L’espérance mathématique et ses applications
La valeur moyenne d’un hasard : ce qu’elle dit, ce qu’elle permet de calculer, et quand elle trompe.
L’espérance d’une variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X) = Σ x · P(X = x). Le mot vient des jeux de hasard du XVIIe siècle : c’est ce que le joueur peut « espérer » gagner en moyenne. Trois lectures de ce même nombre reviennent tout au long de la page.
| Lecture | Ce qu’elle dit | Où on la voit |
|---|---|---|
| Physique | E(X) est le point d’équilibre d’une barre où chaque valeur porte un poids égal à sa probabilité. | planche 1 |
| Statistique | la moyenne de nombreuses réalisations indépendantes se rapproche de E(X) (loi des grands nombres). | planches 1, 3 et 4 |
| Algébrique | E(aX + bY) = a·E(X) + b·E(Y), toujours, même si X et Y dépendent l’une de l’autre. | planches 2 et 4 |
La dernière planche montre les limites de l’outil : une espérance peut être infinie, ou ne rien dire de ce qui arrivera à un joueur ordinaire.
L’espérance, centre de gravité d’une loi
Posons sur une barre graduée, à chaque valeur possible x, un poids égal à sa probabilité P(X = x). Où faut-il placer l’appui pour que la barre reste horizontale ? Exactement en E(X). En effet, chaque poids exerce autour de l’appui m un couple proportionnel à P(X = x)·(x − m), et la somme de ces couples s’annule précisément quand m = Σ x·P(X = x). Déplacez l’appui pour trouver l’équilibre.
La linéarité, l’outil le plus puissant
L’espérance d’une somme est la somme des espérances : E(X + Y) = E(X) + E(Y). Cette règle ne demande aucune hypothèse d’indépendance. On le voit d’abord avec deux dés reliés de trois façons ; la loi de la somme change du tout au tout, mais sa moyenne reste 7.
Le problème des chapeaux (Montmort, 1708)
n personnes déposent leur chapeau au vestiaire ; on les leur rend au hasard. Combien, en moyenne, récupèrent le leur ? Calculer la loi du nombre de « bons chapeaux » est difficile. L’espérance, elle, est immédiate : X est la somme de n indicatrices (1 si la personne i reçoit son chapeau, 0 sinon), chacune d’espérance 1/n. Donc E(X) = n × 1/n = 1, quel que soit n — alors que ces indicatrices dépendent les unes des autres.
Jeux d’argent : l’espérance gouverne, même déguisée
À la roulette européenne (37 cases : 18 rouges, 18 noires, le zéro vert), une mise de 1 € sur le rouge rapporte +1 € avec la probabilité 18/37 et fait perdre 1 € sinon : E = 18/37 − 19/37 = −1/37 ≈ −2,7 centimes. Sur un numéro plein, on gagne 35 € une fois sur 37 : E = 35/37 − 36/37 = −1/37 encore. Toutes les mises de la roulette ont la même espérance ; seules leurs variations diffèrent. Et la célèbre « martingale », qui double la mise après chaque perte ?
Combien de temps faut-il attendre ?
Beaucoup de questions pratiques portent sur une durée moyenne : combien de paquets acheter pour compléter un album, combien de lancers avant un double six, combien de clients avant le premier gagnant. La règle de base : si un événement a la probabilité p à chaque essai, il faut en moyenne 1/p essais pour l’obtenir. Combinée à la linéarité, elle résout des problèmes étonnamment riches.
Un album compte n images différentes, chaque pochette en contient une au hasard. Quand on possède déjà k images, une nouvelle pochette en apporte une inédite avec la probabilité (n − k)/n : il faut en moyenne n/(n − k) pochettes pour passer à k + 1. Par linéarité, le nombre moyen total est n·(1 + 1/2 + … + 1/n) = n·Hₙ. Les dernières images coûtent cher : la toute dernière demande à elle seule n pochettes en moyenne.
On lance une pièce jusqu’à voir apparaître un motif donné, par exemple « pile-face » (PF) ou « pile-pile » (PP). Les deux motifs ont la même probabilité 1/4 à chaque position, et pourtant il faut en moyenne 4 lancers pour PF et 6 pour PP. La raison : quand PP échoue après un premier P, on retombe tout au début, alors qu’un échec de PF après P laisse… un P, déjà un bon début.
Signature — quand l’espérance trompe
L’espérance est la moyenne sur une infinité de répétitions. Deux expériences montrent ce qui se passe quand cette moyenne ne correspond pas à ce que vit un joueur : une espérance infinie que personne ne paierait, et un jeu d’espérance positive qui ruine presque tout le monde.
Nicolas Bernoulli propose ce jeu en 1713 : on lance une pièce jusqu’à obtenir face. Si face sort au k-ième lancer, la banque paie 2ᵏ €. Le gain 2ᵏ arrive avec la probabilité 1/2ᵏ, donc chaque terme de l’espérance vaut 2ᵏ × 1/2ᵏ = 1, et E = 1 + 1 + 1 + … est infinie. Pourtant, personne ne paierait 100 € pour jouer. Pourquoi ?
À chaque tour, votre fortune est multipliée par 1,5 (pile) ou par 0,6 (face). L’espérance d’un tour vaut 0,5 × 1,5 + 0,5 × 0,6 = 1,05 : en moyenne, la fortune croît de 5 % par tour. Mais un pile suivi d’un face donne 1,5 × 0,6 = 0,9 : un joueur typique, qui obtient autant de piles que de faces, perd 10 % tous les deux tours. Qui croire ?
Repères historiques
- 1654Pascal et Fermat résolvent le problème des partis : comment partager les mises d’une partie interrompue ? Leur réponse est déjà un calcul d’espérance.
- 1657Christiaan Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae, où la « valeur d’une chance » est définie et calculée : c’est la naissance de l’espérance.
- 1708Pierre Rémond de Montmort pose le problème des rencontres, que l’on raconte aujourd’hui avec des chapeaux.
- 1713Nicolas Bernoulli propose à Montmort le jeu qui deviendra le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
- 1738Daniel Bernoulli publie dans les mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg sa solution par l’utilité logarithmique.
- 1944Abraham Wald établit l’identité qui porte son nom sur l’espérance d’une somme arrêtée à un moment aléatoire.
- 1956John Kelly montre que maximiser l’espérance du logarithme de la fortune donne la croissance la plus rapide à long terme.
Ce qu’il faut retenir
Un centre de gravité
E(X) = Σ x·P(X = x) est le point d’équilibre de la loi, et la limite des moyennes de tirages indépendants. Ce n’est ni une valeur obligatoirement possible, ni la plus probable.La linéarité, sans condition
E(X + Y) = E(X) + E(Y) même pour des variables dépendantes. En découpant un compte en indicatrices, on obtient des espérances que la loi ne livrerait qu’au prix de calculs difficiles.Une moyenne n’est pas un destin
Une espérance infinie ou dominée par des cas rarissimes ne décrit pas l’expérience d’un joueur. La médiane, la dispersion et l’espérance du logarithme complètent le tableau.Pour aller plus loin
Espérance et répartition. Pour une variable à valeurs entières positives, E(X) = Σ P(X ≥ k) pour k ≥ 1 : c’est le contrôle utilisé en planche 1. Pour une variable à densité positive, E(X) = ∫ (1 − F(x)) dx.
Produit et indépendance. Contrairement à la somme, le produit demande l’indépendance : E(XY) = E(X)·E(Y) si X et Y sont indépendantes. Avec Y = X, E(X²) dépasse E(X)² ; la différence est la variance.
Inégalité de Jensen. Pour une fonction concave comme le logarithme, E(ln X) ≤ ln E(X). Dans le jeu multiplicatif, E(fortune) croît comme 1,05ᵗ alors que E(ln fortune) décroît de 0,0527 par tour : c’est l’écart de Jensen qui sépare la moyenne de la foule et le sort typique.