Deux duellistes marchent l'un vers l'autre, une seule balle chacun. Plus ils se rapprochent, plus le tir est précis — mais attendre, c'est risquer d'être touché le premier. Tout l'art est dans le moment. La réponse change complètement selon qu'on entend ou non le coup de l'adversaire ; elle s'applique aussi au lancement d'un produit, à la guerre d'usure des animaux et même au duel à trois, où le plus maladroit s'en sort le mieux.
Planche 1
Le duel bruyant : tirer quand la somme des précisions vaut 1
Les duellistes partent de loin et avancent ; le temps t va de 0 (départ) à 1 (bout portant). La probabilité de toucher, la précision, grandit avec t : ici P(t) = ta, où un exposant a plus petit fait un meilleur tireur. Le duel est bruyant : on entend le coup de l'autre. Celui qui tire et manque est donc perdu, car l'adversaire n'a plus qu'à marcher jusqu'à lui et tirer à bout portant. Gain : +1 si l'on touche l'autre, −1 si l'on est touché, 0 si les deux tombent ensemble ou aucun.
Le terrain : duelliste 1 à gauche, duelliste 2 à droite. Chacun tire à l'instant choisi par son curseur.
Gain espéré du duelliste 1 selon son instant de tir, si le duelliste 2 tire à l'instant optimal t* (courbe bleue). Les précisions P₁ et P₂ sont en tirets ; leur somme vaut 1 en t*.
Instant optimal t* (P₁ + P₂ = 1, par dichotomie)
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Valeur du duel pour le duelliste 1 : P₁(t*) − P₂(t*)
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Contrôle sur une grille de 401 instants : maximin / minimax
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Vos instants : gain espéré exact / simulé
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Tirer, c'est parier sur sa précision contre celle de l'autre. Si je tire à l'instant t avant l'autre, je gagne avec la probabilité P₁(t) et je perds sinon : gain 2P₁(t) − 1. Si j'attends et que l'autre tire, je perds avec la probabilité P₂(t) : gain 1 − 2P₂(t). Tirer devient préférable exactement quand 2P₁ − 1 dépasse 1 − 2P₂, c'est-à-dire quand P₁(t) + P₂(t) ≥ 1. Les deux duellistes tirent donc au même instant t*, une stratégie pure, et l'équilibre est un point-selle. Avec des tireurs égaux, t* = 1/2 et le duel est équitable. Le meilleur tireur ne tire pas plus tard : il tire au même moment, mais avec plus de chances. Pour a₁ = 0,5 et a₂ = 1, t* = 0,382 et la valeur vaut √5 − 2 ≈ 0,236 : le nombre d'or apparaît, car t* résout t + √t = 1.
Planche 2
Le duel pas à pas : remonter depuis le bout portant
Découpons la marche en N pas. À chaque pas, si personne n'a encore tiré, les deux décident en même temps de tirer ou d'attendre. Au dernier pas, chacun tire à bout portant. Pour décider au pas k, il suffit de connaître la valeur du pas k + 1 : on remonte du dernier pas vers le premier, en résolvant à chaque étape un petit jeu 2 × 2 à somme nulle (induction à rebours). Chaque colonne du schéma est un pas ; sa couleur dit ce que font les duellistes.
De gauche (départ) à droite (bout portant) : la valeur du duel pour le duelliste 1 si l'on arrive à ce pas sans que personne ait tiré (hauteur de la barre, de −1 à +1). Gris : les deux attendent ; rouge : au moins un tire. Le trait vertical orange marque t* du modèle continu.
Premier pas où quelqu'un tire
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Valeur du duel en N pas
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Valeur du duel continu (planche 1)
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Écart × N (si l'écart décroît en 1/N, ce produit reste borné)
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Le continu comme limite du discret. À chaque pas, le petit jeu 2 × 2 compare « tirer maintenant » à « la valeur de demain ». Tant que demain vaut mieux pour les deux, on attend ; puis vient le pas où la précision franchit le seuil et quelqu'un tire. Quand N grandit, le premier pas de tir se rapproche de t* et la valeur de celle du duel continu — mais par sauts : la grille des pas ne tombe pas toujours juste sur t*. C'est le même raisonnement à rebours que pour les échecs selon Zermelo, appliqué au temps.
Planche 3
Le duel silencieux : tirer au hasard, mais jamais avant 1/3
Changeons une seule règle : le pistolet est silencieux. Celui qui a été manqué ne le sait pas, et l'autre ne peut plus avancer tranquillement. Les deux duellistes ont la même précision P(t) = t. Il n'existe plus d'instant optimal unique : si l'adversaire tirait toujours à l'instant y, il suffirait de tirer juste avant. L'équilibre est mixte : chacun tire à un instant tiré au sort selon la densité 1/(4t³) sur l'intervalle [1/3 ; 1], et jamais avant 1/3.
La densité optimale et l'histogramme des instants de tir simulés ou appris par jeu fictif sur une grille de 101 instants.
Gain espéré du duelliste 1 selon son instant de tir, quand l'adversaire suit la stratégie choisie ci-dessous. Contre la stratégie optimale, il est nul partout sur [1/3 ; 1] : aucun instant n'est meilleur qu'un autre.
Probabilités de la densité : ∫ de 1/3 à 1 / instant moyen
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Contre l'optimum : plus grand |gain| sur [1/3 ; 1] (Simpson)
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Meilleure réponse contre l'adversaire choisi : instant / gain
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Simulation ou apprentissage : écart maximal des répartitions (Kolmogorov)
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Le silence change tout. Contre l'optimum, tirer n'importe quand entre 1/3 et 1 rapporte exactement 0 ; tirer avant 1/3 rapporte 3t/2 − 1/2, donc perd. La stratégie rend l'adversaire indifférent, comme dans tout équilibre mixte. Contre un adversaire prévisible, en revanche, on gagne : contre celui qui tire toujours à 1/2, il suffit de tirer juste avant (gain proche de 1/4). L'instant de tir moyen reste 1/2, comme au duel bruyant, mais 5/8 des tirs ont lieu avant 1/2. Les duels ont été étudiés à la RAND Corporation à partir de la fin des années 1940 (David Blackwell, Abraham Girshick, Lloyd Shapley, Max Shiffman) ; Samuel Karlin en a fait la synthèse dans son traité de 1959, y compris les cas à précisions différentes.
Planche 4
La guerre d'usure : qui cédera le premier ?
Retournons le duel : il ne s'agit plus de tirer le premier, mais de céder le dernier. Deux animaux convoitent une ressource de valeur V. Ils se toisent, et chaque unité de temps leur coûte c (énergie, risque, repas manqué). Le premier qui renonce laisse la ressource à l'autre ; tous deux ont payé le temps écoulé. John Maynard Smith (1974) a montré que la seule stratégie stable est d'attendre une durée tirée au hasard selon une loi exponentielle de moyenne V/c.
Un affrontement en direct : les jauges montrent le coût déjà payé par chaque animal ; la ligne verte est la valeur de la ressource.
Gain espéré d'un mutant qui persiste exactement jusqu'à x, dans une population à la stratégie exponentielle (bleu) ou à durée fixe V/c (orange).
Gain d'un mutant contre la stratégie exponentielle, pour tout x (Simpson)
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Durée moyenne d'un affrontement : théorie V/(2c) / simulée
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Coût total payé par les deux, en moyenne : V / simulé
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Contre une durée fixe V/c, un mutant qui attend un peu plus gagne
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La ressource est entièrement dilapidée. Avec la stratégie exponentielle, attendre une durée ou une autre rapporte exactement 0 : c'est l'indifférence qui rend la stratégie inattaquable. Conséquence frappante : en moyenne, les deux animaux dépensent ensemble V en coûts d'attente, toute la valeur de la ressource. Une durée fixe, elle, serait envahie par un mutant qui attend à peine plus longtemps. On retrouve ce mécanisme dans les guerres des prix, les grèves, les enchères « tout payant » ou les courses aux brevets : la compétition pour un prix peut en consommer toute la valeur.
Planche 5 — signature
Le truel : à trois, le plus maladroit survit le mieux
Trois tireurs, A, B et C, tirent à tour de rôle dans cet ordre, jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un. Dans la version célèbre popularisée par Martin Gardner, A touche une fois sur trois, B deux fois sur trois, et C ne manque jamais. B et C visent l'adversaire le plus dangereux. A peut viser B, viser C… ou tirer en l'air, c'est-à-dire attendre. Quel est le meilleur choix pour A, et qui a le plus de chances de survivre ?
Les trois tireurs. Les coups de feu sont animés ; un tireur touché tombe. Le compteur garde les survivants de toutes les parties jouées.
Carte des précisions de A et B (C ne manque jamais). Couleur : le tireur qui a le plus de chances de survivre, A jouant au mieux. Hachures : régions où le meilleur choix de A est de tirer en l'air. Le point blanc est votre réglage.
Survie de A selon son choix : en l'air / vise B / vise C
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Survie exacte de A / B / C avec le choix retenu
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Survie simulée de A / B / C
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Profils stables parmi les 27 (personne ne gagne à changer de cible)
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L'avantage d'être sous-estimé. Si A touche C, il se retrouve face à B qui tire le premier : mauvaise affaire. S'il touche B, C l'abat à coup sûr. En tirant en l'air, A laisse B et C s'affronter — chacun vise l'autre, le plus dangereux — puis tire le premier sur le survivant. Avec les valeurs de Gardner, A survit avec la probabilité 25/63 ≈ 0,397, B avec 8/21 ≈ 0,381, et C, le tireur parfait, seulement avec 2/9 ≈ 0,222. Le meilleur tireur est la cible de tous. La recherche exhaustive parmi les 27 profils de cibles confirme que ce comportement est le seul où personne ne gagne à changer de cible. La carte montre que le phénomène n'a rien d'exceptionnel : sur une large région, le tireur parfait est celui qui survit le moins.
Synthèse
Ce qu'il faut retenir
Bruyant : un seuil
Quand le coup s'entend, on tire dès que la somme des précisions atteint 1. Stratégie pure, point-selle, et le même instant pour les deux, bons ou mauvais tireurs.
Silencieux : le hasard
Quand le coup ne s'entend pas, tout instant fixe est exploitable : on tire au hasard selon la densité 1/(4t³) sur [1/3 ; 1]. L'information sur l'adversaire change la nature même de la solution.
Le temps se paie
Dans la guerre d'usure, l'attente coûte et le hasard exponentiel est la seule défense ; la ressource disputée est dépensée en totalité. À trois, la prudence et même la faiblesse peuvent devenir des atouts.
Pour aller plus loin
Les formules. Duel bruyant : gain de J1 tirant en x contre J2 tirant en y : 2P₁(x) − 1 si x < y, 1 − 2P₂(y) si x > y. Duel silencieux à précision t : x − (1 − x)y si x < y, (1 − y)x − y si x > y ; la fonction de répartition optimale vaut (9 − 1/t²)/8 sur [1/3 ; 1]. Guerre d'usure : persister jusqu'à x rapporte V − cy si l'autre cède en y < x, et −cx sinon. Truel : on résout un petit système linéaire pour l'état « trois vivants », puis chaque duel restant a une formule fermée, pᵢ / (1 − (1 − pᵢ)(1 − pⱼ)) pour celui qui tire le premier.
Références. M. Dresher, Games of Strategy (1961) ; S. Karlin, Mathematical Methods and Theory in Games, vol. 2 (1959) ; J. Maynard Smith, « The theory of games and the evolution of animal conflicts » (1974) ; D. T. Bishop et C. Cannings (1978) ; D. M. Kilgour et S. J. Brams, « The truel », Mathematics Magazine (1997).
Pages voisines. Les notions fondamentales (faucons et colombes), le poker de Kuhn (bluff et indifférence), l'histoire de la théorie des jeux (Zermelo et l'induction à rebours).