Analyse des données

L'inertie et le théorème de Huygens

Le même nombre mesure l'étalement d'un nuage de points et la résistance d'un solide à la rotation : la somme des masses multipliées par le carré de leur distance. Le théorème de Huygens dit comment ce nombre change quand on déplace le point ou l'axe de référence — et pourquoi tout se ramène au centre de gravité.

L'idée en une phrase

Prenez des masses m_i placées en des points M_i, et un point de référence A. L'inertie par rapport à A est la somme I_A = Σ m_i·AM_i². Le théorème de Huygens affirme que, si G est le centre de gravité et M la masse totale,

I_A = I_G + M·AG²

Autrement dit : l'inertie par rapport à n'importe quel point est celle par rapport au centre de gravité, augmentée de l'inertie qu'aurait toute la masse concentrée en G. Conséquence immédiate : c'est en G que l'inertie est la plus petite. En statistique, I_G/M est la variance ; en mécanique, l'inertie par rapport à un axe gouverne la rotation. Christiaan Huygens l'a établi en 1673 pour comprendre les pendules d'horloge : la planche 5 refait son raisonnement.

L'inertie d'un nuage par rapport à un point

Sept masses sont posées dans le plan. Déplacez le point de référence A (rouge) : l'inertie I_A est calculée directement, masse par masse. Les cercles gris sont les lignes de niveau de I_A : ce sont des cercles centrés sur G, exactement comme le prédit le théorème.

Glissez A ou une masse ; cliquez une masse pour régler son poids. La taille du disque croît avec la masse. Croix verte : centre de gravité G. Pointillé rouge : le segment AG.

Masse de la masse choisie2

En haut, I_A calculée masse par masse. En bas, la somme I_G (vert) + M·AG² (orange). Les deux barres ont toujours la même longueur.

Masse totale M—

I_A = Σ m·AM² (direct)—

I_G—

M·AG²—

Écart I_A − (I_G + M·AG²)—

Descente aveugle : distance à G—

À retenir. L'inertie mesure à quel point la masse est « loin » du point de référence, en comptant les distances au carré. Peu importe la disposition des masses : I_A ne dépend de A qu'à travers sa distance à G, et vaut I_G + M·AG². La descente aveugle, qui ignore tout de G et ne fait que suivre la pente de I_A, aboutit précisément au centre de gravité.

Pourquoi ça marche : un terme qui s'annule

La preuve tient en une ligne. On écrit le chemin de A vers chaque masse en passant par G : AM_i = AG + GM_i (en vecteurs). En développant le carré, il apparaît trois morceaux par masse.

m_i·AM_i² = m_i·GM_i² + m_i·AG² + 2·m_i·AG·GM_i

Le troisième morceau, le « terme croisé », n'est pas nul pour chaque masse, mais leur somme l'est : Σ m_i·GM_i = 0, c'est la définition même du centre de gravité. Pour voir les nombres, on se place sur une droite : des masses sur une tige, et A qui coulisse.

La tige et ses masses (glissez-les). Triangle rouge : le point A ; croix verte : G.

I(a) en fonction de la position a de A : une parabole dont le sommet est en G, à la hauteur I_G, et dont la courbure vaut 2M.

Position a du point A9,00

Σ m·GM (doit être nul)—

Somme des termes croisés—

Cas particulier : la formule de König

En prenant A à l'origine et en divisant par M, Huygens devient la formule bien connue : variance = moyenne des carrés − carré de la moyenne. Juste en théorie, elle est dangereuse en pratique quand les données sont loin de 0 : on soustrait deux grands nombres presque égaux. Décalez toutes les positions de la même quantité (la vraie variance ne change pas).

Décalage 10^kk = 0

Variance, centrée d'abord—

Variance par König—

Erreur relative de König—

À retenir. Les termes croisés se compensent exactement parce que G est le point d'équilibre : ce qui est à gauche de G compense ce qui est à droite. Avec A à l'origine, on obtient König : Var = E[x²] − x̄². Mais à l'ordinateur, mieux vaut centrer d'abord : avec un décalage de 10⁴ elle ne garde que neuf chiffres justes, avec 10⁶ quatre, et avec 10⁸ elle se trompe déjà de moitié.

Le moment d'inertie d'un solide : le théorème des axes parallèles

Pour une plaque qui tourne autour d'un axe perpendiculaire passant par A, on découpe la plaque en petits carrés de masse dm et l'on additionne dm·r². Plus la matière est loin de l'axe, plus il faut d'effort pour lancer la rotation. Le théorème de Huygens, appelé aussi théorème de Huygens-Steiner, donne J_A = J_G + M·d², avec d la distance de l'axe au centre de gravité.

La plaque (masse 1 kg, dimensions en mètres) tourne autour de l'axe A (rouge, glissable). Croix verte : centre de gravité. Plus A est loin de G, plus G décrit un grand cercle (pointillé orange).

Forme

Distance d = AG—

J_G par formule—

M·d²—

J_A = J_G + M·d²—

J_A par 160 000 petits carrés—

Écart relatif grille / formule—

Huygens vérifié sur la grille elle-même—

Énergie de rotation à 2 tours/s—

J_A en fonction de d : toujours la même parabole, J_G + M·d², quelle que soit la direction dans laquelle on éloigne l'axe.

À retenir. Un solide n'est qu'un nuage dont les masses sont infiniment nombreuses : le théorème s'applique tel quel. C'est lui qui permet de calculer le moment d'inertie de formes composées : la plaque en L est faite de deux rectangles, chacun connu en son propre centre, que l'on transporte au centre commun par + m·d². Faire tourner une plaque autour de son bord plutôt que de son centre coûte ici de deux fois et demie (anneau) à plus de quatre fois (plaque en L) plus d'énergie.

Couper un nuage en classes : inertie intra et inter

Appliquons Huygens à chaque groupe d'un nuage, avec A = G le centre de gravité global. L'inertie totale se coupe en deux : l'inertie intra-classes (l'étalement de chaque groupe autour de son propre centre) et l'inertie inter-classes (l'étalement des centres des groupes, chacun pesant l'effectif de son groupe).

I_totale = Σ_k I_{G_k} + Σ_k n_k·G_kG² = I_intra + I_inter

Trois groupes de 50 points. Croix colorées : centres G_k ; croix verte : centre global G ; traits : la part inter-classes.

Écartement des groupes1,30

Dispersion dans les groupes0,75

Inertie totale (par point)—

Intra-classes—

Inter-classes—

Écart totale − (intra + inter)—

Part expliquée R² = inter / totale—

Accord avec les groupes d'origine—

Au fil des itérations des k-moyennes : l'intra (bleu) descend, l'inter (orange) monte, la totale (vert) ne bouge pas.

À retenir. Comme l'inertie totale ne dépend pas du découpage, rendre les groupes plus serrés (faire baisser l'intra) revient exactement à les rendre plus distincts (faire monter l'inter). C'est ce que font les k-moyennes et la méthode de Ward : chaque itération fait baisser l'intra. Le R² est la part de l'étalement total « expliquée » par la partition ; c'est aussi la base de l'analyse de la variance. Avec les réglages de départ, les groupes se chevauchent : les k-moyennes trouvent un découpage d'inertie intra plus faible que les vrais groupes (R² d'environ 62 % contre 56,90 %) tout en classant mal un point sur dix environ. Minimiser l'intra, ce n'est pas forcément retrouver la vérité.

Le pendule de Huygens : centre d'oscillation et centre de percussion

Un vrai pendule d'horloge n'est pas une masse ponctuelle au bout d'un fil, c'est un objet étendu qui pivote autour d'un axe. Huygens cherchait la longueur du pendule simple qui battrait exactement au même rythme. Le théorème des axes parallèles lui donne la réponse.

J_pivot = M(k² + d²) ⟹ T = 2π √( (k² + d²) / (g·d) ) ⟹ ℓ = d + k²/d

Ici d est la distance du pivot au centre de gravité et k le rayon de giration, défini par J_G = M·k². La longueur ℓ du pendule simple équivalent repère, sur l'objet, le centre d'oscillation : le point qui oscille comme s'il était seul.

À gauche le pendule pesant, à droite le pendule simple de longueur ℓ, lâchés au même angle. Point rouge sur l'objet : son centre d'oscillation. Les deux battent ensemble.

Période des petites oscillations en fonction de d. Minimum en d = k. Deux pivots de même période (points bleu et violet) sont toujours séparés de ℓ.

Objet

Distance pivot – G, d0,400 m

Amplitude de départ20°

Longueur équivalente ℓ = d + k²/d—

Période des petites oscillations—

Période exacte à cette amplitude—

Période mesurée (Runge-Kutta)—

Écart mesure / formule exacte—

Pivot conjugué d′ = k²/d—

T(d′) − T(d)—

g retrouvé par 4π²(d + d′)/T²—

Le pendule réversible de Kater (1817) exploite ce fait : on cherche deux couteaux de même période, leur écart donne ℓ sans connaître ni k ni la position de G, et l'on en tire g.

Tenez une batte ou un marteau par le manche et frappez une balle : à un endroit précis, la main ne ressent aucun choc. C'est le centre de percussion. On frappe la tige (suspendue par son extrémité) à la distance h du pivot avec une impulsion P ; le pivot doit fournir une impulsion R pour le retenir.

P·h = J_pivot·ω, M·ω·d = P + R ⟹ R / P = M·d·h / J_pivot − 1

La balle frappe la tige à la hauteur choisie. Flèche rouge au pivot : l'impulsion que doit fournir l'axe (le « choc dans la main »).

Point d'impact h0,900 m

Impulsion au pivot R/P en fonction de h : elle change de signe en un seul point.

R / P au point d'impact—

Zéro de R/P par dichotomie—

Centre d'oscillation ℓ = d + k²/d—

Écart entre les deux—

À retenir. Le théorème des axes parallèles transforme un problème de solide en problème de point : tout pendule pesant bat comme un pendule simple de longueur ℓ = d + k²/d. Cette longueur possède deux propriétés étonnantes : le pivot et le centre d'oscillation sont interchangeables (même période, d'où le pendule de Kater et la mesure de g), et le centre d'oscillation est aussi le centre de percussion, le point où un choc ne se transmet pas à l'axe. Pour une tige tenue par un bout, ce point est aux deux tiers de la longueur.

Repères historiques

1641–1646 — Mersenne pose aux savants le problème du « centre d'oscillation » d'un corps qui oscille ; Descartes et Roberval s'y essaient sans conclure.
1673 — Christiaan Huygens, Horologium oscillatorium : il résout le problème en raisonnant sur la hauteur que peut regagner le centre de gravité, obtient la longueur équivalente et la réversibilité du pivot et du centre d'oscillation.
1751 — Johann Samuel König énonce la décomposition de l'énergie cinétique d'un système en mouvement du centre de gravité et mouvement autour de lui, cousine directe du théorème de Huygens.
1765 — Leonhard Euler, Theoria motus corporum solidorum : il nomme le momentum inertiae et en fait l'outil central de la rotation des solides.
1817 — Henry Kater construit son pendule réversible et mesure g à Londres avec une précision inédite.
XIXᵉ siècle — Le théorème des axes parallèles prend aussi le nom de Jakob Steiner dans les manuels de langue allemande : « théorème de Huygens-Steiner ».
1925 — Ronald Fisher fonde l'analyse de la variance sur la décomposition de la somme des carrés en intra et inter-groupes.
1963 — Joe Ward propose une classification hiérarchique qui, à chaque étape, fait croître le moins possible l'inertie intra-classes.
1957–1967 — Stuart Lloyd puis James MacQueen décrivent l'algorithme des k-moyennes.
1973 — Jean-Paul Benzécri, L'analyse des données : l'inertie et le théorème de Huygens deviennent le langage commun de l'ACP, de l'AFC et de la classification.

Synthèse

Un seul nombre

Inertie = Σ masse × distance². C'est une variance pour le statisticien, un moment d'inertie pour le mécanicien : la même somme, deux interprétations.

Une seule identité

I_A = I_G + M·AG², parce que les termes croisés s'annulent autour de G. Elle donne le minimum en G, König, les axes parallèles, le partage intra + inter.

Des conséquences concrètes

Période des pendules et mesure de g, centre de percussion d'une batte, formes composées, classification automatique : tout découle de ce transport au centre de gravité.

Pour aller plus loin

La preuve en vecteurs. Σ m_i|AG + GM_i|² = M·AG² + 2·AG·(Σ m_iGM_i) + Σ m_iGM_i², et la parenthèse est nulle par définition de G. Pour un axe, on ne garde que les composantes perpendiculaires à l'axe : la même preuve donne J_Δ = J_{Δ_G} + M·d².

Attention au transport. La formule ne fonctionne que si l'un des deux points (ou axes) passe par G. Pour passer d'un axe A à un axe B quelconques, il faut transiter par G : J_B = J_A − M·d_A² + M·d_B².

Rayons de giration usuels. Tige de longueur L autour de son milieu : k = L/√12 ; disque plein de rayon R autour de son axe : k = R/√2 ; anneau mince : k = R ; sphère pleine autour d'un diamètre : k = R·√(2/5).

Le pendule ne peut pas être trop court. La période T(d) est minimale en d = k, où ℓ = 2k. Pour un pendule fait d'une tige d'un mètre, aucun pivot ne donne une période inférieure à 2π√(2k/g) ≈ 1,52 s.

En dimension supérieure. L'inertie d'un nuage de n points dans un espace à p dimensions est la somme des variances des p colonnes ; l'ACP la répartit entre des axes successifs. Voir aussi la page sur les tableaux de données et les distances, dont la planche 1 calcule l'inertie de trois façons.