Le bridge : cartes, probabilités et raisonnement
Le bridge se joue à quatre, en deux équipes de partenaires assis face à face : Nord-Sud contre Est-Ouest. Chaque joueur reçoit 13 cartes ; une enchère fixe le contrat — combien de levées l'équipe s'engage à faire, et dans quelle couleur d'atout —, puis on joue les 13 levées. C'est un jeu d'information incomplète : on ne voit que ses cartes et, après la première carte, celles du « mort ». Le bon joueur compte, calcule des probabilités et déduit ce qu'il ne voit pas. Cette page suit une donne, de la distribution à la dernière levée, et finit par une machine qui joue parfaitement, cartes ouvertes.
Les mots du bridge
| Mot | Sens |
|---|---|
| Levée (ou pli) | Chacun joue une carte à tour de rôle, dans le sens des aiguilles d'une montre ; la plus forte gagne la levée. |
| Fournir | Jouer une carte de la couleur demandée par la première carte : c'est obligatoire si l'on en a. |
| Atout, couper | La couleur d'atout bat toutes les autres. Si l'on n'a plus la couleur demandée, on peut couper (jouer atout) ou se défausser (jouer autre chose). |
| Sans atout (SA) | Contrat sans couleur d'atout : seule la couleur demandée peut gagner. |
| Points d'honneur | As = 4, Roi = 3, Dame = 2, Valet = 1 : une mesure rapide de la force d'une main (40 points dans le jeu). |
| Déclarant, mort | Le joueur qui joue le contrat ; son partenaire étale ses cartes sur la table (le mort), et le déclarant les joue aussi. |
| Impasse | Manœuvre qui espère trouver une carte adverse bien placée, par exemple la Dame devant l'As-Valet. |
La donne et les points d'honneur
Les 52 cartes sont distribuées une à une, en commençant par le joueur à gauche du donneur. Il existe C(52, 13) = 635 013 559 600 mains différentes pour un joueur : on ne reverra jamais deux fois la même. Pour juger sa main, on compte les points d'honneur — As 4, Roi 3, Dame 2, Valet 1 —, et l'on regarde sa distribution : le nombre de cartes dans chaque couleur. La page calcule exactement la loi des points d'une main (par dénombrement) et la compare aux donnes tirées au hasard.
La levée : fournir, couper, défausser
Sud est le déclarant, Nord le mort. Ouest entame, puis chacun joue dans le sens des aiguilles d'une montre. Trois règles suffisent : on fournit la couleur demandée si on le peut ; sinon on peut couper avec un atout ou se défausser ; la levée revient à la plus haute carte de la couleur demandée, sauf si un atout a été joué. Le gagnant de la levée joue le premier à la suivante. Regardez la machine jouer les quatre mains, ou prenez Nord et Sud en main : seules les cartes autorisées s'allument.
Les enchères et la marque
Les enchères sont une montée : chaque annonce doit dépasser la précédente, d'abord par le niveau (de 1 à 7), puis, à niveau égal, par la dénomination (♣ < ♦ < ♥ < ♠ < SA). Annoncer « 4 ♥ », c'est s'engager à faire 6 + 4 = 10 levées avec cœur atout. La marque récompense l'ambition : un contrat qui vaut au moins 100 points de levées est une manche (3 SA, 4 ♥, 4 ♠, 5 ♣, 5 ♦) et rapporte une grosse prime ; douze levées annoncées font un petit chelem, treize un grand chelem. Le contre double la mise de l'adversaire qui ose un contrat jugé trop ambitieux.
Les probabilités du déclarant
Le déclarant voit 26 cartes : les siennes et celles du mort. Les 26 autres sont partagées entre Est et Ouest, et c'est là que commencent les probabilités. Trois questions classiques : comment se répartissent les cartes qui me manquent dans une couleur ? Faut-il faire l'impasse à la Dame ou tirer As et Roi en espérant la faire tomber ? Et que nous apprend une carte que l'adversaire vient de jouer ? La réponse à la dernière est un raisonnement bayésien célèbre : le choix restreint.
Le jeu parfait, cartes ouvertes : la machine découvre le squeeze
Si l'on voyait les quatre jeux, le bridge deviendrait un jeu à information complète, comme les échecs : on pourrait le résoudre par le minimax, en explorant tous les déroulements possibles, Nord-Sud cherchant le maximum de levées et Est-Ouest le minimum. C'est l'analyse « à double mort », que font aujourd'hui les ordinateurs pour commenter chaque donne de compétition. Sur une fin de coup, la page résout le jeu exactement. Sous chaque carte de Nord-Sud jouable s'affiche le nombre de levées qu'elle garantit. La position proposée cache un squeeze : Nord-Sud n'ont que 3 levées sûres, mais en font 4, parce qu'Ouest doit garder deux couleurs avec trop peu de cartes.
Ce qu'il faut retenir
Évaluer
Points d'honneur et distribution résument une main. 40 points dans le jeu, 10 en moyenne par main ; environ 25 points à deux pour une manche à sans atout, 33 pour un petit chelem.
Calculer
Le déclarant joue avec des probabilités : répartitions des couleurs, impasse ou jeu en tête, et ce que révèlent les cartes jouées par l'adversaire (le choix restreint).
Résoudre
Cartes ouvertes, le bridge se résout par le minimax ; la machine retrouve seule les techniques des experts, comme le squeeze. Cartes cachées, il faut aussi deviner.
Pour aller plus loin
La marque. Levées demandées : 20 par levée à ♣ ou ♦, 30 à ♥ ou ♠, 40 pour la première à sans atout puis 30 ; doublées si contré, quadruplées si surcontré. Prime de manche 300 (non vulnérable) ou 500 (vulnérable), de partielle 50 ; petit chelem 500 ou 750, grand chelem 1 000 ou 1 500 ; prime du contre 50, du surcontre 100. Chutes non contrées : 50 ou 100 par levée ; contrées non vulnérable : 100, 300, 500, puis 300 de plus par levée ; contrées vulnérable : 200, puis 300 par levée ; surcontrées : le double.
Les calculs de la planche 4. La probabilité qu'Est ait k des n cartes manquantes est C(n, k)·C(26 − n, 13 − k)/C(26, 13). Le jeu en tête réussit si la Dame est sèche ou seconde ; l'impasse, si elle est du bon côté (on suppose assez de communications). Pour le choix restreint, une Dame sèche précise chez Est pèse C(22, 12), une paire D-V précise C(22, 11), soit 12/11 fois plus : la probabilité de l'impasse vaut 1/(1 + r·12/11), soit 11/17 pour r = 1/2.
Repères. Le contrat bridge a été codifié par Harold Vanderbilt en 1925 ; la marque actuelle date de cette époque, le compte des points d'honneur 4-3-2-1 a été popularisé par Milton Work puis Charles Goren. Le principe du choix restreint, esquissé par Alan Truscott, a été exposé par Terence Reese dans The Expert Game (1958). Les solveurs à double mort modernes (comme celui de Bo Haglund) résolvent une donne complète en une fraction de seconde grâce à de nombreuses astuces d'élagage.
Pages voisines. Les jeux bayésiens (raisonner sur ce que l'autre sait), le poker de Kuhn (information cachée et bluff), le calcul des équilibres de Nash.