulé—
Contrôle Monte-Carlo sur 200 000 pilotes—
Contrôle de la borne : Φ(c) − (1 + largeur)/2—
Sans corrélation : largeurᵏ—
Ce qu'il faut voir. Être moyen sur une dimension est fréquent (30 %), sur deux déjà moins (9 % sans corrélation), et les exigences se multiplient : sur dix dimensions indépendantes, 0,3¹⁰ ≈ 5,9·10⁻⁶, soit 0,024 pilote attendu sur 4 063. La corrélation entre les mesures aide un peu (0,058 pilote pour ρ = 0,3), mais pas assez : il n'y a personne au centre d'un nuage à dix dimensions, alors que chaque mesure prise seule s'y entasse. L'armée de l'air en tira la leçon : au lieu de dessiner pour une moyenne, on conçut des sièges, des pédales et des casques réglables. Même la règle de conception « du 5ᵉ au 95ᵉ centile » ne convient sur dix dimensions qu'à une partie de la population : essayez le bouton correspondant.
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De l'astronomie à l'usine
1733Abraham de Moivre obtient la courbe en cloche comme approximation de la loi binomiale pour un grand nombre de lancers de pièce.
1774Pierre-Simon de Laplace propose une première loi des erreurs, la double exponentielle en pointe, dont la meilleure estimation est la médiane.
1801Giuseppe Piazzi découvre l'astéroïde Cérès puis le perd de vue derrière le Soleil. À partir de quelques observations, Gauss calcule son orbite par la méthode des moindres carrés ; Cérès est retrouvée à la fin de l'année là où il l'avait annoncé.
1809Dans la Theoria motus, Gauss justifie les moindres carrés : si la moyenne est la meilleure estimation, les erreurs suivent la loi normale.
1810Laplace démontre une première forme du théorème central limite : une somme de nombreuses petites erreurs indépendantes est approximativement normale, quelle que soit leur loi. La cloche devient universelle.
1835Adolphe Quetelet applique la loi aux tailles et aux périmètres thoraciques des soldats et invente « l'homme moyen ».
1924Aux laboratoires Bell, Walter Shewhart dessine la première carte de contrôle à limites de trois écarts-types.
1952Gilbert Daniels mesure 4 063 pilotes : aucun n'est moyen sur les dix dimensions retenues.
1987Motorola lance son programme Six Sigma ; la même année, le krach du 19 octobre rappelle que les marchés n'obéissent pas toujours à la cloche.
Tout se compte en écarts-types
Rebut d'une machine, fausse alarme, risque de krach : la question se ramène toujours à z = (x − μ)/σ, puis à Φ(z).
La cloche est la loi des petites causes
Elle convient quand de nombreuses influences indépendantes s'ajoutent. Quand une cause domine ou que tout bouge ensemble, ses queues mentent de dizaines d'ordres de grandeur.
Une loi par dimension ne fait pas un individu
Chaque mesure se concentre au centre, mais le centre d'un nuage à dix dimensions est vide. On ne conçoit pas pour la moyenne : on conçoit réglable.
Pour aller plus loin
Pourquoi π/2 ? Pour n grand, la médiane de n mesures a une variance voisine de 1/(4n f(0)²), où f(0) est la hauteur de la densité au centre. Pour la loi normale réduite, f(0) = 1/√(2π), d'où π/(2n), à comparer avec 1/n pour la moyenne.
Moindres carrés et loi normale. Maximiser la vraisemblance de Gauss revient à minimiser la somme des carrés des écarts ; maximiser celle de Laplace revient à minimiser la somme des valeurs absolues. C'est le lien entre la planche 1 et la régression linéaire.
Calcul de Φ. Il n'existe pas de formule finie pour Φ. Au centre, la page utilise une série ; dans les queues, la fraction continue de Laplace Φ(−z) = φ(z)/(z + 1/(z + 2/(z + 3/(z + …)))), qui reste exacte même quand Φ(−z) descend sous 10⁻³⁰⁰, à condition de travailler sur les logarithmes.
Les queues en finance. Les lois de Student, les lois stables de Lévy et les modèles où la volatilité change avec le temps sont des réponses classiques aux queues trop maigres de la loi normale.
Les pages voisines. La loi normale (forme et aires), le théorème central limite (pourquoi la cloche apparaît), la convolution (pourquoi les variances s'ajoutent).