Escalade et dissuasion : de l'enchère du dollar au bord du gouffre
Comment des gens raisonnables finissent-ils par payer 3 euros pour un billet de 1 euro, par s'armer jusqu'à la ruine, ou par frôler la guerre nucléaire ? Parce que chaque pas, pris isolément, paraît raisonnable. Cette page suit l'escalade de l'enchère du dollar à la course aux armements, puis montre comment la théorie des jeux a pensé la dissuasion : rendre une menace crédible en acceptant un risque calculé de catastrophe.
Planche 1
L'enchère du dollar (Shubik, 1971)
L'économiste Martin Shubik met aux enchères un billet de 1 € (100 centimes), par paliers de 5 centimes, avec une règle à peine différente des enchères ordinaires : le deuxième enchérisseur paie aussi sa mise, sans rien recevoir. Au début, tout va bien : acheter 1 € pour 20 centimes est une affaire. Puis vient le piège. Celui qui est derrière compare deux choix : abandonner, et perdre ce qu'il a déjà misé ; ou relancer de 5 centimes, et gagner l'euro si l'autre abandonne. Relancer paraît toujours meilleur… y compris au-delà de 1 €.
Les mises successives d'Anne et de Bruno. La ligne verte est la valeur du billet ; la zone rouge est l'argent que le commissaire-priseur encaisse au-delà de 1 €.
Le raisonnement de celui qui est derrière, à chaque tour : perte s'il abandonne contre gain s'il relance et que l'autre abandonne. Le second reste toujours au-dessus du premier.
Mises finales : gagnant / perdant
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Encaissé par le commissaire-priseur pour un billet de 1 €
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Gain net : gagnant / perdant
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Contrôle du raisonnement : écart entre relancer et abandonner
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Chaque pas est rationnel, l'ensemble est absurde. À chaque tour, relancer de 5 c apporte un gain potentiel (1 € moins la nouvelle mise) toujours supérieur à la perte certaine de l'abandon (la mise déjà engagée) : l'écart vaut toujours 90 centimes, quel que soit le niveau atteint. Rien n'arrête donc l'escalade, sauf l'épuisement d'un budget. Le passé — l'argent déjà misé, perdu dans tous les cas — dicte la suite : c'est le piège des coûts irrécupérables. Les expériences en classe montrent que le billet se vend couramment bien au-delà de sa valeur. Shubik y voyait un modèle des guerres, des grèves et des projets qu'on n'ose plus abandonner.
Planche 2
La solution rationnelle : enchérir une seule fois, juste ce qu'il faut
Si les deux joueurs sont parfaitement rationnels et connaissent leurs budgets B (identiques), le jeu est fini : on peut le résoudre en remontant depuis la fin, comme aux échecs. Barry O'Neill a montré en 1986 que le premier joueur doit miser d'emblée ((B − 1) mod v) + 1, où v est la valeur de l'enjeu et « mod » le reste de la division. L'autre n'a alors plus intérêt à répondre : toute relance l'entraînerait dans une escalade qu'il perdrait. La page calcule la solution complète par programmation dynamique, sur toutes les positions possibles.
Mise d'ouverture optimale selon le budget : programmation dynamique (points) et formule d'O'Neill (dents de scie).
Votre ouverture, puis la suite jouée parfaitement par les deux : barres bleues pour vous, violettes pour l'adversaire.
Ouverture optimale : programmation dynamique / formule
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Gain du premier joueur s'il ouvre ainsi
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Contrôle : désaccords sur v = 5 à 25 et B = v à 4v
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Votre ouverture : déroulement et gains
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Le paradoxe de la rationalité parfaite. Avec des joueurs parfaitement lucides, il n'y a pas d'escalade : une seule mise, bien choisie, et l'affaire est conclue. Ouvrez un peu plus bas que la valeur optimale : l'adversaire relance juste assez, et c'est vous qui êtes coincé. Ouvrez plus haut : vous laissez de l'argent sur la table. L'escalade réelle vient donc de ce que les joueurs ne connaissent pas le budget de l'autre, ni sa détermination, et de ce que chacun espère que l'autre cédera le premier — exactement comme dans la guerre d'usure. (Convention de calcul : à égalité, un joueur relance ; c'est celle qui reproduit la formule.)
Planche 3
La course aux armements de Richardson
En 1919, le physicien et météorologue anglais Lewis Fry Richardson, marqué par la Grande Guerre, met l'escalade en équations. Chaque pays s'arme d'autant plus vite que son rival est armé (réaction a, b), d'autant moins que ses propres dépenses pèsent (fatigue m, n), et garde un fond de griefs (g, h) : dx/dt = ay − mx + g, dy/dt = bx − ny + h. Tout dépend d'une comparaison : la fatigue l'emporte-t-elle sur la réaction ?
Armements des pays X et Y. Les flèches montrent l'évolution ; les droites sont les points où l'un des deux cesse de varier. Touchez le plan pour lâcher une trajectoire.
Évolution dans le temps des armements de la dernière trajectoire lâchée.
Condition de stabilité mn − ab
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Équilibre (formule)
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Contrôle : Runge-Kutta après un temps 200 / écart
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Valeurs propres (vitesses de retour ou de fuite)
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Une seule inégalité sépare la paix armée de la course sans fin. Si mn > ab, la lassitude l'emporte : les armements convergent vers un équilibre, d'autant plus élevé que les griefs sont forts. Si mn < ab, chaque camp réagit plus qu'il ne se lasse : les dépenses s'envolent sans limite — ou, si les griefs sont négatifs (bonne volonté) et les armements faibles au départ, s'effondrent vers le désarmement. Richardson crut retrouver ce schéma dans les dépenses militaires d'avant 1914. Le modèle est rudimentaire, mais il a fondé l'étude quantitative des conflits.
Planche 4
La peur réciproque de l'attaque surprise
Deux puissances nucléaires peuvent attendre ou frapper les premières. Frapper détruit une partie des forces adverses ; la part s qui survit riposte. Thomas Schelling, en 1960, souligne le danger : si l'on craint d'être frappé le premier, on peut être tenté de frapper « préventivement » — et l'autre, le sachant, aussi. Gains : attendre ensemble 0 ; frapper un adversaire qui attend G − sD (avantage moins la riposte des survivants) ; être frappé sans réagir −D ; frappes croisées −D(1 + s)/2.
Selon la part s des forces qui survit à une première frappe (horizontale) : la probabilité que l'autre frappe au-delà de laquelle frapper soi-même devient préférable (le seuil de peur). En dessous de la courbe, on attend ; au-dessus, on frappe.
Seuil de peur p* (formule)
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Contrôle : gains espérés d'attendre et de frapper en p*
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Équilibres de Nash en stratégies pures
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Avec votre crainte : meilleur choix
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Rendre ses armes invulnérables pour ne pas avoir à s'en servir. Quand une première frappe peut désarmer l'adversaire (s petit), frapper devient dominant : la crise la plus légère peut tourner à la guerre. Quand une capacité de seconde frappe survit quoi qu'il arrive (sous-marins, silos durcis), le seuil de peur monte : il faut être presque certain que l'autre va frapper pour qu'on frappe soi-même. Paradoxe de la dissuasion : ce sont les armes invulnérables qui stabilisent, et les défenses antimissiles, en menaçant la riposte de l'autre, peuvent déstabiliser — d'où le traité ABM de 1972 qui les limitait.
Planche 5 — signature
Le bord du gouffre : la menace qui laisse quelque chose au hasard
Octobre 1962 : l'URSS installe des missiles à Cuba. Les États-Unis veulent leur retrait, mais menacer d'une guerre nucléaire certaine n'est pas crédible — personne ne croit qu'ils la déclencheraient. Schelling propose une autre logique : ne pas menacer de la guerre, mais d'un risque de guerre. Le blocus naval crée une situation qu'aucun des deux camps ne contrôle tout à fait : un incident peut dégénérer avec une probabilité q. Ce risque partagé fait pression sur l'adversaire. Mais il faut le doser : assez pour faire céder un adversaire modéré, pas trop pour qu'il reste préférable à l'inaction face à un adversaire intransigeant, qui ne cédera jamais.
Le gain espéré des États-Unis selon le risque q créé : en dessous de qₘᵢₙ, l'adversaire modéré ne cède pas ; au-dessus de qₘₐₓ, le risque coûte plus que l'inaction (trait gris). Entre les deux : la fenêtre du bord du gouffre.
La fenêtre selon la probabilité p que l'adversaire soit intransigeant : qₘᵢₙ (fixe) et qₘₐₓ (décroissant). La menace certaine (q = 1) ne fonctionne que tout à gauche.
Fenêtre : q_min = 3/10 / q_max = 3(1 − p)/(8p)
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Gain espéré des États-Unis avec votre q / sans menace
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Probabilité de guerre : exacte / simulée
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Limites de p : menace certaine p ≤ 3/11 ; bord du gouffre p ≤ 5/9
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Un risque calculé, mais un vrai risque. La menace certaine (massive) ne marche que si l'adversaire est presque sûrement modéré (p ≤ 3/11 ≈ 0,27) : sinon, l'exécuter coûterait trop. Le bord du gouffre élargit ce domaine jusqu'à p ≤ 5/9 ≈ 0,56, en remplaçant la certitude par une probabilité juste suffisante, q = 0,3. Le prix : face à un adversaire intransigeant, la catastrophe survient vraiment avec la probabilité q. « La menace qui laisse quelque chose au hasard », écrit Schelling : on ne se rend crédible qu'en perdant en partie le contrôle. Ces nombres viennent d'un modèle d'école (d'après Avinash Dixit et Susan Skeath) ; en 1962, Kennedy estimait lui-même le risque de guerre « entre une chance sur trois et une sur deux ».
Synthèse
Ce qu'il faut retenir
L'escalade naît de la rationalité locale
Dans l'enchère du dollar comme dans la course aux armements, chaque pas est sensé, le tout est ruineux. Les coûts déjà engagés et la réaction à l'autre entretiennent l'emballement.
La stabilité se construit
Un budget connu, une fatigue qui l'emporte sur la réaction, des forces qui survivent à une première frappe : la stabilité vient de la structure du jeu, pas de la bonne volonté.
Le risque comme langage
Quand une menace n'est pas crédible, on peut créer un risque partagé. Le bord du gouffre est un pari calculé — dont le coût, face au mauvais adversaire, est réel.
Pour aller plus loin
Le modèle du bord du gouffre. États-Unis : retrait soviétique +1, laisser faire −2, guerre −10. URSS modérée : se retirer −1, maintenir les missiles sans guerre +2, guerre −8. Le modéré cède dès que −1 ≥ 2(1 − q) − 8q, soit q ≥ 3/10. Les États-Unis préfèrent menacer tant que p(−2 − 8q) + (1 − p) ≥ −2, soit q ≤ 3(1 − p)/(8p).
Références. M. Shubik, « The dollar auction game », Journal of Conflict Resolution (1971) ; B. O'Neill, « International escalation and the dollar auction », Journal of Conflict Resolution (1986) ; L. F. Richardson, Arms and Insecurity (1960, posthume) ; T. C. Schelling, The Strategy of Conflict (1960) et Arms and Influence (1966) ; H. Kahn, On Escalation (1965) ; A. Dixit, S. Skeath et D. Reiley, Games of Strategy, chapitre sur la crise de Cuba.
Pages voisines. Stackelberg et l'engagement (brûler ses vaisseaux, la poule mouillée), les duels et la guerre d'usure, le dilemme du prisonnier.