Statistique

Les corrélations de Pearson et de Spearman

Deux nombres entre −1 et 1 pour dire si deux grandeurs varient ensemble. Le premier mesure à quel point les points s'alignent sur une droite ; le second, à quel point leurs classements concordent. Cette page montre ce qu'ils mesurent, comment les tester, où ils se trompent, et pourquoi Spearman, en 1904, s'en souciait.

Deux définitions

On observe n individus, avec deux mesures chacun : xᵢ et yᵢ (taille et poids, note de mathématiques et note de physique…). On les centre-réduit : zᵢ = (xᵢ − x̄)/sx, où sx est l'écart-type, et de même pour y. Le coefficient de Pearson est la moyenne des produits de ces scores :

r = Σ zx,i zy,i / (n − 1) = cov(x, y) / (sx sy)

Le coefficient de Spearman, noté ρ (rhô), est simplement le coefficient de Pearson calculé sur les rangs : on remplace chaque x par sa place dans le classement des x (1 pour le plus petit, n pour le plus grand), de même pour y. Sans ex æquo, il se calcule aussi par la formule de Spearman, où dᵢ est l'écart entre les deux rangs de l'individu i :

ρ = 1 − 6 Σ dᵢ² / (n(n² − 1))

Les deux valent +1 pour une liaison parfaite croissante, −1 pour une liaison parfaite décroissante, et sont voisins de 0 en l'absence de liaison. Mais « parfaite » n'a pas le même sens : linéaire pour Pearson, monotone pour Spearman.

1

Pearson : une moyenne de rectangles signés

Idée en une phrase : chaque point forme avec le point moyen un rectangle, compté positivement s'il est en haut à droite ou en bas à gauche, négativement sinon ; r est la moyenne de ces rectangles, mesurés en écarts-types.

Les deux droites grises passent par le point moyen (x̄, ȳ) et découpent le plan en quatre quadrants. Un point du quadrant haut-droite ou bas-gauche (x et y du même côté de leur moyenne) donne un produit positif, en bleu ; les deux autres quadrants donnent un produit négatif, en rouge. L'animation parcourt les points et cumule leurs contributions. Les points se déplacent à la souris ou au doigt : faites-en passer un d'un quadrant à l'autre.

Nuage de points avec les axes du point moyen ; rectangles bleus : produits positifs ; rouges : produits négatifs. Le rectangle encadré est celui du point en cours.
Contributions zxzy/(n − 1) de chaque point, triées ; la somme cumulée (trait noir) aboutit à r.
r par la moyenne des produits zxzy
r par cov/(sxsy)
r comme cosinus d'un angle
Quadrants : positifs / négatifs
Spearman ρ du même nuage
Un cosinus déguisé. Si l'on range les n écarts xᵢ − x̄ dans un vecteur, et de même pour y, r est exactement le cosinus de l'angle entre ces deux vecteurs de dimension n. D'où −1 ≤ r ≤ 1 (inégalité de Cauchy-Schwarz) ; r = ±1 seulement si les vecteurs sont proportionnels, c'est-à-dire si les points sont alignés. Changer d'unité (centimètres ou mètres) ne change pas les scores z, donc ne change pas r. Un point éloigné du centre forme un grand rectangle et pèse beaucoup plus que les autres : c'est la force et la faiblesse de Pearson.
2

Spearman : ne regarder que les classements

Idée en une phrase : Spearman remplace les valeurs par leurs rangs ; toute transformation qui conserve l'ordre (logarithme, exponentielle, puissance) laisse ρ inchangé, alors qu'elle modifie r.

On part d'un nuage, puis on lui applique une transformation croissante de plus en plus courbe : y devient (eky − 1)/k. L'ordre des points ne change pas, donc leurs rangs non plus, et ρ reste exactement le même ; Pearson, lui, baisse car le nuage n'est plus rectiligne. Le second curseur arrondit les valeurs, ce qui crée des ex æquo : on leur donne alors le rang moyen, et la formule en Σd² cesse d'être exacte.

Le nuage après transformation (valeurs). Gris : la droite des moindres carrés, que Pearson évalue.
Le même nuage en rangs : il ne bouge pas quand la transformation se courbe. Les traits relient chaque point à la diagonale ; leurs longueurs sont les écarts de rang dᵢ.
Pearson r (valeurs)
Spearman ρ (Pearson des rangs)
Formule 1 − 6Σd²/(n(n² − 1))
Ex æquo en y
Linéaire contre monotone. Avec k = 4, le nuage devient une courbe très arquée : r chute alors que ρ n'a pas bougé d'un chiffre. Si votre question est « quand x augmente, y augmente-t-il ? », Spearman y répond directement ; si elle est « y est-il une fonction affine de x ? », c'est Pearson. Les ex æquo ne gênent pas la définition par les rangs moyens, mais la formule simplifiée en Σd² devient fausse : l'écart affiché le montre.
3

Tester une corrélation : est-elle réelle ?

Idée en une phrase : même entre deux grandeurs indépendantes, un petit échantillon donne une corrélation non nulle ; il faut savoir jusqu'où le hasard peut aller.

Si les données sont normales et sans liaison (ρ = 0 dans la population), la statistique t = r√(n − 2)/√(1 − r²) suit une loi de Student à n − 2 degrés de liberté, ce qui donne la valeur critique de r. Quand la vraie corrélation n'est pas nulle, la loi de r devient très dissymétrique ; Fisher (1915) a montré que la transformée z = ½ ln((1 + r)/(1 − r)) est presque normale, d'écart-type 1/√(n − 3), ce qui fournit un intervalle de confiance. Pour Spearman, sans aucune hypothèse de normalité, la loi exacte sous H₀ s'obtient en énumérant les n! classements possibles.

Valeurs de r sur des échantillons simulés (histogramme vert) et loi approchée par la transformation de Fisher (courbe). Traits rouges : valeurs critiques à 5 % sous H₀.
Loi exacte de ρ de Spearman sous H₀ par énumération des n! permutations (n ≤ 9), comparée à l'approximation par la loi de Student (courbe).
Valeur critique de |r| à 5 %
Part des |r| simulés au-delà
Couverture de l'intervalle de Fisher à 95 %
Spearman : valeur critique exacte
Petits échantillons, grandes illusions. Avec 12 individus indépendants, il faut |r| > 0,576 pour conclure à 5 % : une corrélation de 0,5 peut sortir du pur hasard. Avec une vraie corrélation de 0,9, la loi de r est écrasée contre 1 et très asymétrique ; un intervalle symétrique r ± 2 erreurs-types serait faux, alors que celui construit par la transformation de Fisher garde sa couverture voisine de 95 %. Pour Spearman, la loi exacte est en escalier : avec 7 individus, seules quelques dizaines de valeurs de ρ sont possibles.
4

Les pièges : point aberrant, étendue restreinte, courbe en cloche

Idée en une phrase : une corrélation ne se lit jamais sans regarder le nuage ; un seul point, une sélection des individus ou une forme courbe peuvent la fabriquer ou l'effacer.

Trois scénarios, chacun piloté par un curseur. Le graphique de droite trace r et ρ en fonction de ce curseur : on voit d'un coup d'œil lequel des deux réagit.

Le nuage du scénario. Rouge : le point aberrant, ou les individus écartés par la sélection.
r de Pearson (orange) et ρ de Spearman (bleu) en fonction du curseur ; trait vertical : réglage courant.
Pearson r
Spearman ρ
Individus pris en compte
5

Galton et Spearman : la régression et l'atténuation

Idée en une phrase : la corrélation est née de la taille des enfants comparée à celle des parents, et sa première correction est venue d'un psychologue qui s'inquiétait des erreurs de mesure.

En 1886, Francis Galton compare la taille d'adultes à celle de leurs parents et constate que les enfants de parents très grands sont grands, mais moins que leurs parents : leur écart à la moyenne n'en garde qu'environ les deux tiers. Il appelle cela « régression vers la médiocrité ». En scores centrés réduits, la meilleure prédiction de y connaissant x est r·x : la pente de la droite de régression est le coefficient de corrélation. Galton remarque aussi que la régression marche dans les deux sens : les parents de grands enfants sont eux aussi moins extrêmes que leurs enfants. Il y a donc deux droites de régression, d'autant plus écartées que r est faible.

Nuage en scores centrés réduits (taille des parents en abscisse, des enfants en ordonnée). Pointillé gris : diagonale y = x ; bleu : régression de y sur x (pente r) ; orange : régression de x sur y (pente 1/r) ; vert : moyenne des enfants par tranche de taille des parents ; ellipse : contour de densité.
Pente mesurée de la régression de y sur x
Pente mesurée de la régression de x sur y
Produit des deux pentes
égal à r² : la part de variance expliquée
Enfants des parents du décile supérieur
Une régression sans cause. La régression vers la moyenne n'est pas une force biologique : elle apparaît dès que deux mesures ne sont pas parfaitement corrélées, dans un sens comme dans l'autre. Les meilleurs élèves au premier contrôle sont en moyenne moins brillants au second, les patients recrutés au pire de leurs symptômes vont mieux même sans traitement. Seul r = 1 l'abolit : les deux droites se confondent alors avec la diagonale.

En 1904, Charles Spearman, psychologue, veut mesurer la corrélation entre des aptitudes mentales. Il remarque que chaque mesure contient une erreur aléatoire, qui brouille le nuage et atténue la corrélation observée : robservé ≈ rvrai × √(fx fy), où la fidélité f d'une mesure est la part de sa variance due au vrai score (1 pour une mesure parfaite). Il propose de diviser r par √(fx fy) pour retrouver la corrélation des vrais scores. La page simule des vrais scores corrélés, leur ajoute du bruit, et compare la corrélation mesurée à la formule.

Vrais scores (points pâles) et scores mesurés avec erreur (points bleus) pour les mêmes individus : le bruit étire le nuage et l'arrondit.
Corrélation observée moyenne (points) en fonction de la fidélité commune des deux mesures, et la loi de Spearman rvrai·f (courbe).
Prévu : rvrai √(fx fy)
Mesuré (moyenne sur échantillons de 200)
Corrigé : robservé / √(fx fy)
Une corrélation faible n'est pas forcément une liaison faible. Avec des fidélités de 0,6 et 0,7, une vraie corrélation de 0,8 n'apparaît qu'à 0,52 environ. La correction de Spearman la retrouve en moyenne, mais elle suppose de connaître les fidélités, qu'on estime en mesurant deux fois les mêmes individus ; mal estimées, elles peuvent même donner une corrélation corrigée supérieure à 1. C'est en poursuivant ces calculs que Spearman inventa l'analyse factorielle.

Repères historiques

Choisir

Pearson pour une liaison linéaire entre mesures à peu près normales ; Spearman pour une liaison monotone, des rangs, des notes, ou en présence de valeurs extrêmes.

Tester

t = r√(n − 2)/√(1 − r²) pour la nullité ; la transformation de Fisher pour un intervalle de confiance ; la loi exacte par permutation pour Spearman avec peu d'individus.

Se méfier

Toujours tracer le nuage. Une corrélation ne prouve aucune causalité, dépend de la sélection des individus et s'atténue avec les erreurs de mesure.

Pour aller plus loin

Loi exacte de r sous H₀. Pour des données normales indépendantes, la densité de r est proportionnelle à (1 − r²)(n−4)/2 sur [−1 ; 1] : uniforme pour n = 4, en cloche au-delà.

Efficacité de Spearman. Si les données sont vraiment normales, le test de Spearman a une efficacité relative asymptotique de 9/π² ≈ 0,912 face à celui de Pearson : il demande environ 10 % d'individus en plus pour la même puissance. Sur des données à queues lourdes, il devient nettement meilleur.

Spearman et Pearson pour des données normales. Dans une population normale de corrélation ρ, le coefficient de Spearman de la population vaut (6/π) arcsin(ρ/2), toujours très proche de ρ (au plus 0,018 d'écart).

Corrélation et causalité. Une corrélation peut venir d'une cause commune, d'un hasard d'échantillon, d'un effet de sélection ou d'un regroupement de populations différentes (paradoxe de Simpson) ; seule une expérience contrôlée isole un effet causal.