Les jeux bayésiens : jouer sans savoir à qui l'on a affaire
Dans la plupart des conflits réels, on ignore quelque chose de l'adversaire : ses coûts, ses goûts, sa détermination. Comment raisonner face à un joueur dont on ne connaît pas les intentions ? En 1967, John Harsanyi trouve la clef : on imagine que la Nature tire au sort le « type » de chaque joueur, que chacun connaît le sien et seulement la loi des autres. Le jeu à information incomplète devient alors un jeu ordinaire, que l'on sait résoudre. Cette page construit cette idée, l'applique à un rendez-vous incertain puis à un duopole où l'on ignore le coût du concurrent, et finit sur une question stratégique : faut-il cacher ce que l'on sait, ou le révéler ?
Les mots du jeu bayésien
| Mot | Sens |
|---|---|
| Information incomplète | Un joueur ignore une caractéristique d'un autre (ses gains, ses coûts, ce qu'il sait). |
| Type | Tout ce qu'un joueur sait de lui-même et que les autres ignorent, résumé en une étiquette : « coût élevé », « veut l'éviter »… |
| Croyance commune | La loi de probabilité des types, connue de tous (Harsanyi l'appelle la loi a priori commune). |
| Stratégie | Un plan qui dit quoi faire pour chaque type possible : on doit savoir ce que ferait chaque version de soi-même. |
| Équilibre bayésien | Chaque type de chaque joueur maximise son gain espéré, compte tenu de sa croyance sur les types des autres et de leurs plans. |
Les types d'Harsanyi : la Nature joue en premier
Anne et Bruno doivent choisir, sans se concerter, entre un concert de Bach et un concert de Stravinsky. Anne préfère Bach, et veut retrouver Bruno. Mais elle ignore ce que veut Bruno : peut-être veut-il la voir (il préfère alors Stravinsky, mais surtout la même salle qu'elle), peut-être veut-il l'éviter (il cherche alors la salle où elle ne sera pas). L'idée d'Harsanyi : faire de cette ignorance un coup de hasard. La Nature tire d'abord l'humeur de Bruno — avec la probabilité p, il veut la voir —, Bruno apprend le résultat, Anne non. Le pointillé relie les positions qu'un joueur ne sait pas distinguer.
L'équilibre bayésien : chaque « moi » répond au mieux
Un équilibre bayésien est un équilibre de Nash du jeu d'Harsanyi : Anne choisit la salle qui maximise son gain espéré, en moyennant sur les deux humeurs de Bruno ; et chaque Bruno répond au mieux au choix d'Anne, en connaissant son humeur. Anne peut aussi tirer sa salle au sort : on note x sa probabilité d'aller à Bach. Bruno-qui-veut-la-voir préfère Bach dès que x > 2/3 ; Bruno-qui-veut-l'éviter préfère Bach dès que x < 1/3. Le graphique de gauche cherche les x compatibles avec ces réponses ; celui de droite montre comment les équilibres naissent et meurent quand la croyance p varie.
Un duopole où l'on ignore le coût du concurrent
Deux entreprises vendent le même produit ; le prix baisse quand on en vend plus : P = 10 − q1 − q2. L'entreprise 1 produit au coût unitaire 2, et tout le monde le sait. L'entreprise 2 connaît son propre coût, mais l'entreprise 1 sait seulement qu'il est élevé (probabilité θ) ou faible (1 − θ). Chaque type de l'entreprise 2 répond au mieux à q1 : q2 = (10 − c2 − q1)/2. L'entreprise 1, elle, répond à la production moyenne qu'elle attend : q1 = (8 − E[q2])/2. L'équilibre bayésien est le point où toutes ces réponses se tiennent ensemble.
À vous de produire : décider avant de savoir
Mettez-vous à la place de l'entreprise 1. Vous choisissez votre production q1 ; puis la Nature tire le coût de votre rival, qui produit sa quantité d'équilibre. On ouvre ainsi des centaines de marchés identiques. Votre profit moyen se rapproche de la courbe théorique, dont le sommet est la production d'équilibre bayésien. Après chaque marché, on calcule aussi ce que vous auriez gagné si vous aviez su : c'est votre regret.
Cacher ou révéler ce que l'on sait
L'entreprise 2 peut maintenant prouver ce qu'elle sait, en publiant des comptes certifiés, ou se taire. Neuf situations sont possibles, également probables. Deux cas très différents : l'entreprise 2 connaît son propre coût, ou elle connaît la demande, qui concerne les deux entreprises. Le graphique de gauche montre, pour chaque situation, ce que l'entreprise 2 gagne en se taisant (si son rival la croit dans la moyenne) et en se dévoilant. Celui de droite montre la cascade qui s'ensuit : ceux qui gagnent à parler parlent, et alors le silence lui-même devient un aveu.
Ce qu'il faut retenir
Le tour de force d'Harsanyi
L'ignorance devient un tirage de la Nature. Chaque joueur a plusieurs « moi » possibles, et une stratégie dit ce que fait chacun d'eux. Le jeu redevient un jeu ordinaire.
Répondre en moyenne
À l'équilibre bayésien, chaque type maximise son gain espéré selon sa croyance. La croyance commune décide de l'équilibre : changez p ou θ, et les comportements changent.
L'information est une arme
Ce que l'on sait se cache ou se montre selon l'intérêt du moment. Mais le silence est interprété : quand la preuve est possible, se taire revient souvent à avouer.
Pour aller plus loin
Le duopole en formules. Avec P = a − Q, l'entreprise 1 de coût c1 produit q1 = (a − 2c1 + E[c2])/3, et le type c2 de l'entreprise 2 produit q2 = (a − 2c2 + c1)/3 + (c2 − E[c2])/6. Chaque profit d'équilibre vaut le carré de la production. En moyenne, la transparence rapporte Var(c2)/9 à l'entreprise 1 et 7·Var(c2)/36 à l'entreprise 2. Quand c'est l'intercept a qui est inconnu, elle rapporte Var(a)/9 à l'entreprise 1 mais coûte 5·Var(a)/36 à l'entreprise 2.
Le rendez-vous. L'exemple vient du manuel de Martin Osborne. Ses équilibres : (Bach ; Bach si « la voir », Stravinsky sinon) pour p ≥ 1/3 ; (Stravinsky ; Stravinsky si « la voir », Bach sinon) pour p ≥ 2/3 ; Anne à Bach avec la probabilité 2/3 pour p ≥ 1/3, ou 1/3 pour p ≤ 2/3.
Références. J. C. Harsanyi, « Games with incomplete information played by Bayesian players », Management Science (1967-1968, trois parties) — prix Nobel 1994 avec Nash et Selten ; S. Grossman, « The informational role of warranties and private disclosure about product quality », Journal of Law and Economics (1981) ; P. Milgrom, « Good news and bad news », Bell Journal of Economics (1981) ; E. Gal-Or, « Information transmission — Cournot and Bertrand equilibria », Review of Economic Studies (1986) ; C. Shapiro, « Exchange of cost information in oligopoly », Review of Economic Studies (1986) ; R. Gibbons, A Primer in Game Theory (1992), chapitre 3 ; M. J. Osborne, An Introduction to Game Theory (2004), chapitre 9.
Pages voisines. Le calcul des équilibres de Nash (imparité), le poker de Kuhn (bluffer quand l'autre ignore votre carte), Stackelberg et l'engagement (se lier les mains).