De Galilée à Jacques Bernoulli : comment des questions de joueurs ont fait du hasard un objet de calcul. Pascal et Fermat apprennent à partager une mise, Bernoulli montre que la fréquence finit par révéler la probabilité.
Avant le calcul, il y avait le jeu
On a joué aux osselets et aux dés pendant des millénaires sans rien calculer. Le hasard passait pour le domaine de la fortune ou de la providence, pas celui des mathématiques. Tout change au XVIIe siècle, quand quelques savants acceptent de prendre au sérieux des questions de joueurs.
Le vocabulaire de base est simple. Une issue est un résultat possible d'une expérience (par exemple « 2, 3, 4 » pour trois dés). Quand toutes les issues sont également possibles, la probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues. L'espérance est ce que l'on gagne « en moyenne », chaque gain étant pondéré par sa probabilité.
Époque
Qui
La question posée
L'idée nouvelle
v. 1620
Galilée
Pourquoi 10 sort-il plus souvent que 9 avec trois dés ?
Compter les issues, pas les combinaisons de chiffres
1654
Méré, Pascal
Faut-il 24 ou 25 lancers pour parier sur un double six ?
Passer par l'événement contraire
1654
Pascal et Fermat
Comment partager la mise d'une partie interrompue ?
Dénombrer (Fermat), raisonner par espérance (Pascal)
1713
Jacques Bernoulli
Peut-on retrouver une probabilité inconnue par l'observation ?
La loi des grands nombres
Planche 1
Galilée et les trois dés (vers 1620)
Les joueurs de Florence avaient remarqué qu'avec trois dés la somme 10 sort un peu plus souvent que la somme 9. Pourtant, chacune s'écrit de six façons comme somme de trois chiffres de 1 à 6. Galilée, consulté, dit-on, par son protecteur, résout l'énigme : il ne faut pas compter les partitions (les façons d'écrire la somme sans tenir compte de l'ordre), mais les issues, où chaque dé est distingué.
Cadre vert : probabilité exacte de chaque somme (issues favorables ÷ nombre total d'issues). Barres : fréquences observées sur les lancers simulés. En orange la somme choisie, en rouge la suivante. En haut à gauche, le dernier lancer.
Lancers simulés
0
Fréquence de 9
—
Fréquence de 10
—
Lancers nécessaires pour voir l'écart
—
Contrôle
—
permutations des partitions contre convolution des dés
Ce qu'il faut retenir. La partition 3 + 3 + 3 ne correspond qu'à une seule issue, tandis que 1 + 2 + 6 en compte six (on peut permuter les trois dés). Avec trois dés, 9 totalise 25 issues sur 216 et 10 en totalise 27 : la différence n'est que de 0,93 point. Pour la détecter de façon fiable, il faut de l'ordre de onze mille lancers, ce qui dit beaucoup sur l'assiduité des joueurs florentins. Le principe de Galilée, compter des cas également possibles, est la base de tout ce qui suit.
Planche 2
Les deux paris du chevalier de Méré (1654)
Antoine Gombaud, chevalier de Méré, joueur et homme du monde, savait d'expérience que parier sur « au moins un 6 en 4 lancers d'un dé » est avantageux. Il en déduisait par une règle de proportion qu'avec deux dés, « au moins un double six en 24 lancers » devait l'être aussi, puisque 4 est à 6 ce que 24 est à 36. Or il perdait. Pascal rapporte l'affaire à Fermat dans sa lettre du 29 juillet 1654.
La bonne méthode passe par l'événement contraire : la probabilité de n'avoir aucun 6 en n lancers est (5/6)ⁿ, donc celle d'en avoir au moins un vaut 1 − (5/6)ⁿ. De même, pour le double six : 1 − (35/36)ⁿ.
En bleu, P(au moins un 6 en n lancers) ; en rouge, P(au moins un double six en n lancers). En orange pointillé, la « règle » naïve qui additionne les chances (n/6 et n/36). La ligne grise marque le seuil d'un pari équitable, 1/2.
Au moins un 6 en n lancers
—
Au moins un double six
—
Seuils de l'équité
—
Contrôle
—
1 − (5/6)ⁿ contre somme directe des cas « k fois six », k ≥ 1
Rejouer les paris du chevalier
Gain moyen par partie, mise de 1 contre 1. Bleu : pari « un 6 en 4 lancers » ; rouge : pari « double six en 24 lancers ». Les pointillés indiquent l'espérance exacte de chaque pari.
Parties jouées (de chaque pari)
0
Pari 1 : gain moyen
—
Pari 2 : gain moyen
—
Ce qu'il faut retenir. Les chances ne s'additionnent pas : la règle naïve dépasse même 1 dès le septième lancer d'un dé, ce qui est absurde. Le calcul exact donne 51,77 % pour le premier pari et 49,14 % pour le second. Il faut 25 lancers, et non 24, pour que le double six devienne avantageux : le seuil exact est 24,61, et le rapport des deux seuils vaut 6,47 et non 6. L'avantage du second pari est si mince (−1,7 centime par partie) que le chevalier a dû jouer beaucoup pour s'en apercevoir.
Planche 3
Le problème des partis : Pascal et Fermat (1654)
Deux joueurs misent chacun 32 pistoles dans une partie en plusieurs manches ; le premier qui gagne un nombre convenu de manches emporte les 64 pistoles. Mais la partie est interrompue. Comment partager équitablement la mise ? Depuis Pacioli (1494), on proposait de partager selon les manches déjà gagnées, ce qui donne des résultats absurdes. L'idée décisive de 1654 : le partage doit dépendre de ce qui reste à jouer, pas de ce qui est acquis.
Les cas de la lettre de Pascal du 29 juillet 1654 (partie en trois manches) :
Fermat imagine que l'on joue toutes les manches qui pourraient encore être nécessaires, soit (a + b − 1) manches, même si la partie est décidée avant. Chaque suite de résultats est alors également possible, et il suffit de compter celles où A l'emporte.
Chaque rangée de cases est une suite de manches fictives : case bleue = manche gagnée par A, case orange = manche gagnée par B. Le fond bleuté signale les suites où A atteint son but, le fond orangé celles où B l'emporte.
Pascal raisonne à rebours. Si la partie s'arrête, chaque position a une valeur : quand A a gagné, sa part vaut la mise entière, quand il a perdu elle vaut 0. Ailleurs, la part de A est la moyenne des deux positions qui peuvent suivre, pondérée par les chances de chaque manche. C'est la première apparition de l'espérance.
Chaque nœud porte la part de A dans cette position ; le petit couple (a ; b) au-dessus donne les manches qui manquent encore à chacun. Une flèche bleue vers le haut : A gagne la manche ; une flèche orange vers le bas : B la gagne. Les valeurs se propagent de droite à gauche.
Dans son Traité du triangle arithmétique, Pascal montre que le dénombrement de Fermat se lit directement dans le triangle : sur la ligne n = a + b − 1, le coefficient en position k compte les suites où A gagne exactement k manches. La part de A est la somme des coefficients pour k ≥ a, divisée par 2ⁿ.
Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Sur la ligne utile, les cases bleues comptent les suites gagnantes pour A, les cases orange celles qui sont gagnantes pour B.
Manches fictives
—
Part de A selon Fermat
—
dénombrement des suites
Part de A selon Pascal
—
récurrence par espérance
Part de A par le triangle
—
somme de coefficients
Part de B
—
Contrôle
—
écart maximal entre les trois méthodes
Ce qu'il faut retenir. Quand A mène 2 à 1 dans une partie en trois manches, il lui manque 1 manche et il en manque 2 à B : A doit recevoir 48 pistoles sur 64, et non 32 + 32·(1/3) ou un partage au prorata des manches gagnées. Les deux méthodes, si différentes, donnent toujours le même résultat. Roberval objectait que les manches fictives de Fermat ne seront jamais jouées ; Pascal finit par admettre que la fiction est légitime, car terminer la partie ne change pas le vainqueur. Avec des joueurs de forces inégales (curseur « chance de A »), les trois calculs restent d'accord, à condition de pondérer chaque suite.
Planche 4
Le théorème d'or de Jacques Bernoulli (1713)
Pascal et Fermat calculaient des probabilités connues d'avance, parce que les dés sont symétriques. Mais quelle est la probabilité qu'un homme de quarante ans vive encore dix ans, ou qu'il pleuve demain ? Jacques Bernoulli, pendant vingt ans, cherche à retrouver une probabilité inconnue a posteriori, par l'observation. Son Ars Conjectandi, publié en 1713 après sa mort, démontre ce qu'on appellera plus tard la loi des grands nombres.
Pour tout écart ε > 0 : P( | fréquence − p | ≤ ε ) → 1 quand le nombre n de tirages augmente.
Bernoulli prend l'image d'une urne contenant des boules blanches et noires dans une proportion inconnue. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, et l'on recommence. La fréquence des blanches est le nombre de blanches tirées divisé par n.
En bleu, la fréquence des blanches au fil des tirages (échelle logarithmique en abscisse : chaque graduation multiplie n par 10) ; en gris, les séries précédentes. La bande verte est la zone p ± ε ; les pointillés violets, l'entonnoir p ± 1,96·√(p(1−p)/n) qui contient la fréquence 95 fois sur 100.
Probabilité exacte (loi binomiale) que la fréquence tombe dans la bande, en fonction de n. La courbe monte vers 1 en dents de scie, car le nombre de valeurs entières de la fréquence qui tiennent dans la bande change d'un n au suivant.
Proportion réelle p
—
Tirages n
0
Écart |fréquence − p|
—
P(dans la bande) au rang n
—
calcul exact par la loi binomiale
Bande atteinte à 99 % dès
—
Contrôle
—
fonction gamma de Lanczos contre récurrence des coefficients
Ce qu'il faut retenir. Une série isolée peut s'écarter longtemps de p, mais la probabilité de rester hors de la bande devient aussi petite que l'on veut. Bernoulli démontre deux choses : que cette convergence a lieu, et qu'on peut chiffrer à l'avance le nombre de tirages nécessaires. C'est ce qui permet de passer de l'urne à la vie réelle : la fréquence observée sur un grand nombre de cas devient une estimation fiable de la probabilité inconnue. Bernoulli appelait ce résultat son « théorème d'or » ; le nom de loi des grands nombres vient de Poisson, en 1837.
Planche 5 · signature
La certitude morale : combien de tirages ?
Bernoulli ne se contente pas d'un énoncé qualitatif. Il prend une urne de 3 000 boules blanches et 2 000 noires (p = 3/5), exige que la fréquence tombe à moins de 1/50 de p, et veut que ce soit « moralement certain » : mille fois plus probable que le contraire. Sa réponse, calculée par une majoration ingénieuse mais grossière, est de 25 550 tirages. Que vaut cette réponse avec les outils d'aujourd'hui ?
Comme chez Bernoulli, p = r/(r + s) et l'écart toléré vaut ε = 1/(r + s) ; « certitude c » signifie que la fréquence doit être c fois plus probablement dans la bande qu'en dehors, soit un risque d'au plus 1/(c + 1).
Nombre de tirages requis selon le degré de certitude c, en échelles logarithmiques. Les croix noires sont les trois valeurs imprimées dans l'Ars Conjectandi pour r = 30, s = 20. La courbe bleue de De Moivre se confond presque avec la verte du calcul exact (écart inférieur à 1 %).
Bernoulli (sa formule)
—
De Moivre (normale)
—
Bienaymé-Tchebychev
—
n ≥ p(1−p)(c+1)/ε²
Exact (binomiale)
—
Risque réel au n de Bernoulli
—
Contrôle historique
—
Chaque expérience consiste à faire n tirages et à noter la fréquence obtenue. On répète l'expérience des milliers de fois et l'on compte combien de fréquences sortent de la bande. Les tirages suivent la loi binomiale exacte (tirage par inversion de sa fonction de répartition).
n utilisé :
Histogramme des fréquences obtenues (barres bleues) et effectifs attendus selon la loi binomiale (trait vert). Les traits rouges verticaux bornent la bande p ± ε ; les expériences hors bande sont comptées à part.
n tirages par expérience
—
Expériences
0
Hors de la bande
0
Risque exact attendu
—
Ce qu'il faut retenir. La formule de Bernoulli reproduit les nombres de son livre, à une unité près pour le dernier (36 965 contre 36 966, simple question d'arrondi : les trois valeurs du livre sont espacées d'exactement 5 708). Mais elle est très prudente : pour c = 1 000, il suffit en réalité d'environ 6 500 tirages, presque quatre fois moins, et au bout de 25 550 tirages le risque réel n'est plus de 1 sur 1 001 mais de l'ordre de 10⁻¹⁰. Vingt ans plus tard, De Moivre obtient presque la bonne réponse grâce à la courbe en cloche. Fait remarquable : la majoration de Bernoulli croît comme le logarithme de c, alors que la célèbre inégalité de Bienaymé-Tchebychev, plus simple, croît comme c lui-même et devient bien pire que Bernoulli dès que l'on exige une grande certitude.
Frise : du jeu de dés aux axiomes
1494Luca Pacioli, Summa de arithmetica : le problème des partis apparaît, résolu par un partage au prorata des manches gagnées, ce qui est faux.
v. 1564Jérôme Cardan, Liber de ludo aleae (publié en 1663) : premier comptage systématique des cas favorables aux dés.
v. 1620Galilée, Sopra le scoperte dei dadi : 25 issues pour 9, 27 pour 10 avec trois dés.
1654Pascal et Fermat, correspondance de l'été : problème des partis, paris du chevalier de Méré. Naissance du calcul des probabilités.
1654Pascal, Traité du triangle arithmétique (imprimé en 1654, diffusé en 1665) : le triangle au service des partis.
1657Christiaan Huygens, De ratiociniis in ludo aleae : premier traité imprimé, l'espérance devient l'outil central.
1670Pascal, Pensées (posthumes) : le pari, premier raisonnement de décision par l'espérance.
1708Pierre Rémond de Montmort, Essay d'analyse sur les jeux de hazard.
1713Jacques Bernoulli, Ars Conjectandi (posthume, mort en 1705), édité par son neveu Nicolas : le théorème d'or.
1733Abraham de Moivre : la courbe en cloche comme approximation de la loi binomiale.
1812Pierre-Simon de Laplace, Théorie analytique des probabilités.
1837Siméon Denis Poisson baptise la « loi des grands nombres ».
1853-1867Bienaymé puis Tchebychev : l'inégalité qui démontre la loi des grands nombres en trois lignes.
1933Andreï Kolmogorov : les axiomes, la probabilité devient une mesure.
Synthèse
Dénombrer
Galilée puis Fermat : ramener le hasard à des cas également possibles et les compter. La difficulté n'est pas le calcul, c'est de choisir des cas vraiment équiprobables (les issues, pas les partitions ; les suites complètes, pas les parties écourtées).
Espérer
Pascal : la valeur d'une situation incertaine est la moyenne pondérée des situations qui peuvent suivre. Huygens en fait la notion centrale ; c'est toujours ainsi que l'on évalue un pari, un contrat d'assurance ou une option financière.
Converger
Bernoulli : la fréquence observée se rapproche de la probabilité inconnue, avec un risque d'erreur chiffrable. Le calcul des chances devient une science de l'observation, et la statistique peut naître.
Pour aller plus loin
La ruine du joueur. En 1656, Pascal soumet à Fermat, par l'intermédiaire de Carcavi, un problème plus difficile : deux joueurs échangent des jetons jusqu'à ce que l'un soit ruiné. Huygens le reprend comme dernier exercice de son traité de 1657.
Le partage à trois joueurs. Pascal crut un moment que la méthode de Fermat échouait à trois joueurs ; Fermat lui montra qu'il suffisait, là encore, de compter toutes les suites fictives. C'est sur ce point que porte la discussion avec Roberval.
Le pari de Pascal. Dans les Pensées, Pascal applique l'espérance à une décision où l'un des gains est infini : c'est la première théorie de la décision sous incertitude.
De Bernoulli à aujourd'hui. La majoration de Bernoulli contient déjà l'idée d'une décroissance exponentielle du risque, que les inégalités de Chernoff et de Hoeffding préciseront au XXe siècle. Le livre contient aussi les nombres de Bernoulli, introduits pour calculer les sommes de puissances d'entiers.