La plage de Hotelling : pourquoi les concurrents se ressemblent
En 1929, l'économiste américain Harold Hotelling publie « Stability in Competition ». Il y remarque que deux commerçants installés le long d'une même rue ont intérêt à se coller l'un à l'autre au milieu, plutôt qu'à se partager la rue. Il y voit aussi pourquoi les grands partis politiques finissent par tenir des discours voisins. On raconte souvent son modèle avec deux marchands de glaces sur une plage. Cette page installe les deux marchands, remplace la plage uniforme par une foule inégale, passe aux élections avec l'électeur médian, montre ce qui empêche parfois les partis de converger, et finit par un résultat surprenant : avec trois marchands, personne n'est jamais satisfait de sa place.
Les mots de la plage
| Mot | Sens |
|---|---|
| Concurrence spatiale | Des vendeurs choisissent un emplacement ; chaque client achète chez le plus proche. La « distance » peut être géographique ou idéologique. |
| Part de marché | La proportion des clients qui achètent chez un vendeur. Ici, chaque marchand ne cherche qu'à la rendre la plus grande possible. |
| Équilibre de Nash | Une situation où aucun vendeur ne peut augmenter sa part en changeant seul d'emplacement. |
| Médiane | La position qui coupe la foule en deux moitiés égales : autant de monde à gauche qu'à droite. |
| Électeur médian | L'électeur dont la position politique est la médiane de l'électorat, sur un axe gauche-droite. |
Deux marchands de glaces sur une plage
Une plage de 1 000 mètres, des baigneurs répartis régulièrement. Deux marchands, A et B, vendent la même glace au même prix ; chaque baigneur va chez le plus proche. Celui qui est à gauche de l'autre sert tous les baigneurs jusqu'au point situé à mi-chemin entre eux. Il a donc toujours intérêt à se rapprocher de son concurrent : il gagne des clients au milieu sans en perdre au bord. Placez les marchands, puis laissez-les s'ajuster.
Une foule inégale : la médiane, pas la moyenne
Sur une vraie plage, les baigneurs se pressent près du parking ou de la buvette. Où les marchands s'installent-ils alors ? Pas au milieu de la plage, ni à la position moyenne des baigneurs, mais à la médiane : l'endroit qui laisse exactement la moitié de la foule de chaque côté. Tant qu'un marchand a plus de monde d'un côté que de l'autre, il gagne à se déplacer de ce côté. Déplacez la foule et observez.
L'électeur médian : la plage devient un axe gauche-droite
Remplaçons les baigneurs par des électeurs placés sur un axe politique de 0 (gauche) à 100 (droite), et les marchands par deux partis. Chaque électeur vote pour le programme le plus proche de ses idées. Duncan Black (1948) montre alors qu'un programme placé à la position de l'électeur médian bat en duel n'importe quel autre programme : c'est un vainqueur de Condorcet. Anthony Downs (1957) en tire la prédiction que deux partis qui veulent gagner convergent vers ce centre. Choisissez un programme rival et faites-le affronter le programme médian.
Quand les partis s'écartent : l'abstention
La convergence suppose que tous les électeurs votent, même quand les deux programmes sont loin de leurs idées. Arthur Smithies (1941) a corrigé Hotelling : si les clients renoncent à acheter quand le marchand est trop loin, les marchands ne peuvent plus délaisser leurs bords. En politique, c'est l'abstention : un électeur trop éloigné de chaque parti reste chez lui. Avec un électorat polarisé, chaque parti doit alors garder ses fidèles, et les programmes se séparent. Réglez la distance que les électeurs acceptent, puis laissez les partis s'ajuster en partant du centre.
Trois marchands : il n'y a plus d'équilibre
Ajoutons un troisième marchand sur la plage uniforme. Celui qui est coincé entre les deux autres n'a presque plus de clients : il saute à l'extérieur, juste à côté d'un voisin. Mais alors c'est un autre marchand qui se retrouve coincé, et il saute à son tour. Abba Lerner et Hans Singer l'avaient remarqué dès 1937 : avec trois marchands, aucune disposition ne satisfait tout le monde. Lancez la danse, puis faites vérifier par la page toutes les dispositions possibles, avec deux, trois, quatre et cinq marchands.
Ce qu'il faut retenir
Se coller au concurrent
Deux vendeurs qui ne se disputent que des clients finissent côte à côte, à la médiane de la clientèle, même si les clients préféreraient les voir s'écarter.
Le centre politique
Sur un axe gauche-droite, le programme de l'électeur médian bat tous les autres : deux partis qui veulent gagner tendent à se rapprocher.
Des limites
L'abstention et la concurrence par les prix écartent les vendeurs ; avec trois concurrents, il n'y a plus d'équilibre du tout.
Pour aller plus loin
Les conventions de la page. Plage de longueur 1, découpée en 400 cases pour les calculs de parts ; les clients à égale distance de deux marchands se partagent également. La planche 5 vérifie les équilibres exactement : pour chaque disposition (positions multiples de 1/24) et chaque marchand, on calcule la meilleure déviation vers n'importe quel point de la plage, y compris « juste à côté » d'un concurrent. Les 325, 2 925, 20 475 et 118 755 dispositions pour 2, 3, 4 et 5 marchands sont toutes examinées.
L'histoire de la plage. Hotelling raisonnait sur des boutiques le long d'une rue ou d'une voie ferrée ; l'image des marchands de glaces sur une plage est venue plus tard, dans les manuels. On parle aussi de « loi de Hotelling » ou de « principe de différenciation minimale ».
Références. H. Hotelling, « Stability in Competition », Economic Journal (1929) ; A. Lerner et H. Singer, « Some notes on duopoly and spatial competition » (1937) ; A. Smithies, « Optimum location in spatial competition » (1941) ; D. Black, « On the rationale of group decision-making » (1948) ; A. Downs, An Economic Theory of Democracy (1957) ; B. C. Eaton et R. Lipsey, « The principle of minimum differentiation reconsidered » (1975) ; C. d'Aspremont, J. Gabszewicz et J.-F. Thisse, « On Hotelling's Stability in Competition » (1979).
Pages voisines. Le vote stratégique (Condorcet, Arrow), les enchères, l'histoire de la théorie des jeux.